材料力学-沈玉凤08概要

第六章弯曲变形§6-1工程中的弯曲变形问题§6-2挠曲线的微分方程§6-3用积分法求弯曲变形§6-4用叠加法求弯曲变形§6-6提高梁刚度的措施§6-1工程中的弯曲变形问题一、为何要探讨弯曲变形仅保证构件不会发生破坏，但假如构件的变形太大也不能正常工作。1、构件的变形限制在允许的范围内。车削加工一等截面构件，假如构件的的变形过大，会加工成变截面；案例1：假如钻床的变形过大，受工件的反力作用；摇臂钻床简化为刚架，不能精确定位。案例2：车间桁吊大梁的变形车间桁吊大梁的过大变形会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象；还会引起较严峻的振动；案例3：桥梁假如产生过大变形楼板、床、双杠横梁等都必需把它们的变形限制在允许的范围内。屋顶案例4：２、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。汽车板簧应有较大的弯曲变形,才能更好的起到缓和减振的作用；案例1：安装在工程机械驾驶室上方的ROPS/FOPS要求其在碰撞的过程中有较大的变形吸取落物或碰撞能量，保证驾驶员的人身平安案例2：案例3：当今时代汽车工业飞速发展，道路越来越拥挤，一旦发生碰撞，你认为车身的变形是大好还是小好？案例4：蹦床要有大变形，才能积蓄能量，将人体弹射到确定高度。3、探讨弯曲变形还广泛应用于超静定问题分析、稳定性分析以及振动分析等方面。除了解决构件的刚度外，二、弯曲变形的物理量扭转：

FF拉伸弯曲变形的物理量如何？1、挠曲线2、挠度ω向上为正3、转角逆时针为正截面形心在力的方向的位移截面绕中性轴转过的角度弯曲变形的物理量挠度ω弯曲变形的物理量转角+§6-2挠曲线的微分方程2、挠曲线方程：1、建立坐标系Xoy平面就是梁的纵向对称面；在平面弯曲的状况下，变形后梁的轴线将成为xoy面内的一条平面曲线；该曲线方程为：3、挠度、转角物理意义①：挠度的物理意义：挠曲线在该点处的纵坐标；②：转角的物理意义过挠曲线上点作挠曲线的切线该切线与水平线的夹角为挠曲线在该点处的切线斜率；挠曲线方程在该点处的一阶导数；转角的正方向：从x轴正向向切线旋转，逆时针转动为正。4、挠曲线微分方程中性层处曲率:

对于曲线y=f(x)在任一点处曲率

（瑞士科学家Jacobi.贝努利得到）正好为xoy平面内的一条曲线，平面弯曲的挠曲线所以曲线y=f(x)：从数学上讲是一条一般的平面曲线，从力学上讲就是梁发生弯曲变形的挠曲线。瑞士科学家Jacbi.贝努利得到梁的挠曲线微分方程；挠曲线微分方程由于没有接受曲率的简化式，且弹性模量E无定量结果，挠曲线微分方程故挠曲线微分方程没有得到广泛应用。该挠曲线微分方程是适用于弯曲变形的任何状况。非线性的，5、挠曲线近似微分方程在小变形的条件下，挠曲线是一条光滑平坦的曲线，，较小，转角故得挠曲线近似微分方程：符号规定：MM挠曲线近似微分方程挠曲线为凹曲线挠曲线为凸曲线弯矩M与二阶导数符号一样。适用范围：xωxωMM线弹性、小变形;y轴向上，x轴向右；挠曲线的近似微分方程积分一次：转角方程积分二次：挠曲线方程C、D为积分常数，由梁的约束条件确定。§6-3积分法求弯曲变形悬臂梁：xω梁的边界条件L简支梁：xωL梁的边界条件连续性条件：CPABaLxω边界条件光滑连续性条件连续性光滑性连续性条件：ABLaCMxω特殊强调在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。连续不光滑例1：写出梁的边界条件、连续性条件：xωkCPABaL边界条件光滑连续性条件例2：写出梁的边界条件、连续性条件：hEACPABaL边界条件光滑连续性条件探讨：挠曲线分段（1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；（2）凡截面有变更处，或材料有变更处，应作为分段点；（3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间的相互作用力，故应作为分段点；ABLaCM（4）凡分段点处应列出连续条件；依据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确定的挠度和转角；ABLaCM探讨：挠曲线分段在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。边界条件连续性条件例1悬臂梁受力如图所示。求和。xωx取参考坐标系1、列写弯矩方程2、代入挠曲线近似微分方程中积分一次：积分二次：转角方程挠曲线方程AqBL3、确定常数C、D.边界条件：AqBLAqBL4、计算A截面的挠度和转角A截面处CFABaLxω例2一简支梁受力如图所示。试求和。1、求支座反力2、分段列出梁的弯矩方程bBC段AC段xx3、代入各自的挠曲线近似微分方程中4、各自积分5、确定积分常数边界条件：连续条件：FaLxωBC段AC段7、求转角6、挠曲线方程8、求。求得的位置值x。代入得：若则：在简支梁情况下，不管F作用在何处（支承除外），可用中间挠度代替，其误差不大，不超过3%。§6-4用叠加法求弯曲变形

一、叠加原理在小变形，是线性的；

材料听从胡克定律的状况下，挠曲线的近似微分方程弯矩与载荷之间的关系对应于几种不同的载荷，是线性的；弯矩可以叠加，近似微分方程的解也可以叠加。计算弯矩时，运用变形前的位置设弯矩

挠曲线分别满足各自的近似微分方程将两个微分方程叠加分别计算出每一载荷单独引起的变形，将所得的变形叠加即为载荷共同作用下引起的变形——叠加原理。总的近似微分方程：证明二、叠加原理的限制条件叠加原理仅适用于线性函数，要求挠度、转角是载荷的线性函数。(1)、弯矩与载荷成线性关系;梁发生小变形，忽视各载荷引起梁的水平位移；梁处于线弹性范围内，满足虎克定律；(2)、曲率与弯矩成线性关系;(3)、挠曲线二阶导数与成线性关系;即梁处于小变形条件下;几种载荷共同作用下某截面的挠度和转角，三、叠加原理的特征等于每种载荷单独作用下引起的同一截面挠度、转角的向量和。例1

已知：q、l、EI，求：yC

,B

载荷叠加法（查表法）应用于多个载荷作用的情形ωC

,B1、载荷分解qlql2qqlql2q2查表：单独载荷作用下3、变形叠加例2抗弯刚度EI为常量，用叠加法确定C和yC

?L/2L/2qCBAqL/2L/2qCBAqqqqw其次类叠加法1将梁的挠曲线分成几段;逐段刚化法2首先分别计算各段梁的变形在需求位移处引起的位移（挠度和转角）;3然后计算其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移。在分析各段梁的变形在需求位移处引起的位移时，除所探讨的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。例3：用叠加法确定ωC?ABalFC1）考虑AB段变形引起的Ｃ截面的挠度(BC段看作刚体)外力向探讨的ＡＢ段上简化ABalCFFaF：作用在支座上，不产生变形。Fa：使AB梁产生变形。ABalCFFaFa引起梁的变形形态为ＡＢ段上凸；2）考虑BC段变形引起C截面的挠度aABalFCAB段看作刚体FBCC截面的总挠度探讨积分法求变形有什么优缺点？叠加法求变形有什么优缺点？弯曲变形的刚度条件：[ω]——许用挠度，[]——许用转角工程中，[ω]常用梁的计算跨度l的若干分之一表示。对于桥式起重机梁：对于一般用途的轴：在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：1、求自由端的挠度与转角PqLP2P1qLL2、求自由端的挠度与转角3、求简支梁中点的挠度qL/2C4、图示中悬臂梁，二段为同种材料制成。材料的弹性模量为E，求自由端C端的挠度。PI1L1I2L2ABC§6-6提高梁刚度的措施一、改善结构、削减弯矩１、合理支配支座；２、合理支配受力；３、集中力分散；４、

ω一般与跨度有关，５、增加约束：成正比，与故可减小跨度；尾顶针、跟刀架或加装中间支架；较长的传动轴接受三支撑；桥梁增加桥墩。增加约束：接受超静定结构接受超静定结构变更支座形式FF变更载荷类型q=F/LF二、选择合理的截面形态A几乎不变，大部分分布在远离中性轴处，工字形、槽钢等；起重机大梁常采工字形或箱形截面；起重机大梁常采工字形或箱形截面；四、不宜接受高强度钢;三、加强肋盒盖、集装箱；各种钢材Ｅ大致相同。1、y’’=M(x)/EI在条件下成立？A：小变形；B：材料听从虎克定律；C：挠曲线在XOY面内；D：同时满足A、B、C；2、等直梁在弯曲变形时，挠曲线曲率在最大处确定最大。A：挠度B：转角；C：弯矩；3、在简支梁中，对于削减弯曲变形效果最明显。 A：减小集中力P； B：增加梁的跨度； C：接受优质钢；D：提高截面的惯性矩L/2P4、板条弯成1/4圆，设梁始终处于线弹性范围内：①σ=My/IZ ,②y’’=M(x)/EIZ哪一个会得到正确的计算结果？A：①正确、②正确；B：①正确、②错误；C：①错误、②正确；D：①错误、②错误；5、使梁变形后与刚性曲面重合，但不产生压应力，应如何施加外载？R6、圆轴接受一般碳钢制成，运用中发觉弯曲刚度不够，提高轴的抗弯刚度的有效措施是：。A：热处理；B：选用优质合金钢；C；增大直径；D：提高表面光滑度；7、等直梁的最大弯矩处，局部增大直径，

。A：仅提高强度；B：仅提高刚度；C：强度、刚度均有提高；PxabyP8、瘦长工件，加工完成后会变成什么形态？

9、写出边界条件与连续性条件。xyqEI,LEA,a10、写出边界条件。11、梁上作用有外力偶，M1和M2，A点位于L/3处。使A点成为挠曲线的拐点，那么M1/M2=?M2M1AL/312、图示中二个简支梁的材料、截面形态、承受的载荷均相同。跨度为1：2。则二梁的最大挠度之比。PLP2L13、AB梁长为L，抗弯刚度EI为常量，固定的刚性曲面的方程为y=-ax3。欲使梁变形后与刚性曲面重合，但不产生压应力，问：应在梁上施加什麽载荷