江苏省重点高中2026届高三九校联考数学试卷（含答案详解）

江苏九校2026届高三联合测试数学答案及解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若z=2iA.1 B.2 C.5 D.3【答案】C【答案解析】z=22.设集合A=-21a,B=-A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】B【答案解析】A∪B=-21-1aa2,a2=-2或a2=-1无解，a2=1⇒a=±1,a2=a⇒a=0或1.故可能使元素个数减少的只有(a=-2,-1,0,1.检验得a=-2⇒A∪B={-2,-1,1,4},a=-1⇒A∪B={-2∴|A∪B|=4时,结合选项得a=0.A∪B有4个元素,则a²=1,a=-1,选A.3.B.-32AD.5C.3【答案】A【答案解析】x-12x6展开式第r+1项Tr+4.已知两条直线m，n和平面α，则下列命题为真命题的是A.若m∥n,m∥α,则n∥α B.若m∥α,n∥α,则m∥nC.若m⊥α,m∥n,则n⊥α D.若m⊥n,m∥α,则n⊥α【答案】C【答案解析】m∥n,m⊥α,则n⊥α,选C.5.科学研究中经常涉及对粒子状态的分析.某假想粒子有状态1，状态2，状态3，……，每种状态下的粒子经过1秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态1的粒子有12的概率变为状态2，状态2的粒子有13的概率变为状态3，以此类推.现有若干状态1的该粒子，则经过3秒处于状态1和状态A.39% B.51% C.64% D.73%【答案】C【答案解析】3秒后处于状态1和状态2的有：12×6.若直线y=x+1上存在点A,圆.x2+y-m2=2A.0 B.2 C.3 D.4【答案】D【答案解析】令A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则AB=x2-x1y2-y1=01,∴{x2-x1=0y2-y1=1,∴{x2=x1y2=y1+1即B(x₁,7.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=60°,bc=6sinBcosC,cosBsinC=3C.332A.A.1B.3D.3【答案】B【答案解析】sin∴S△ABC8.已知正数a，b满足2aA.b＜a＜2b B.a＜b＜2a C.2b＜a＜3b D.2a＜b＜3a【答案】A【答案解析】方法一：若a＜b，则3b+4b＞3a+4a,即b=1时,2a+3a=7,fx=2x+3x在(0,+∞)单调递增,f(1)=5＜7,f(2)=方法二：若a≤b，则2a+3a≤2b+3b＜3b+4b,与2a+3a=3b+4b矛盾,故a＞B.若a锤子拓展与深挖1、命题背景：这类题本质是在比较两类指数和函数F对任意x所以同一个x下，右边这类和式一定更大.因而如果F(a)=G(b),那么只能是较小的函数取较大的自变量，也就是a＞B.2、一般化结论：若pa+q理由完全一样：a≤b⇒pa+再设a≥lnrlnpb,则本题就是取p=2,q=3,r=4,于是b3、：若改成2a+3ab的范围，则直接得到1如果改问特别地，当k=4时，14、更高级的方法：设a=tb(t＞0),则原式化为2记Ht=2tb+3tb-3b又H故存在唯一的t∈12使H(t)=0,这个方法更值得注意的地方在于：它不仅得到范围，还说明这个比值是唯一落在(1，2)中的那个位置.5、精细估计：由原式2a+3取自然对数得a所以a因为0于是∣a-ln4ln3b二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是A.若随机变量.X~N1σ2,则P(X≤0)=B.若事件A，B相互独立，则PC.若样本数据x₁,x₂,…,xₙ的方差为2,则数据2x1D.用相关指数R²刻画回归效果，R²越接近1，说明回归模型的拟合效果越好【答案】ACD【答案解析】X~N1A,B独立,则IPAB=Px₁,x₂,…,xn方差为2,则2x1+1,2R²越接近1，回归模型的拟合效果越好，D对，选ACD.10.已知函数.fxA.曲线y=f(x)与曲线y=g(x)存在相同的对称中心B.曲线y=f(x)与曲线y=g(x)存在相同的对称轴C.曲线y=f(2x)向左平移π3个单位得到曲线y=g(xD.曲线y=f(2x)与曲线y=g(x)关于y轴对称【答案】AC【答案解析】fx=2gx=2sin2x+f(x)与g(x)周期不同，没有相同的对称轴，B错.f2x=2sin2=2sin2x+π3=gx,若f2x=2sin2x-π3与gx11.已知四棱锥P-ABCD的体积为12，四边形ABCD是平行四边形，Q为PA的中点，经过直线CQ的平面与侧棱PB，PD分别交于点M，N.设PM=A.λ=μ时,AB∥平面CMNB.λ=12时,C.四面体PQBC的体积为3D.四棱锥P-MCNQ的体积的最小值为4【答案】BCD【答案解析】设a=PA,b=PB,d=PD,则PC=b+d-a,PQ=12a,PM=λ若λ=μ,则λ=μ=23,此时AB=b-a,CM=a即b比较系数，得方程组无解,故AB∥平面CMN,A错.若λ=12,则又四边形ABCD是平行四边形，VPABC=VPACD=12VP-ABCD=6再由VP-MCNQVPQCN:V故VP-MCNQ=3λ+3≥4λ+μ⇒λ+μ≥43,所以VP-MCNQ锤子拓展与深挖1、命题背景：这题的核心不是空间角，而是PC=PB+2、一般化结论：若把中点条件改成PQ仍设PM=λPB比较系数：x=-1t本题t=12若原四棱锥体积为V，则V再由1λ+1μ=1所以VP-MCNQ≥t3、改编：若Q不是中点，而是满足.PQ:QA=1:2,则t于是1若总体积仍为12，则V4、更高级的方法：直接得到-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量a=(1,-2),a+b=(3,m),且a⊥b,则m=.【答案】-1【答案解析】a+b=3m,∴b=3m-1-2=2m+2,a13.已知抛物线(C:y2=2pxp0)的焦点为F，直线x-2y+4=0与C有唯一的公共点【答案】5【答案解析】{y2=2pxx=2y-14.已知函数fx=xx-22,对任意x∈[0,m],都有f(x【答案】32【答案解析】方法一：f'(x)=(x-2)(3x-2)=0,x=2或23,f(x)在-∞23单调递增，232单调递减，1∘0＜m≤23时,f(x)在[0,m]单调递增,f2∘23＜m≤83时，fxmax=f23=3227,∴3227方法二：默认m＞0,则m由题意得m≥0,f'x=3x2-8x+4=3x-2x-2,f'x=0题意等价于maxfx≤m由mm-22≤m得于是第一段得m=0，第二段得3227≤m综上m锤子拓展与深挖1、改编：若改为g则gga并且mm-a2≤m⇒m=0本题就是a=2的情形.2、命题背景：这类题本质上是在算f也就是区间[0，m]在函数作用下仍落回[0，m]内.3、推广与更高级的方法：若条件改为f(x)≤km，k＞0则只需处理gm≤km,本题对应即m=0或2-k≤再分别与0≤m≤23,23四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图,已知△PAB是圆锥PO的轴截面，PA=3,AB=2(1)求圆锥PO的外接球的表面积；(2)若C为弧AB的中点，求二面角C-PA-B的正切值.【答案解析】1PO=22,圆锥PO外接球球心O设O在△BOO'(2)如图建系，∴PA=0-1-而平面PAB的一个法向量n显然二面角C-PA-B的平面角θ为锐角，∴cosθ16.(15分)已知数列{an各项均不为零，(1)当t=1时,求an的前50(2)若an＞an【答案解析】(1)当t=1时,a令而b∴{an}一个周期的和为0，∴an的前50项和为：(2)当t=1时,由(1)知an为周期数列，an当t=2时,1∴1an成等差数列且首项为1，公差为2an单调递减满足an＞an+17.(15分)某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，选2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为p(0＜p＜1),记X为甲随机选择1个选项的得分，Y为甲随机选择2个选项的得分.(1)若p=23,求P((2)求X的概率分布列和数学期望；(3)证明：当且仅当0＜p＜12时，E(X)【答案解析】1(2)X的所有可能取值为0,2,3PP∴X的分布列如下：x023P13p∴(3)Y的所有可能取值为0,4,6.∴P∴∴当且仅当0＜p＜12时，E(X)18.(17分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1ab0)的离心率为7,P(4,3)是C(1)求C的方程;(2)若PA⋅PB=(3)证明:△PAB的外接圆的圆心Q在定直线上【答案解析】(1)由题意知 ∴C的方程为： x24(2)设直线l方程为y即x2ΔPA∴===⇒∴直线l的方程为y=-x+13.(3)设△PAB外接圆方程为x2+y2+Dx∴16+9+4D+3E+F=0⇒F=-25-4D-3E∴外接圆方程为x即Q72m+1721-m方法二：设IPA由：k设外接圆圆心为Qx0y所以x0+y0=28k1k方法三：(1)由题意,e2=1+b2a2=74⇒(2)设直线l方程为x+y=t.设A由x24-∴x1+x2=8t又xMPM2=得PA∴PA⋅PB=25t又Δ=-8t2故t=1舍去,t=13.∴l:x+y=13,即∴l:y=-x+13.(3)设直线l方程仍为x+y=t,|t|＞1.且△PAB存在,故t≠7.由上可得AB的中点M(4t,-3t).因为AB的斜率为-1,所以AB的垂直平分线斜率为1，其方程为y+3t=x-4t⇒y=x-7t.设外接圆圆心Q(u,v),则v=u-7t.①又QM2=u-4t2+v+3t2.由(1由(2)已得MA2=24t2-1因为Q为外接圆圆心，QP2=代入v=u-7t,得(u⇒2(t-7)u=7(t-7)(t+1).由t≠7,得u再由①，v=u-7t=7∴Q在定直线x+y=7.锤子拓展与深挖1、一般化结论这题里真正起作用的是中点M.只要M是AB的中点，就恒有PA若Q是△PAB的外接圆圆心，则Q所以本题第二问与第三问都可归结到同一组量P对本题双曲线x24-y23=1,则恒有xMPA这些式子把整题统一成了一个参数t的问题.2、锤子改编：若把第二问改成PA⋅PB=所以候选直线为x+y=7±例如本题m=36⇒t=1或13，其中t=1⇒Δ=3、命题背景：这类题的背景就是圆锥曲线中的平行弦问题.本题中所有斜率为-1的弦都写成.x+y=t,于是弦中点轨迹为M而外接圆圆心轨迹为Q719.(17分)已知函数f(1)对任意(0＜s＜t,f(2)对任意b＞0,函数g(x)=f(x)-b存在两个零点.x(i)求a的取值范围；(ii)对于(i)中给定的a,证明:当∣x1-x【答案解析】方法一：(1)由fx≥fs是∴f(x)在(0+∞上单调递增，⇒a1-h(x)在(0+∞上单调递减，(2)(i)对∀b＞0,⇒ex-bx令FF(x)在(-∞,lnb)上单调递减;(lnbx→-∞,F(x)→+∞;x→+∞,F(x)→+∞要使F(x)有两个零点，只需F⇒a＞bφ(b)在(0,1)上单调递增;(1,+∞)上上单调递减,∴(ii)令e∴ex-lnb-令x-lnb=t,其中的两根为t1令GG(t)在(-∞,0)上单调递减;0+∞上单调递增，作出G(t)令rr(b)在(0,a)上单调递减;(a,+∞)上单调递增,r∴当b=a时,rbmin=r∴∣x1-x方法二：(1)由题意，f令x=t,得f(t)≥f(s),∀0＜s＜t,故f(x)在(0,+∞)上单调递增.f令hx=e故h(x)在(0,+∞)上单调递增,且.x于是h(x)＞-1,x＞0.从而f'(x)≥0,∀x＞0⇒a≥1.当a=1时,f'x∴2令px=ep'x=令φ(b)=b-blnb,则φ'b=-lnb..故φ(b)≤于是p当a＞1时,x且pxmin＜0,故方程p(x)=0有两个不等实根，从而g当a＜1时,取b=1,则pxmin当a=1时,取b=1,则p唯一实根为x=0，但x=0不