交通规划设计之重力模型法

重力模型法

（GravityModel）主要内容理论概述参数标定无约束模型（简单模型）单约束模型双约束模型模型理论解释重力模型特点分布模型选择思考题一、重力模型理论GM模型描述：交通区i、j之间出行量与交通区i的产生量、交通区j的吸引量的乘积成正比，与交通区i、j之间的交通阻抗R（时间、费用、距离等）成反比。1955年Casey第一次将重力模型用于地域内两个城镇之间购物出行预测。GM模型：模拟物理学中的牛顿的万有引力定律，即：两物体间的引力与两物体的质量之积成正比，与它们之间距离的平方成反比。

重力模型法（GM）认为交通区i到j的出行分布量不仅与社会经济因素有关（驱动因素），而且还与时间、空间等阻碍因素有关，考虑较全面。重力模型的基本公式为：其中，Pi，Pj——小区i，j的人口数；

Oi，Dj——小区i，j的产生交通量与吸引交通量；

R——小区i，j间的阻抗（距离、费用等）；

k,α,,——模型参数。Casey模型模型式分子：产生分布交通量的驱动因素，α,通常称为潜能系数，在0.5-1.0取值，一般取1；模型式分母：阻抗，为阻抗系数,表示道路建设水平指标，=0.5~3.5

。当Cij0时，tij

+∞，与实际不符！

f（Cij）称为阻抗函数，它是减函数，当出行阻抗Cij（距离、时间、费用等）增加时函数值降低。常用的阻抗函数形式有：（1）指数形式（2）幂形式（3）综合函数对于公式：在现状OD表已知的条件下，Oi,Dj,Cij和tij已知，k,α,,可以用最小二乘法求得。对（7.3.1）式取对数:已知多元回归分析式二、重力模型参数标定（7.3.1）已知tij123O（∑j）120010010040021502502006003100150150400D（∑i）4505004501400现状OD表小区之间阻抗表Cij123114324023216223402212假设α,均为1，请标定重力模型的参数k和

。例题：参数标定解：一元线性回归公式令则：Y=采用最小二乘法求解得：b0=-5.627;b1=-0.5224由此求得：k=0.0036;

=0.5224-6.8-7.6-7.5-7.5-7.1-7.2-7.5-7.2-7.12.643.473.693.472.773.093.693.092.48X=不考虑未来P、A的约束，直接用公式和标定的参数对未来的Tij进行预测。例如：将未来的P、A、Cij代入前面公式：即可得到未来年份的出行分布矩阵。三、无约束重力模型无约束模型的计算结果，由于不考虑未来P、A的约束，可能与给定的产生量P、吸引量A差别很大，需要借助于增长系数法迭代后才能使用。见课本P140-143例题。为了避免预测与理论数值差别过大的情况，需对重力模型进行约束。通常有单约束、双约束、三约束等。只服从其中的一个约束，就称为单约束重力模型。如果两个条件约束都服从，则称为双约束重力模型。注意事项四、单约束重力模型推导过程乌尔希斯模型美国公路局模型S.t.或1、推导过程2、乌尔希斯模型S.t.S.t.P、A——预测年份的产生和吸引量。P、A——预测年份的产生和吸引量。约束P约束A求解思路：（1）用现状OD矩阵和阻抗矩阵标定阻抗参数γ；（2）用未来的P、A、距离矩阵、参数γ计算未来的分布矩阵。（3）此处采用约束P的方法。解：假设阻抗函数为小区1总体可达性（1）假设γ=1，首先检验γ=1是否合理。交通区1：根据计算小区1到各小区出行量：交通区2：交通区3：81410可以看出，由于采用单约束，只满足了现状产生量O约束，没有满足现状吸引力D约束。D（2）计算未来的交通分布矩阵。交通区1：∑A1/C1j=16/2+28/4+40/4=25

T(1,1)=16*8/25=5.12 T(1,2)=16*7/25=4.48 T(1,3)=16*10/25=6.4交通区2：∑A2/C2j=16/4+28/1+40/2=52

T(2,1)=28*4/52=2.15 T(2,2)=28*28/52=15.08 T(2,3)=28*20/52=10.77交通区3：∑A3/C3j=16/4+28/2+40/2=38

T(3,1)=40*4/38=4.21 T(3,2)=40*14/38=14.74 T(3,3)=40*20/38=21.05未来OD矩阵为：123P15.124.486.41622.1515.0810.772834.2114.7421.0540A11.4834.338.22由于为单约束P，此处A约束不满足.3、美国公路局重力模型S.t.

Kij为调整系数，采用试算法确定。当Kij

=1时，即为乌尔希斯重力模型。

λij—i小区到j小区的实际分布交通量与计算分布交通量之比，λij=tij/t’ij；

Yij—i小区到j小区的实际分布交通量与i小区的出行产生量之比，Yij=tij/Oi。五、双约束重力模型双约束重力模型公式参数标定方法例题现状阻抗函数S.t.1、双约束重力模型公式S.t.推导过程：2、双约束重力模型计算步骤第一步，给参数γ取初值。γ可用最小二乘法标定，若无法标定，则令γ

=1；第二步，用迭代法求约束系数。以幂指数交通阻抗为例（1）令m=0，m为计算次数。（2） 令（3）求出第三步，将求得参数代入，用现状OD值求现状理论分布表｛｝第四步，计算现状实际OD分布表的平均交通阻抗，再计算理论分布表中的平均交通阻抗： ，求两者相对误差。（4）

收敛判定。若下式满足，则结束计算；反之，令m+1=m，返回第（3）步重复计算。

第五步，如果满足要求(<3%)，则接受γ的求解，否则：

①若，则理论分布量小于实际，应减少γ的值，可令γ＝γ／2；

②若，则理论分布量大于实际，应增大γ的值，令γ＝2γ；

③返回第一步，重新计算。

DO345∑j1150100503002400100200700∑i5502002501000现状OD表小区之间现状阻抗表Cij34513252354假设α,均为1，求双约束重力模型的公式

。3、例题解：第一步，给出参数γ初始值，令γ=1。第二步，采用迭代法求约束系数ai，bj。第一次迭代。令b3=b4=b5=1，则：用a1，a2的数值求解b3，b4，b5

，则：第二次迭代。求解新的a1，a2数值，则：用a1，a2的数值再次求解b3，b4

，b5

，为：b3=0.8957，b4=1.0643，b5

=1.2618第三次迭代。求解新的a1，a2，b3，b4

，b5数值，结果与第二次迭代相同，满足收敛条件（<3%)，停止迭代。第三步，根据求出的参数计算现状分布理论值。……. 求出各交通区之间的理论分布值为：

DO345∑j1147.5995.756.73002402.4104.3193.3700∑i5502002501000第四步，检验。根据实际OD和理论OD表求得平均交通阻抗：认为γ=1可以接受。六、三维约束重力模型

（Tri-proportionalGravityModels）OD矩阵或阻抗矩阵中的某些单元格满足附加条件。例如，某个区域中有四类出行，如下表所示：

DO12341ABCD2BCDA3CDAB4DABC如果各类出行总量已知，例如:

∑A=XXX

或∑B=XX

或∑C=X

或∑D=XXXX则可看作对双约束又增加一维约束。不仅重力模型可以有三维约束，增长系数法也可以有三维约束，原理同三维重力模型法。七、模型理论解释概率论解释信息论解释了解即可，详细见课本P146页。优点：①直观上容易理解；②能考虑路网的变化和土地利用对出行的影响；③特定区的现有OD交通量为零时，也能预测；④能比较敏感地反映交通小区之间行驶时间变化的情况。缺点：

①虽考虑路网变化和土地利用对出行的影响，但没有考虑出行者的个体因素影响；②交通区内出行交通量无法求出；③若交通小区之间的距离非常小时，有夸大预测的可能性。八、重力模型的特点九、交通分布模型的选用重力模型法能够考虑路网阻抗的变化，要求数据不苛刻，可用于封闭区域各种交通规划。增长系数法可以作为重力模型法的补充，在重力模型法无法满足约束条件时，可以辅助应用（例如课本P142）；也可以用于预测城市外部交通量及公路铁路交通量。DO123合计预计117.07.04.028.038.627.038.06.051.091.934.05.017.026.036.0合计28.050.027.0105.0预计39.390.336.9166.51、根据现状OD表、将来产生生与吸引交通量、现状及将来阻抗矩阵，分别采用无约束、单约束、双约束重力模型，求出将来OD表。收敛标准ε=1%。假设重力模型公式如下：答案：

现状行驶时间将来行驶时间Cij12318.017.022.0217.015.023.0322.023.07.0Cij12314.09.011.029.08.012.0311.012.04.0现状OD与未来PA十、思考与习题2、