刚体的定轴转动

1

刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体．(任意两质点间距离保持不变的特殊质点组．)刚体的运动形式：平动、转动．⑴刚体是理想模型⑵刚体模型是为简化问题引进的．说明：2

刚体平动质点运动

平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同．

特点：各点运动状态一样，如：等都相同．3转动：分定轴转动和非定轴转动刚体的平面运动

4刚体的一般运动可看作：随质心的平动绕质心的转动+的合成5沿逆时针方向转动一刚体转动的角速度和角加速度角位移

角坐标沿顺时针方向转动<0q0>q角速度矢量

方向:右手螺旋方向P’(t+dt).OxP(t)r.6角加速度

刚体定轴转动(一维转动)的转动方向可以用角速度的正、负来表示.7(1)

每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；(2)

任一质点运动均相同，但不同；定轴转动的特点

(3)

运动描述仅需一个角坐标．8二匀变速转动公式

刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动

当刚体绕定轴转动的角加速度

=常量时，刚体做匀变速转动．9三角量与线量的关系10

例1在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的转轴旋转．开始起动时，角速度为零．起动后其转速随时间变化关系为：式中．求：(1)t=6s时电动机的转速．(2)起动后，电动机在t=6s时间内转过的圈数．(3)角加速度随时间变化的规律．11(2)

电动机在6s内转过的圈数为解(1)

将t=6s

代入(3)

电动机转动的角加速度为12例2在高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动．开始时，它的角速度，经300s

后，其转速达到18000r·min-1

．转子的角加速度与时间成正比．问在这段时间内，转子转过多少转？解令，即，积分得13当t=300s

时14由得在300s内转子转过的转数15P*O:力臂

对转轴z

的力矩

1

力矩

用来描述力对刚体的转动作用．四力矩转动定律转动惯量方向：垂直板面向外，大小：方向：垂直板面向里，大小：作用力与反作用力对同一点的力矩的矢量和为零。设：力偶力偶矩大小相等、方向相反、不在同一条直线上的一对力称为力偶。合力矩：18O讨论

（1）若力不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量

其中对转轴的力矩为零，故对转轴的力矩19O（2）合力矩等于各分力矩的矢量和

（3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消．20

例1

有一大型水坝高110m、长1000m,水深100m，水面与大坝表面垂直，如图所示.求作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝基点Q且与x轴平行的力矩.QyOxyOhxL21

解设水深h，坝长L，在坝面上取面积元，作用在此面积元上的力yOhxyQyOxL22令大气压为，则代入数据，得yOhxyL23QyOyh

对通过点Q的轴的力矩代入数据，得：24O2

转动定律

（1）单个质点与转轴刚性连接25（2）刚体

质量元受外力，内力外力矩内力矩O26

刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.转动定律定义转动惯量O27讨论（1）（2）（3）

=常量转动定律283

转动惯量J

的意义：转动惯性的量度.

转动惯量的单位：kg·m229

质量离散分布

J的计算方法

质量连续分布

：质量元

：体积元例题1

求质量为m，半径为R的均匀圆环的对中心轴的转动惯量。解：设线密度为λ；例题2求质量为m、半径为R的均匀薄圆盘对中心轴的转动惯量。

取半径为r宽为dr的薄圆环,解：设面密度为σ。例题3

求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。解1）取A点为坐标原点。在距A点为x处取dm=λdx。2）取C点为坐标原点。在距C点为x

处取dm。32刚体的转动惯量与以下三个因素有关：（3）与转轴的位置有关．凡提到转动惯量必须指明它是对哪个轴的。（1）与刚体的体密度

有关．（2）与刚体的几何形状(及体密度

的分布)有关．说明334

平行轴定理

质量为

的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为，则对任一与该轴平行，相距为

的转轴的转动惯量CO34质量为m，长为L的细棒绕其一端的JP圆盘对P

轴的转动惯量OO1d=L/2O1’O2O2’35竿子长些还是短些较安全？

飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？36(2)为瞬时关系．(3)转动中与平动中地位相同．(1)

,与方向相同．说明

转动定律应用37

例2

质量为mA的物体A

静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为mB

的物体B上，B

竖直悬挂．滑轮与绳索间无滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计．(1)两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？(2)

物体B

从静止落下距离y时，其速率是多少？38解

(1)

用隔离法分别对各物体作受力分析，取如图所示坐标系．ABCOO39OO40解得：41如令，可得

（2）

B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率42稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动．试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度．例3一长为l、质量为m匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动．由于此竖直放置的细杆处于非m,lOmgθ43

解