-新教材高中数学午间半小时四十练习含解析苏教版必修第二册

PAGEPAGE4午间半小时(四十)(30分钟50分)一、单选题1．若长方体的长、宽、高分别为3cm，4cm，5cm，则长方体的体积为()A．27cm3B．60cm3C．64cm3D．125cm3【解析】选B.V＝3×4×5＝60cm3.2．若正方体的棱长为eq\r(2)，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为()A．eq\f(\r(2),6)B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(3),3)D．eq\f(2,3)【解析】选B.所求八面体体积是两个底面边长为1，高为eq\f(\r(2),2)的四棱锥的体积和，一个四棱锥体积V1＝eq\f(1,3)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),6)，故八面体体积V＝2V1＝eq\f(\r(2),3).3．用边长分别为2与4的矩形，作圆柱的侧面，则这个圆柱的体积为()A．eq\f(4,π) B．eq\f(6,π)C．eq\f(6,π)或eq\f(8,π) D．eq\f(4,π)或eq\f(8,π)【解析】选D.当圆柱的高和底面周长分别为2和4时，则可得底面半径为eq\f(2,π)，底面面积为eq\f(4,π)，则体积为eq\f(8,π)；当圆柱的高和底面周长分别为4和2时，则可得底面半径为eq\f(1,π)，底面面积为eq\f(1,π)，则体积为eq\f(4,π)；则可得圆柱的体积为eq\f(8,π)或eq\f(4,π).4．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的()A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍【解析】选C.半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x，2x，3x，则最大球的半径为3x，其体积为eq\f(4,3)π×(3x)3，其余两个球的体积之和为eq\f(4,3)πx3＋eq\f(4,3)π×(2x)3，所以eq\f(4,3)π×(3x)3÷eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πx3＋\f(4,3)π×（2x）3))＝3.5．如图，ABC­A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)【解析】选C.VC－AA′B′B＝VABC－A′B′C′－VC－A′B′C′＝S△ABC·AA′－eq\f(1,3)S△ABC·AA′＝eq\f(2,3)S△ABC·AA′＝eq\f(2,3).6．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得的这个圆台的圆锥的体积是()A．54B．54πC．58D．58π【解析】选A.设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝eq\f(1,3)πh1(r2＋9r2＋3r·r)，所以πr2h1＝12.令原圆锥的高为h，由相似知识得eq\f(r,3r)＝eq\f(h－h1,h)，所以h＝eq\f(3,2)h1，所以V原圆锥＝eq\f(1,3)π(3r)2×h＝3πr2×eq\f(3,2)h1＝eq\f(9,2)×12＝54.二、多选题7．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F，M分别是AD，CD的中点，则下列结论中正确的是()A．FM∥A1C1B．BM⊥平面CC1FC．存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1DD．三棱锥B­CEF的体积为定值【解析】选ABD.在A中，因为F，M分别是AD，CD的中点，所以FM∥AC∥A1C1，故A正确；在B中，因为tan∠BMC＝eq\f(BC,CM)＝2，tan∠CFD＝eq\f(CD,FD)＝2，故∠BMC＝∠CFD，故∠BMC＋∠DCF＝∠CFD＋∠DCF＝eq\f(π,2).故BM⊥CF，又有BM⊥C1C，CF∩C1C＝C，所以BM⊥平面CC1F，故B正确；在C中，BF与平面CC1D1D有交点，所以不存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1D，故C错误；在D中，三棱锥B­CEF以平面BCF为底，则高是定值，所以三棱锥B­CEF的体积为定值，故D正确．8．如图，在三棱锥P­ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝PA＝6，BC＝8，则正确的是()A．三棱锥D­BEF的体积为6B．直线PB与直线DF垂直C．平面DEF截三棱锥P­ABC所得的截面面积为12D．点P与点A到平面BDE的距离相等【解析】选ACD.A.因为PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝PA＝6，BC＝8，又因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，所以DE∥PA，DE＝eq\f(1,2)PA＝3，S△BEF＝eq\f(1,2)BF·EF＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)AB×eq\f(1,2)BC＝6，所以V三棱锥D­BEF＝eq\f(1,3)×S△BEF×DE＝eq\f(1,3)×6×3＝6，故正确；B.若直线PB与直线DF垂直，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，又EF∥BC，所以EF⊥平面PAB，所以EF⊥PB，所以PB⊥平面DEF，易知AB⊥平面DEF，矛盾，故错误；C.如图所示：取PB的中点G，连接GD，GF，则GF∥PA，GF＝eq\f(1,2)PA，DE∥PA，DE＝eq\f(1,2)PA，所以DE∥GF，DE＝GF，所以平面DEF截三棱锥P­ABC所得的截面为矩形GFED，其面积为2S△DEF＝2×eq\f(1,2)EF×DE＝2×eq\f(1,2)×4×3＝12，故正确；D.因为DE∥PA，DE⊂平面DEB，PA⊄平面DEB，所以PA∥平面DEB，所以点P与点A到平面BDE的距离相等，故正确．三、填空题9．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E­BCD的体积是________.【解析】因为长方体ABCD­A1B1C1D1的体积为120，所以AB·BC·CC1＝120，因为E为CC1的中点，所以CE＝eq\f(1,2)CC1，由长方体的性质知CC1⊥底面ABCD，所以CE是三棱锥E­BCD的底面BCD上的高，所以三棱锥E­BCD的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AB·BC·CE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AB·BC·eq\f(1,2)CC1＝eq\f(1,12)×120＝10.答案：1010．已知四棱锥的底面是边长为eq\r(2)的正方形，侧棱长均为eq\r(5).若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________.【解析】由题意四棱锥的底面是边长为eq\r(2)的正方形，侧棱长均为eq\r(5)，借助勾股定理，可知四棱锥的高为eq\r(5－1)＝2，