中考数学专题训练-锐角三角函数的综合题分类及详细答案

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中考数学专题训练锐角三角函数的综合题分类及详细答案

一、锐角三角函数

1．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口动身，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．

【答案】．

【解析】

试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，依照

正切的定义求出CD的长，得到答案．

试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=

，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，

∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=

，∴CD=

=，

∴BC=

．故该船与B港口之间的距离CB的长为

海里．

考点：解直角三角形的应用-方向角咨询题．

2．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的歪坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB和CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF为

1.4m.现已测量出屋顶歪面与水平面夹角为2θ，并已知1tan1.082θ=，

2tan0.412θ=．假如安装工人确定支架AB高为25cm，求支架CD的高（结果精确到

1cm）？

【答案】

【解析】

于F，依照锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值，又可证过A作AFCD

四边形ABCE为平行四边形，故有EC=AB=25cm，再再依照DC=DE+EC举行解答即可．

3．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂脚为H，连接AC．

(1)试推断BE与FH的数量关系，并讲明理由；

(2)求证：∠ACF=90°；

(3)连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2.若EC=4，∠CEF=15°，求的长.

图1图2

【答案】（1）BE="FH"；理由见解析

（2）证明见解析

（3）=2π

【解析】

试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH

（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明

（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长

试题解析：（1）BE=FH．理由如下：

∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90°，

∵FH⊥BC∴∠FHE=90°

又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF="90°"且∠BAE+∠AEB=90°

∴∠HEF=∠BAE∴∠AEB=∠EFH又∵AE=EF

∴△ABE≌△EHF（SAS）

∴BE=FH

(2)∵△ABE≌△EHF

∴BC=EH，BE=FH又∵BE+EC=EC+CH∴BE="CH"

∴CH=FH

∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°

∵AC是正方形对角线，∴∠ACD=45°

∴∠ACF=∠FCM+∠ACD=90°

（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形

△AEF外接圆的圆心在歪边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°

过E作EN⊥AC于点N

Rt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=

Rt△ENA中，EN=

又∵∠EAF=45°∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）

∴∠EAC=30°

∴AE=

Rt△AFE中，AE==EF，∴AF=8

AE所在的圆O半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90°

=2π·4·（90°÷360°）=2π

考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数

4．如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，

∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴

正方向平行挪移，当点C运动到点O时停止运动．解答下列咨询题：

（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME的度数．

（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE通过点B时，求BC的长．

（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．

【答案】（1）∠BME=15°；

（2BC=4；

（3）h≤2时，S=﹣h2+4h+8，

当h≥2时，S=18﹣3h．

【解析】

试题分析：（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．依照三角形外角的定理举行解答即可；

（2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，经过解直角△BOC就可求出BC的长度；

（3）需要分类讨论：①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，S=S△EDC﹣S△EFM；②当h≥2时，如图3，S=S△OBC．

试题解析：解：（1）如图2，

∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．

∴OA=OB，

∴∠OAB=45°，

∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，

∴∠OCE=60°，

∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，

∴∠BME=∠CMA=15°；

如图3，

∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，

∴∠OBC=∠DEC=30°，

∵OB=6，

∴BC=4；

（3）①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，

∵CD=4，DE=4，AC=h，AN=NM，

∴CN=4﹣FM，AN=MN=4+h﹣FM，

∵△CMN∽△CED，

∴，

∴，

解得FM=4﹣，

∴S=S△EDC﹣S△EFM=×4×4﹣（44﹣h）×（4﹣）=﹣h2+4h+8，②如图3，当h≥2时，

S=S△OBC=OC×OB=（6﹣h）×6=18﹣3h．

考点：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形

5．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分不在BC、AC旁边，连结BE、AD交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探索∠APE的度数：

（1）如图1，若k=1，则∠APE的度数为；

（2）如图2，若k=3，试咨询（1）中的结论是否成立？若成立，请讲明理由；若别成立，求出∠APE的度数．

（3）如图3，若k=3，且D、E分不在CB、CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请讲明理由．

【答案】（1）45°；（2）（1）中结论别成立，理由见解析；（3）（2）中结论成立，理由见解析.

【解析】

分析：（1）先推断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而推断出

△FAE≌△ACD，得出EF=AD=BF，再推断出∠EFB=90°，即可得出结论；

（2）先推断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而推断出

△FAE∽△ACD，再推断出∠EFB=90°，即可得出结论；

（3）先推断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而推断出

△ACD∽△HEA，再推断出∠EFB=90°，即可得出结论；

详解：（1）如图1，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，

∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形，

∴BD=AF，BF=AD．

∵AC=BD，CD=AE，

∴AF=AC．

∵∠FAC=∠C=90°，

∴△FAE≌△ACD，

∴EF=AD=BF，∠FEA=∠ADC．

∵∠ADC+∠CAD=90°，

∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD．

∵AD∥BF，

∴∠EFB=90°．

∵EF=BF，∴∠FBE=45°，∴∠APE=45°．

（2）（1）中结论别成立，理由如下：

如图2，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，

∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形，∴BD=AF，BF=AD．∵AC=3BD，CD=3AE，

∴

3ACCD

BDAE==．∵BD=AF，

∴

3ACCD

AFAE

==．∵∠FAC=∠C=90°，∴△FAE∽△ACD，

∴

3ACADBF

AFEFEF===，∠FEA=∠ADC．∵∠ADC+∠CAD=90°，

∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD．∵AD∥BF，∴∠EFB=90°．

在Rt△EFB中，tan∠FBE=3

3

EFBF=

，∴∠FBE=30°，∴∠APE=30°，

（3）（2）中结论成立，如图3，作EH∥CD，DH∥BE，EH，DH相交于H，连接AH，

∴∠APE=∠ADH，∠HEC=∠C=90°，四边形EBDH是平行四边形，∴BE=DH，EH=BD．∵AC=3BD，CD=3AE，

∴

3ACCD

BDAE

==．∵∠HEA=∠C=90°，∴△ACD∽△HEA，

∴

3ADAC

AHEH

==，∠ADC=∠HAE．∵∠CAD+∠ADC=90°，∴∠HAE+∠CAD=90°，∴∠HAD=90°．

在Rt△DAH中，tan∠ADH=3AH

AD

=，∴∠ADH=30°，∴∠APE=30°．

点睛：此题是三角形综合题，要紧考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质．

6．下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4m,AB=6m,中间平台宽度DE=1m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂脚分不为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1m.参考数据:sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)

【答案】2.5m.【解析】

试题分析：设DF=x，在Rt△DFC中，可得CF=DF=x，则BF=4-x，依照线段的和差可得AN=5-x，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，利用∠EAB的正切值解得x的

值．

试题解析：解：设DF=，在Rt△DFC中，∠CDF=，

∴CF=tan·DF=，

又∵CB=4，∴BF=4－，

∵AB=6，DE=1，BM=DF=，∴AN=5－，EN=DM=BF=4－，

在Rt△ANE中，∠EAB=，EN=4－，AN=5－，

tan==0．60，

解得=2．5，

答：DM和BC的水平距离BM为2．5米．

考点：解直角三角形．

7．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．

（1）推断DE与⊙O的位置关系，并讲明理由；

（2）求证：BC2＝2CD?OE；

（3）若

XXX

cos,

53

BADBE

∠==，求OE的长．

【答案】（1）DE为⊙O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE=35

6

．

【解析】

试题分析：（1）连接OD，BD，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角，可得出△BCD为直角三角形，E为歪边BC的中点，由直角三角形歪旁边的中线等于歪边的一半，得到CE=DE，从而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中两锐角互余，从而可得∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为⊙O的切线；

（2）由已知可得OE是△ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，依照相似三角形的对应边的比相等，即可证得；

（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，依照三角形中位线定理OE的长即可求得．

试题解析：（1）DE为⊙O的切线，理由如下：

连接OD，BD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

在Rt△BDC中，E为歪边BC的中点，

∴CE=DE=BE=BC，

∴∠C=∠CDE，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO，

∵∠ABC=90°，

∴∠C+∠A=90°，

∴∠ADO+∠CDE=90°，

∴∠ODE=90°，

∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，

∴DE为⊙O的切线；

（2）∵E是BC的中点，O点是AB的中点，

∴OE是△ABC的中位线，

∴AC=2OE，

∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，

∴△ABC∽△BDC，

∴，即BC2=AC?CD．

∴BC2=2CD?OE；

（3）解：∵cos∠BAD=，

∴sin∠BAC=，

又∵BE=，E是BC的中点，即BC=，

∴AC=．

又∵AC=2OE，

∴OE=AC=．

考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数

8．如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部别能直截了当到达，故兴趣小