高中数学解三角形应用举例(有答案)

解三角形应用举例一．选择题（共19小题）1．（2014•海南模拟）如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC=50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，则A、B两点的距离为（）AmBmCmDm．．．．2．（2014•海淀区二模）如图所示，为了测量某湖泊两侧A、B间的距离，李宁同学首先选定了与A、B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案：（△ABC的角A、B、C所对的边分别记为a、b、c）：①测量A、C、b；②测量a、b、C；③测量A、B、a；则一定能确定A、B间距离的所有方案的序号为（）A①②B②③C①③D①②③．．．．3．（2014•重庆一模）在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ=90°，再过两分钟后，该物体位于R点，且∠QOR=30°，则tan∠OPQ的值为（）ABCD．．．．4．（2014•成都三模）在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平面上，为了测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了A、B两个观测点，在A处测得该塔底部C在西偏北α的方向上，在B处测得塔底C在西偏北β的方向上，并测得塔顶D的仰角为γ，已知AB=a，0＜γ＜β＜α＜，则此塔高CD为（）AB．C．tanγ．D．tanγtanγtanγ5．（2014•浙江模拟）如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离（单位：百米），已测得隧道两端点A，B到某一点C的距离分别为5和8，∠ACB=60°，则A，B之间的距离为（）A7B10C6D8．．．．6．（2014•房山区一模）如图，有一块锐角三角形的玻璃余料，欲加工成一个面积不小于800cm2的内接矩形玻璃（阴影部分），则其边长x（单位：cm）的取值范围是（）A．[10，30]B．[25，32]C．[20，35]D．[20，40]7．（2014•濮阳一模）如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ+30°角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ的值为（）ABCD．．．．8．（2014•成都三模）某公司要测量一水塔CD的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平直线上选择A，B两个观测点，在A处测得该水塔顶端D的仰角为α，在B处测得该水塔顶端D的仰角为β，已知AB=a，0＜β＜α＜，则水塔CD的高度为（）ABCD．．．．9．（2014•怀化一模）在等腰Rt△ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到原来的点P．若，则△PQR的周长等于（）ABCD．．．．10．（2012•珠海一模）台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区内的时间为（）A．B1小时．C．D2小时．11．（2011•宝鸡模拟）一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知D成120°角，且y=g（x）的大小分别为1和2，则有（）A．F1，F3成90°角B．F1，F3成150°角C．F2，F3成90°角D．F2，F3成60°角12．（2011•大连二模）已知A船在灯塔C北偏东75°且A到C的距离为3km，B船在灯塔C西偏北15o且B到C的距离为km，则A，B两船的距离为（）A5kmBkmC4kmDkm．．．．13．（2011•安徽模拟）如图，在山脚下A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到达B，在B处测得山顶P的仰角为γ，则山高PQ为（）AB．C．D．．14．（2010•武昌区模拟）某人朝正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好，那么x的值为（）A．或B2．C．D3．215．（2010•江门一模）海事救护船A在基地的北偏东60°，与基地相距海里，渔船B被困海面，已知B距离基地100海里，而且在救护船A正西方，则渔船B与救护船A的距离是（）AB100海里200海里．C．D100海里或200海里海里16．（2010•武汉模拟）飞机从甲地以北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地以南偏东75°的方向飞行1400km到达丙地，那么丙地距甲地距离为（）A1400kmB700kmC700kmD1400km．．．．17．（2010•石家庄二模）如图，一条宽为a的直角走廊，现要设计一辆可通过该直角走廊的矩形面平板车，其宽为b（0＜b＜a）．则该平板车长度的最大值为（）ABCD．．．．18．（2009•韶关二模）北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），则旗杆的高度为（）A．10米B．30米C．米D．米1019．（2009•温州一模）北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，看台上第一排和最后一排的距离米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度约为50秒，升旗手匀速升旗的速度为（）A．B．C．D．（米/秒）（米/秒）（米/秒）（米/秒）二．填空题（共7小题）20．（2014•重庆模拟）如图，割线PBC经过圆心O，PB=OB=1，PB绕点O逆时针旋120°到OD，连PD交圆O于点E，则PE=_________．21．（2014•南昌模拟）已知△ABC中，角A，B，C所对应的边的边长分别为a，b，c，外接圆半径是1，且满足条件2（sin2A﹣sin2C）=（sinA﹣sinB）b，则△ABC面积的最大值为_________．22．（2014•韶关二模）一只艘船以均匀的速度由A点向正北方向航行，如图，开始航行时，从A点观测灯塔C的方位角（从正北方向顺时针转到目标方向的水平角）为45°，行驶60海里后，船在B点观测灯塔C的方位角为75°，则A到C的距离是_________海里．23．（2014•潍坊二模）如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ（0°＜θ＜45°）的C处，且cosθ=，已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为_________海里/小时．24．（2014•潍坊三模）如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，A、B间的距离为3km，某公交公司要在A、B之间的某点N处建造一个公交站点，使得N对C、D两个小区的视角∠CND最大，则N处与A处的距离为_________km．25．（2014•台州一模）为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）如图所示，且∠B+∠D=180°，则AC的长为_________km．m/s的速率，从路灯在地面上的射影点C处，沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率v为_________m/s．三．解答题（共4小题）27．（2014•广州模拟）如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：∠ACD=90°，∠ADC=60°，∠ACB=15°，∠BCE=105°，∠CEB=45°，DC=CE=1（百米）．（1）求△CDE的面积；（2）求A，B之间的距离．28．（2014•福建模拟）如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N（异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）．29．（2010•福建）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（Ⅱ）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；（Ⅲ）是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由．30．在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的西偏南65°距离为300米的地方，在A测得山顶的仰角是30°，求山高（精确到10米，sin70°=0.94）．2014年12月27日高中数学解三角形应用举例参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．（2014•海南模拟）如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC=50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，则A、B两点的距离为（）AmBmCmDm．．．．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：依题意在A，B，C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC，∠ACB，B的值求得AB解答：解：由正弦定理得，∴AB===50，∴A，B两点的距离为50m，故选：D．点评：本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．2．（2014•海淀区二模）如图所示，为了测量某湖泊两侧A、B间的距离，李宁同学首先选定了与A、B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案：（△ABC的角A、B、C所对的边分别记为a、b、c）：①测量A、C、b；②测量a、b、C；③测量A、B、a；则一定能确定A、B间距离的所有方案的序号为（）A①②B②③C①③D①②③．．．．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：根据图形，可以知道a，b可以测得，角A、B、C也可测得，利用测量的数据，求解A，B两点间的距离唯一即可．解答：解：对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离．对于②直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离．故选：D．点评：本题以实际问题为素材，考查解三角形的实际应用，解题的关键是分析哪些可测量，哪些不可直接测量，注意正弦定理的应用．3．（2014•重庆一模）在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ=90°，再过两分钟后，该物体位于R点，且∠QOR=30°，则tan∠OPQ的值为（）ABCD．．．．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：根据题意设PQ=x，可得QR=x，∠POQ=90°，∠QOR=30°，∠OPQ+∠R=60°．算出∠R=60°﹣∠OPQ，分别在△ORQ、△OPQ中利用正弦定理，计算出OQ长，再建立关于∠OPQ的等式，解之即可求出tan∠OPQ的值．解答：解：根据题意，设PQ=x，则QR=2x，∵∠POQ=90°，∠QOR=30°，∴∠OPQ+∠R=60°，即∠R=60°﹣∠OPQ在△ORQ中，由正弦定理得∴OQ==2xsin（60°﹣∠OPQ）在△OPQ中，由正弦定理得OQ=∴2xsin（60°﹣∠OPQ）=xsin∠OPQ∴2sin（60°﹣∠OPQ）=sin∠OPQ×sin∠OPQ=xsin∠OPQ∴=sin∠OPQcos∠OPQ=2sin∠OPQ，所以tan∠OPQ=整理得=．故选：B点评：本题考查利用正弦定理解决实际问题，要把实际问题转化为数学问题，利用三角函数有关知识进行求解是解决本题的关键．4．（2014•成都三模）在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平面上，为了测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了A、B两个观测点，在A处测得该塔底部C在西偏北α的方向上，在B处测得塔底C在西偏北β的方向上，并测得塔顶D的仰角为γ，已知AB=a，0＜γ＜β＜α＜，则此塔高CD为（）AB．C．tanγ．D．tanγtanγtanγ考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：先求出BC，再求出CD即可．解答：解：在△ABC中，∠ACB=α﹣β，∠ACBA=π﹣α，AB=a，∴，∴BC=，∴CD=BCtanγ=故选：B．tanγ．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了运用数学知识，建立数学模型解决实际问题的能力．5．（2014•浙江模拟）如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离（单位：百米），已测得隧道两端点A，B到某一点C的距离分别为5和8，∠ACB=60°，则A，B之间的距离为（）A7B10C6D8．．．．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：由余弦定理和已知边和角求得AB的长度．解答：解：由余弦定理知AB===7，所以A，B之间的距离为7百米．故选：A．6．（2014•房山区一模）如图，有一块锐角三角形的玻璃余料，欲加工成一个面积不小于800cm2的内接矩形玻璃（阴影部分），则其边长x（单位：cm）的取值范围是（）A．[10，30]B．[25，32]C．[20，35]D．[20，40]考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：S=x（60﹣x），利用S≥800解出即可．，（0＜x＜60）．矩形的面积，解得y=60﹣x，（0＜x＜解答：解：设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：60）∴矩形的面积S=x（60﹣x），∵矩形花园的面积不小于800m2，∴x（60﹣x）≥800，化为（x﹣20）（x﹣40）≤0，解得20≤x≤40．满足0＜x＜60．故其边长x（单位m）的取值范围是[20，40]．故选：D．点评：本题考查了相似三角形的性质、三角形的面积计算公式、一元二次不等式的解法等基础知识与基本技能方法，属于中档题．7．（2014•濮阳一模）如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ+30°角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ的值为（）ABCD．．．．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：连接BC，在三角形ABC中，利用余弦定理求出BC的长，再利用正弦定理求出sin∠ACB的值，即可求出sinθ的值．解答：解：连接BC，在△ABC中，AC=10海里，AB=20海里，∠CAB=120°根据余弦定理得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cos∠CAB=100+400+200=700，∴BC=10海里，根据正弦定理得，即，∴sin∠ACB=，∴sinθ=．故选：A．点评：解三角形问题，通常要利用正弦定理、余弦定理，同时往往与三角函数知识相联系．8．（2014•成都三模）某公司要测量一水塔CD的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平直线上选择A，B两个观测点，在A处测得该水塔顶端D的仰角为α，在B处测得该水塔顶端D的仰角为β，已知AB=a，0＜β＜α＜，则水塔CD的高度为（）ABCD．．．．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：设CD=x，求出AC，BC，利用a=BC﹣AC，即可求出水塔CD的高度．解答：解：设CD=x，则AC=，∵BC=∴a=，a=BC﹣AC，﹣，∴x==，故选：B．点评：本题考查解三角形的实际应用，考查学生的计算能力，求出AC，BC是关键．9．（2014•怀化一模）在等腰Rt△ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到原来的点P．若，则△PQR的周长等于（）ABCD．．．．考点：解三角形的实际应用．专题：综合题；解三角形．分析：建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得△PQR的周长．解答：解：建立如图所示的坐标系：可得B（4，0），C（0，4），P（，0）故直线BC的方程为x+y=4，P关于y轴的对称点P2（﹣，0），设点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足，解得，即P1（4，），由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，故△PQR的周长等于|P1P2|=故选：A．=．10．（2012•珠海一模）台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区内的时间为（）A．B1小时．C．D2小时．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：先以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，进而可知B点坐标和台风中心移动的轨迹，求得点B到射线的距离，进而求得答案．解答：解：如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则B（40，0），台风中心移动的轨迹为射线y=x（x≥0），而点B到射线y=x的距离d=故l=2=20，=20＜30，故B城市处于危险区内的时间为1小时，故选B．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．通过建立直角坐标系把三角形问题转换成解析几何的问题，方便了问题的解决．11．（2011•宝鸡模拟）一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知D成120°角，且y=g（x）的大小分别为1和2，则有（）A．F1，F3成90°角B．F1，F3成150°角C．F2，F3成90°角D．F2，F3成60°角考点：解三角形的实际应用；向量的模；向量在物理中的应用．分析：处于平衡状态即三个力合力为0，利用向量表示出等式，将等式变形平方，利用数量积公式求出，T通过三角形边的关系求出角．解答：解：由⇒⇒=+2||•||cos120°=由知，F1，F3成90°角，故选A．点评：本题考查向量的数量积公式、向量模的求法、及解三角形．12．（2011•大连二模）已知A船在灯塔C北偏东75°且A到C的距离为3km，B船在灯塔C西偏北15o且B到C的距离为km，则A，B两船的距离为（）A5kmBkmC4kmDkm．．．．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：先画出简图求出角A的值，再由余弦定理可得到AB的值．解答：解：依题意可得简图，可知A=150°，根据余弦定理可得，AB2=BC2+AC2﹣2BC×ACcosC=16，∴AB=4．故选C．点评：本题主要考查余弦定理的应用．属基础题．主要在于能够准确的画出图形来．13．（2011•安徽模拟）如图，在山脚下A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到达B，在B处测得山顶P的仰角为γ，则山高PQ为（）AB．C．D．．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；应用题．分析：△PAB中，由正弦定理可得PB=，根据PQ=PC+CQ=PB•sinγ+asinβ通分化简可得结果．解答：解：△PAB中，∠PAB=α﹣β，∠BPA=（﹣α）﹣（﹣γ）=γ﹣α，∴=，即PB=．PQ=PC+CQ=PB•sinγ+asinβ=，故选B．点评：本题考查正弦定理的应用，直角三角形中的边角关系，求出PB=，是解题的关14．（2010•武昌区模拟）某人朝正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好，那么x的值为（）A．或B2．C．D3．2考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：作出图象，三点之间正好组成了一个知两边与一角的三角形，由余弦定理建立关于x的方程即可求得x的值．解答：解：如图，AB=x，BC=3，AC=，∠ABC=30°．由余弦定理得3=x2+9﹣2×3×x×cos30°．解得x=2或x=故选A．点评：考查解三角形的知识，其特点从应用题中抽象出三角形．根据数据特点选择合适的定理建立方程求解．15．（2010•江门一模）海事救护船A在基地的北偏东60°，与基地相距海里，渔船B被困海面，已知B距离基地100海里，而且在救护船A正西方，则渔船B与救护船A的距离是（）A．100海里B．200海里C．100海里或200海里D．海里考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：先根据正弦定理求得sinB的值，进而确定B的值，最后根据B的值，求得AB．解答：解：设基地为与O处，根据正弦定理可知=∴sinB=•OA==∴B=60°或120°当B=60°，∠BOA=90°，∠A=30°BA=2OB=200当B=120°，∠A=∠B=30°∴OB=AB=100故渔船B与救护船A的距离是100或200海里．16．（2010•武汉模拟）飞机从甲地以北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地以南偏东75°的方向飞行1400km到达丙地，那么丙地距甲地距离为（）A1400kmB700kmC700kmD1400km．．．．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；数形结合．分析：设A，B，C分别对应甲、乙、丙三地，由B向x轴做垂线垂足为D，则∠BAD和∠DBC可知，进而求得∠ABC=60°判断出三角形为正三角形，进而求得AC．解答：解：依题意，设A，B，C分别对应甲、乙、丙三地，由B向x轴做垂线垂足为D，则∠BAD=75°，∠DBC=75°∴∠ABC=75°﹣15°=60°∴AB=BC=1400∴△ABC为正三角形∴AC=1400千米．故选A．点评：本题主要考查了解三角形的应用．要注意特殊三角形的运用．17．（2010•石家庄二模）如图，一条宽为a的直角走廊，现要设计一辆可通过该直角走廊的矩形面平板车，其宽为b（0＜b＜a）．则该平板车长度的最大值为（）ABCD．．．．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题．分析：先设平板手推车的长度不能超过x米，此时平板车所形成的三角形：ADG为等腰直角三角形．连接EG与AD交于点F，利用ADG为等腰直角三角形即可求得平板手推车的长度解答：解：设平板车的长度的最大值为x由题意可得△ADG为等腰直角三角形，连接EG交AD于F，则EG==aFG=EG﹣EF=得△ADG为等腰直角三角形，AD=2AF=2FG=故选：C点评：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型，解答的关键是由实际问题：要想顺利通过直18．（2009•韶关二模）北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），则旗杆的高度为（）A．10米B．30米C．米D．米10考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；数形结合．分析：先画出示意图，根据题意可求得∠AEC和∠ACE，则∠EAC可求，然后利用正弦定理求得AC，最后在Rt△ABC中利用AB=AC•sin∠ACB求得答案．解答：解：如图所示，依题意可知∠AEC=45°，∠ACE=180°﹣60°﹣15°=105°∴∠EAC=180°﹣45°﹣105°=30°由正弦定理可知=，∴AC=•sin∠CEA=20米∴在Rt△ABC中，AB=AC•sin∠ACB=20答：旗杆的高度为30米故选B．×=30米19．（2009•温州一模）北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，看台上第一排和最后一排的距离米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度约为50秒，升旗手匀速升旗的速度为（）A．B．C．D．（米/秒）（米/秒）（米/秒）（米/秒）考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；应用题．分析：先根据题意可知∠DAB，∠ABD和∠ADB，AB，然后在△ABD利用正弦定理求得BD，进而在Rt△BCD求得CD，最后利用路程除以时间求得旗手升旗的速度．解答：解：由条件得△ABD中，∠DAB=45°，∠ABD=105°，∠ADB=30°，AB=10，由正弦定理得BD=•AB=20则在Rt△BCD中，CD=20×sin60°=30所以速度V==米/秒故选A．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生分析问题和基本的推理能力，运算能力．二．填空题（共7小题）20．（2014•重庆模拟）如图，割线PBC经过圆心O，PB=OB=1，PB绕点O逆时针旋120°到OD，连PD交圆O于点E，则PE=．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先由余弦定理求出PD，再根据割线定理即可求出PE，问题解决．解答：解：由余弦定理得，PD2=OD2+OP2﹣2OD•OPcos120°=1+4﹣2×1×2×（﹣）=7，所以PD=根据割线定理PE•PD=PB•PC得，PE=1×3，．所以PE=．故答案为．21．（2014•南昌模拟）已知△ABC中，角A，B，C所对应的边的边长分别为a，b，c，外接圆半径是1，且满足条件2（sin2A﹣sin2C）=（sinA﹣sinB）b，则△ABC面积的最大值为．考点：三角形中的几何计算；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：把b=2sinB代入已知等式并应用正弦定理得a2+b2﹣c2=ab，由余弦定理得cosC=，得到C=60°，由ab=a2+b2﹣3≥2ab﹣3求得ab最大值为3，从而求得△ABC面积的最大值．解答：解：由正弦定理可得b=2RsinB=2sinB，代入已知等式得2sin2A﹣2sin2C=2sinAsinB﹣2sin2B，sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB，∴a2+b2﹣c2=ab，∴cosC=∴C=60°．=，∵ab=a2+b2﹣c2=a2+b2﹣（2rsinC）2=a2+b2﹣3≥2ab﹣3，∴ab≤3（当且仅当a=b时，取等号），∴△ABC面积为≤×3×=，故答案为．点评：本题考查正弦定理、余弦定理，基本不等式的应用，求出ab≤3是解题的难点．22．（2014•韶关二模）一只艘船以均匀的速度由A点向正北方向航行，如图，开始航行时，从A点观测灯塔C的方位角（从正北方向顺时针转到目标方向的水平角）为45°，行驶60海里后，船在B点观测灯塔C的方位角为75°，则A到C的距离是30（+）海里．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：由题意，∠ABC=105°，∠C=30°，AB=60海里，由正弦定理可得AC．解答：解：由题意，∠ABC=105°，∠C=30°，AB=60海里．由正弦定理可得AC=故答案为：30（+=30（+）海里．）．点评：本题考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于基础题．23．（2014•潍坊二模）如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ（0°＜θ＜45°）的C处，且cosθ=，已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为4海里/小时．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：根据余弦定理求出BC的长度即可得到结论．解答：解：∵cosθ=，∴sin=，由题意得∠BAC=45°﹣θ，即cos∠BAC=cos（45°﹣θ）=∵AB=20，AC=10，，∴由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC，即BC2=（20）2+102﹣2×20×10×=800+100﹣560=340，即BC=，设船速为x，则=2，∴x=4（海里/小时），故答案为：4点评：本题主要考查解三角形的应用，根据条件求出cos∠BAC，以及利用余弦定理求出BC的长度是解决本题的关键．24．（2014•潍坊三模）如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，A、B间的距离为3km，某公交公司要在A、B之间的某点N处建造一个公交站点，使得N对C、D两个小区的视角∠CND最大，则N处与A处的距离为2﹣3km．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；三角函数的求值．分析：设出NA的长度x，把∠CNA与∠DNB的正切值用含有x的代数式表示，最后把∠CND的正切值用含有x的代数式表示，换元后再利用基本不等式求最值，最后得到使N对C、D两个小区的视角∠CND最大时的x值，即可确定点N的位置．解答：解：设NA=x，∠CNA=α，∠DNB=β．依题意有tanα=，tanβ=，tan∠CND=tan[π﹣（α+β）]=﹣tan（α+β）=﹣令t=x+3，由0＜x＜3，得3＜t＜6，=，则=∵4≤t+＜3+∴t=2，即x=2﹣3时取得最大角，故N处与A处的距离为（2﹣3）km．故答案为：2﹣3．点评：本题考查解三角形的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，解答的关键是把实际问题转化25．（2014•台州一模）为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）如图所示，且∠B+∠D=180°，则AC的长为km．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：利用余弦定理，结合∠B+∠D=180°，即可求出AC的长．解答：解：由余弦定理可得AC2=22+32﹣2•2•3•cosD=13﹣12cosD，AC2=52+82﹣2•5•8•cosB=89﹣80cosB，∵∠B+∠D=180°，∴2AC2=13+89=102，∴AC=km．故答案为：点评：本题考查余弦定理，考查三角函数知识，正确运用余弦定理是关键．m/s的速率，从路灯在地面上的射影点C处，沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率v为m/s．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：由题意画出几何图形，设出人从C点运动到B处路程、运动时间及人影长度，由三角形相似求出人影长度与运动路程间的关系式，把运动路程用运动速度和运动时间替换，求导后得答案．解答：解：如图，路灯距地平面的距离为DC，人的身高为EB．设人从C点运动到B处路程为x米，时间为t（单位：秒），AB为人影长度，设为y，∵BE∥CD，∴∴．，∴y=x，又∵x=t，∴y=x=t．则y′=，∴人影长度的变化速率为m/s．故答案为：．三．解答题（共4小题）27．（2014•广州模拟）如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：∠ACD=90°，∠ADC=60°，∠ACB=15°，∠BCE=105°，∠CEB=45°，DC=CE=1（百米）．（1）求△CDE的面积；（2）求A，B之间的距离．考点：解三角形的实际应用；余弦定理．专题：计算题．分析：（1）连接DE，在△CDE中，求出∠DCE，直接利用三角形的面积公式求解即可．（2）求出AC，通过正弦定理求出BC，然后利用余弦定理求出AB．解答：解：（1）连接DE，在△CDE中，∠DCE=360°﹣90°﹣15°﹣105°=150°，（1分）（平方百米）（4分）（5分）（2）依题意知，在RT△ACD中，在△BCE中，∠CBE=180°﹣∠BCE﹣∠CEB=180°﹣105°﹣45°=30°由正弦定理得（6分）（7分）∵cos15°=cos（600﹣45°）=cos60°cos45°+sin60°sin45°（8分）=（9分）在△ABC中，由余弦定理AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB（10分）可得（11分）（12分）∴（百米）点评：本题考查三角形的面积的求法，正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力．28．（2014•福建模拟）如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N（异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）．考点：解三角形的实际应用．专题：综合题；解三角形．分析：设∠AMN=θ，在△AMN中，求出AM，在△APM中，利用余弦定理，建立函数，利用辅助角公式化