广东省广州市(广附、广外、铁一)2020-2021学年高二下学期期中三校联考数学试题及答案

2020-2021学年下学期期中三校联考高二数学命题学校：广大附中本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本大题8小题，40分。每小题５分，共1．设全集IR，集合Ay|ylog,xx22，{Bx|yx1}，则（*）A．ABB．ABA=1+，其中，是实数，则|+|=(*)C．ABD．ACBU2．设(1+23A．1B．C．D．23．已知函数f(1)x的定义域为[-2，f(x21)则函数的定义域为（*）3]，12,2A．[-1,9]B．[-3,7]C．2,1D．14．函数f(x)=sin(x+)+cos(x−)的最大值为（*）536653515A．B．1C．D．5．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养、性生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每2局比赛甲胜乙的概率都为3，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为（*）8191781A．B．C．1627D．2724PX0PXa36．已知随机变量X~N1,21axxx的2，且，则的展开式中2x系数为（*）A．40B．120C．240D．2807.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生。如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的不同排法种数为（C．60*）A．30B．36D．72xy22FC:x2y2a2的切线，设切点为M,延8．过曲线C:11(a0,b0)的左焦点作曲线1ab222MFMN0,个共同的焦点，若则曲FM1交曲线C:y22p(0)xp于点N,C,C3线C的离心率为（长其中有一131*）15121A．B．5C．D．222高二数学试卷第1页（共4页）二、多选题：本大题4小题，每小题５分，共20分。9．下列说法正确的是（*）A．对于独立性检验，随机变量K的观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率2越小B．在回归分析中，相关指数越大，说明回归模型拟合的效果越好R2~Bn,pC．随机变量，若，，则n45Ex30Dx20D．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点且每个景点都有人去，设3事件M为“4个人去的景点各不相同”，事件N为“甲不去其中的A景点”，则P(MN)＝410．下列说法正确的是（*）m∥平面，则“∥a,,ba,b,a,b”是“l⊥A．已知直线l⊥平面m”的必要不充分条件，直线”是“”的充分条件B．“存在两条异面直线a,bC．“是正数”是“ab2ab”的充分不必要条件2(3)x2yD．函数的小最值为42x211．如图，在正方体ABCD﹣ABCD中，点P在线段BC上运动，则（*）1111BD⊥平面ACD1111A．直线B．三棱锥P﹣ACD的体积为定值11C．异面直线AP与AD所成角的取值范围是[45，9°0°]16弦值的最大值为3D．直线CP与平面ACD所成角的正111lnx，gxxlnx，下列x12．设函数fx命题，正确的是（*）fxA．函数0,ee,在上单调递增，在单调递减B．不等关系ee3成立30xxaxx2gx2gx2C．若时，总有221恒成立，则a1112hxgxmx2m0,1极值点，则实数D．若函数2有两个三、填空题：本大题4小题，每小题５分，共20分。b,1aa2,113．已知实数的值为___*__.，，若与共线，则b14．已知随机变量X的分布列如下：X0131312aPDY____*___.Y满足Y3X1，则Y的方差若随机变量f1sixnfa2cosx2fx上的单调减函数使得,3义在x15．已知定对一切实数都a成立，则的取值范围为_____*_____.高一数学试卷第2页（共4页）16．矩形ABCD中，AB3,BC1，现将△ACD沿对角线AC向上翻折，得到四面体DABC，,则该四面体外接球的体积为_____*___；设二面角DACB的平面角为，当在内32BD变化时，的范围为____*__.四、解答题：本大题6小题，第17题10分，其余各题12分，共70分。SnN*．an17．已知数列n的前项和为na11aa1Sa6，求和的表达式；a91若为等差数列，，n1nn5111nSSSS3n5a2满足．n，求若数列222122nn18．已知在△ABC中，3sin（A+B）＝1+2sinC．22（1）求角C的大小；Ⅰ（2）若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值．19.如图，在正方形中，点，分ABCDEF别是AB，的中点，将BC分别沿，△AED，△DCFDEDF折起，使A，C两点重合于P.（1）求证：平面；PBD平面BFDE（2）求二面角PDEF的余弦值.20．椭圆有两个顶点A(1,0)B,(1,0)过其,焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C,D两点，x并与轴Q.交于点P,直线AC与BD交于点32（1）当CD2时，求直线l的方程；（2）当P点异于A,B两点时，证明：OQOP为定值。高二数学试卷第3页（共4页）21．在新的高考改革形式下，全国某些省市2020年入学的高一学生都进行了选科，为了解学生的选科情况，广大附中高一年级对已经选了3(语文、数学、外语)+物理的学生如何选择另外两门学科进行了调整，另外两科有①化学+生物，②生物+地理，③化学+地理，6种组合：④生物+政治，⑤化学+政治，⑥政治+地理.假设学生选择每种组合是等可能的.（1）每名学生合)记2分，求X的分布列及数学期望；（2）如图显示了广大附中高一年级50名学生另外两门学科选择情况的统计结班要求每班人数不低于45人，且不超过50人，若低于45人，则需要加入选择其他组合的学生，编成混合班，但混合班要求学生选择的另外两门学科中有一门共同学科，同时尽最大限度减小混合班个数，混合班，试通过条形图，以频率估计概率，也不出现含3个组合的预测我校高一年级800名学生的组成几个混合班，是什么样的组合若选全理(即化学+生物)或全文(即政治+地理)记1分，若文理皆有(其余4种组且每名学生如何选科是相互独立的，现有甲、乙、丙3名学生，记总得分为X，图所示的条形果.教学班情况，请给出一个较合理的编班方案，指明最少需要组？fxxexax22．已知函数（1）若函数有两个极值点，求实数的a取值范围;fxfxx当a0时，证明：gx（2）若函数xln2，x2,0,gx0高一数学试卷第4页（共4页）参考答案1．A2．B3．D4．A5．C6．D7．C8．A9．BD10．BC11．ABD12．AC4710,13．214．915．(−,−1]；16．.322()a的通项为()()nd（为等差数列的公差），1=+−1=−1+−1aandd17．解：设等差数列nn1−1+5d11a6=则=d=−2，解得，所以a=1−2n，a−1+4d9n()()5na+an−1+1−2n=−n2．……………4'S=n=n122(2)11S++1S=3n+5，①222n2nS1+211S221()=3n−1+5=3n+2，②当n2时，S1+2++2n−1n−1S211，当时，，，−=n===S3S32n=S8S16n1由①②得，，22n11n32n,n2,S=所以a=S=16a=S−S=12−16=−4；=n2；当时，22当n=1时，16,n=1.n11116,n=1当n3=−=32aSSa4,n2=−=n−1，所以.………………10'时，nnn−1n32n−1,n3C18．（1）∵3sin（A+B）＝1+2sin2，且A+B+C＝π，2∴3sinC＝1+1﹣cosC＝2﹣cosC，即3sinC+cosC＝2，7∴sin（C+6）＝1．∵C∈（0，π），∴C+6∈（，），∴C+＝，即C＝．………5'62366ABAB（2）∵△ABC的外接圆半径为2，∴由正弦定理知，＝sin＝2×2＝4，3sinACB∴AB＝23，………6'2，∵∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，∵∠ACB＝，∴∠ABC+∠BAC＝33，设∠ABI＝θ，则∠BAI＝﹣θ，且0＜32∴∠ABI+∠BAI＝，∴∠AIB＝33BI由正弦定理得，3AI＝sin＝sinAIB＝ABθ＜，在△ABI中，sin(−)323sin2＝4，∴BI＝4sin（﹣θ），AI＝4sinθ，…………9'33312∴△ABI的周长为23+4sin（﹣）＝θ+4sinθ23+4（﹣cosθsinθ）+4sinθ32高二数学试卷第1页（共4页）θ+2＝23+23cosθ+2sinθ＝4sin（θ++230θ），∵＜＜，∴＜＜，33333=θ+＝，即时，△ABI的周长取得最大值，最大值为4+23，326∴当故△ABI的周长的最大值为4+23．……………12'19.（1）证明：连接EF交BD于O，连接OP.在正方形ABCD中，点E是AB中点，点F是BC中点，=，=所以，所以△DEB≌△DFB，BEBFDEDF所以在等腰△DEF中，O是EF的中点，且EF⊥OD，因此在等腰△PEF中，，从而EF⊥平面OPD，又EF平面BFDE⊥，EFOP所以平面BFDE⊥平面OPD，即平面PBD⊥平面BFDE.……………5'（2）方法一：在正方形ABCD中，连接AF，交DE于G，设正方形ABCD的边长为2，由于点E是AB中点，点F是BC中点，所以Rt△DAE≌Rt△ABF，于是ADE=FAB，从而ADG+DAG=EAG+DAG=90，所以AF⊥DE，于是，在翻折后的几何体中，−PGF为二面角PDE−F的平面角，………7'25GF=35在正方形ABCD中，解得AG=，，5=2555GF=35，，=1，PF5PGAG=所以，在△PGF中，=PG2+GF2−PF2=22，所以，二面角−−的余弦值为.…………12'PDEF3cosPGF由余弦定理得2PGGF：设正方形边长为2，则PD=2，PE=PF=1，EF=√题知PE，PF，PD两两互相垂直，故以P为原点，向量32，由勾股定理逆定理得EF=PE2+PF2，即PE⊥PF。由2方法二方向分别为x，y，z轴的正方向，PFPEPD，，建立如图的(空间直角坐标系.…………7')()()()则P0，0，0，0，1，0，1，0，0，0，0，2.EFD()()(.设m=，−，ED=0，−1，2=，，)为平面EFD的一个法向量，xyz所以EF110，m⊥EFx−y=012m=，，11得，令x=1，得由，−y+2z=0⊥EDm()n=，，100又由题知是平面PED的一个法向量，mn2所以cosm，n=mn3.=2−的余弦值为.…………12'3所以，二面角−20．PDEF高二数学试卷第2页（共4页）………6'…………12'21．（1）分布列见解析，E(X)=5；（）2答案见解析.1112（1）选全理(即化学+生物)或全文(即政治+地理)的概率为，即记分的概率为，因而记分的概率33212=1，27为，易知X的可能取值为、、、，且P(X3456=3)=C()()0333333P(X=4)=C2(1)2()=，P(X=5)=C22(1)(2)=，4113123393393P(X=5)=C0(1)0(2)3=8，∴的分布列为：X33273345648279927X12P高二数学试卷第3页（共4页）∴()3EX=1+42+54+68=5；……………6'27（2）分情况进行讨论：279933=503组合①：人中选择①的有人，其频率为800生选择①的人数48，，预测全校800名学为5050独立成一个班；175017组合②：人中选择②的有人，其频率为，预测全校800名学生选择②的人数为5017800=272，独立成五个50人的班，剩下22人；50202=5020组合③：人中选择③的有人，其频率为505，预测全校800名学生选择③的人数为8002=320，独立成六个45人的班和一个50人的班；551=505组合④：人中选择④的有人，其频率为5010，预测全校800名学生选择④的人数为8001=80，独立成一个班，至少剩下3035人；103，预测全校800名学为3=48，503组合⑤：人中选择⑤的有人，其频率为800生选择⑤的人数5050独立成一个班；21，预测全校800名学5025=502组合⑥：人中选择⑥的有人，其频率为生选择⑥的人数为8001=32。25⑥②④政治+地理32人生物+地理生物+政治3035人22人减小混合班个数，把④的13人与⑥混合成一个45人的班，④剩下的22人与②剩下的22人，以及从②的50人班里抽一人出来一起编成45人的班级.故最少是2个混合班。…………12'1−a022．（1）2；（）证明见解析．