初等数论的教学实践与思考

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近年来，初等数论在计算机科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域得到了广泛的应用，同时近代数学中大量重要的思想、概念、方法与技巧都是从对整数性质的深入研究中不断丰富和进展起来的。因此，学习这门课程对学生来说分外重要，与其它数学专业课程对比来看，初等数论貌似很简朴，但根据其涉及的题目却形式多样，解题时需要确定的技巧，所以真正教好、学好它并不轻易。如何调动学生学习的积极性，在教学过程中如何启发引导学生，提高初等数论的教学效果，对学生进一步的学习和毕业以后的教学研究和实践有重要的意义。

一、挖掘教材中的隐性学识，拓宽学生学识面

教材中的学识可以分成两类：一类是表述相对明显，能被学生直接解读、理解的学识；另一类是没有直接表述出来的学识，需要经过教师的点拨、讲解才能彰显出来，才能被学生理解，即我们通称的隐性学识。在提防学识应用才能培养的今天，教师很有必要在教学实践中对教材中的隐性学识举行充分的挖掘。

《初等数论》的内容简明、语言精练，由此造成了不少的隐性学识。如在书本31页有这样一道习题：证明：二元一次不定方程ax+by=N，（a，b）=1，a＞1，b＞1，当N＞ab-a-b时，有非负整数解。N=ab-a-b时那么不然。假设教师在教学中稍加引导，那么不难得到如下两个结论：①不能表示成形如ax+by{（a，b）=1，a＞1，b＞1}的最大正整数为N=ab-a-b；②使ax+by=N无非负整数解的最大正整数N=ab-a-b。

教材中这样的隐性学识好多，教师如能充分挖掘，便可拓宽学生的学识面，而且能增加学生对初等数论的学习兴趣。

二、提防学识点间的联系，横向辐射

任何学识点都不是孤立存在的，都与周边其他学识点处于相互联系中。同时，构成某个学识点的各个要点也不是散乱的一团，而是相互依存、有机联系在一起的。老师在教学时确定要留神到学识点与学识点之间的联系，以点带动面，以面带动板块，以板块举行辐射，万不成把学识点举行人为的孤立，无论对于学生的思维连贯性与广度，都是分外不利的。

例如，《初等数论》第三章的第四节的后面片面介绍了一个既约分数{0＜a＜b，（a，b）=1}能够化为纯循环小数的充要条件以及化为混循环小数的充分条件。但是，书本报告我们的学识远远不止这些。

对于循环小数，小学数学中就有介绍，站在初等数论中的理论高度来说，小学的内容是缺乏确定的严谨性的，当然也有确定的局限性。谈到既约分数与小数的互化，我们自然会斟酌下面的两个问题：任意给定一个分数，它可以化成怎样的小数？任意给定一个小数，它是否确定可以化成分数？第一个问题涉及到小数的分类，其次个问题涉及到能够表示成分数的小数的特征。不难回复，我们可以把小数分成有限小数与无限小数，无限小数又可以分为循环小数与无限不循环小数，而无限不循环小数是不能表示成分数的，也就是我们所说的无理数。

在讲授这片面内容时，我们可以尝试补充一下内容，相信这样的教学会比之前更精彩，内容也更丰富，也更具吸引力。

三、把握学识的整体布局，纵向延迟

同一主题的学识点由于课程安置的需要，被放在不同的章节中。随着学习的深入，有关这一主题的内容不断展现，虽然内容有所不同，但其前后相继的联系分外紧密。假设细心分析，就会察觉它们是贯穿教材前后的一条线索。

教师在教学中假设能够把相关内容串联起来，给学生一个明显的脉络，同时激励学生主动去探索各个学识点之间的联系，那么这将有助于学生从更高层次上把握教材的体系，构建相应的学识网络，使各学识点系统化、专题化。

同余是数论中的重要概念，同余理论是研究整数问题的重要工作之一。同余式性质应用分外广泛，在处理某些整除性、进位制、对整数分类、解不定方程等方面的问题中有着不成替代的功能，与之紧密相关的的数论定理有欧拉定理、费马定理和中国剩余定理。

例如，在第四章§1根本概念及一次同余式中，教材给我们介绍了求解一次同余式的一般方法：将求解ax=b（modm）转化为：求解二元一次不定方程ax-mt=b。在求解不定方程时，我们需要用到辗转相除法，但是在不定方程的测验中，察觉学生用辗转相除法时很轻易用过头：往往“不提防”计算到了余数为0的结果一个商，这样算出来的结果自然就不对了。所以在教学过程中，我们可以引导学生联系各学识点，积极探索求解一次同余式更为简朴、易于操作的方法。

四、联系生活，提防学识应用

数学是一种工具，是一种将自然、社会运动现象法那么化、简约化的工具。数学学习的最重要成果就是学会建立数学模型，用以解决实际问题。数学教学的任务就是教人掌管这一工具并学会利用这一工具，对于初等数论教学当然也不例外。

通过了解初等数论学识在实际中的广泛运用，可以培养学生浓重的学习兴趣，自然学生参与学习的积极性提高，教学也能收到良好的效果。

例如，将一根30米长的钢材，截割成规格分别为2米，3米和8米的较短的料，每种规格的料至少有1根，问怎样截才能使原来的钢材恰好用完？

解：设2米，3米，8米的料分别截x，y，z根，根据题意有：2x+3y+8z=30由于每种规格的料至少1根，所以应求方程的正整数解。

与解二元一次不定方程一样，求三元一次不定方程的正整数解，可以先求它的通解，通过解一个二元一次不等式组，得到通解中两个参数的取值范围，从而找出原不定方程相应的正整数解，但解二元一次不等式组对比麻烦，这里运用逐次尝试法，先确定其中一个未知数的取值范围，然后对所取正整数值逐一试验求解。

在教学过程中，应充分利用教材和习题，从教学内容特点、教学对象的特点、教学资源等方面不断探索、研究和改善，才能加强