全国名校2023 届高三高考数学高频题型(两条直线平行和垂直的判定)专项练习卷(附答案)

全国名校2023届高三高考数学高频题型（两条直线平行和垂直的判

定）专项练习卷

题型一由斜率判断两直线平行

1．直线yx1与直线yax1的交点的个数为（）

A．0个B．1个

C．2个D．随a值变化而变化

2．若直线l的倾斜角为135°，直线l经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l与l的位置关系是()

1212

A．垂直B．平行C．重合D．平行或重合

3．(多选)下列直线l与直线l平行的有（）

12

A．直线l经过点A(2，1)，B(-3，5)，直线l过点C(3，-3)，D(8，-7)

12

B．直线l经过点A(0，1)，B(-2，-1)，直线l过点C(3，4)，D(5，2)

12

C．直线l经过点A(1，)，B(2，2)，直线l的倾斜角为60°且过原点

1332

D．直线l经过点A(0，2)，B(0，1)，直线l的斜率为0

12

4．判断下列不同的直线l与l是否平行.

12

（1）l的斜率为2，l经过A1,2，B4,8两点；

12

（2）l经过P3,3，Q5,3两点，l平行于x轴，但不经过P，Q两点；

12

（3）l经过M1,0，N5,2两点，l经过R4,3，S0,5两点．

12

题型二由斜率判断两直线垂直

1．已知两条直线l，l的斜率是方程3x2＋－＝∈的两个根，则与l的位置关系是（）

12mx30(mR)l12

A．平行B．垂直

C．可能重合D．无法确定

2．过点A(2,5)和点B(4,5)的直线与直线y3的位置关系是（）

A．相交B．平行C．重合D．以上都不对

3．直线l、l的斜率是方程x23x10的两根，则l与l的位置关系是（）

1212

A．平行B．重合C．相交但不垂直D．垂直

4．已知正方形ABCD的边长为4，若E是BC的中点，F是CD的中点，求证：BFAE．

题型三已知直线平行求参数

1．若方程(6a2a2)x(3a25a2)ya10表示平行于x轴的直线，则a的值是（）

2121

A．B．C．，D．1

3232

2．若直线x(1m)y20和直线mx2y80平行，则m的值为（）

2

A．1B．2C．1或2D．

3

3．(多选)若过点(1,a)，(0,0)的直线l与过点(a,3)，(-1,1)的直线l平行，则a的取值可以为（）

12

A．-2B．-1C．1D．2

4．已知两条直线l：ax－by＋4＝0，l：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值：

12

（）直线过点(－3，－1)，并且直线l与直线l垂直；

1l112

（）直线与直线l平行，并且坐标原点到l，l的距离相等．

2l1212

题型四已知直线垂直求参数

5．已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3).若△OAB为直角三角形，则必有（）

A．b=a3B．b=a3+1

a

11

C．(b-a3)b-a3-=0D．|b-a3|+b-a3-=0

aa

6．已知a0，直线axb2y40与直线axb2y30互相垂直，则ab的最大值为（）

A．0B．2C．4D．2

7．已知a,b为正数,且直线2xb3y60与直线bxay50互相垂直,则2a3b的最小值为

__________．

8．直线l，l的斜率k，k是关于k的方程2k2－＋＝的两根，若，则m＝________.若l，

12124km0l1⊥l21∥l2

则m＝________.

题型五直线平行、垂直判定在几何中的应用

1．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉

线已知ABC的顶点A2,0,B0,4，若其欧拉线的方程为xy20，则顶点C的坐标为

A．4,0B．3,1C．5,0D．4,2

2．已知四边形ABCD的顶点B6,1，C3,3，D2,5，是否存在点A，使四边形ABCD为直角梯形？

若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

3．三条直线3x＋2y＋6＝0,2x－3m2y＋18＝0和2mx－3y＋12＝0围成直角三角形，求实数m的值．

答案解析

题型一由斜率判断两直线平行

1．直线yx1与直线yax1的交点的个数为（）

A．0个B．1个

C．2个D．随a值变化而变化

【答案】D

【解析】直线yx1与直线yax1两条直线的交点个数不确定，

当a1时，两条直线有一个交点，

当a1时，两条直线重合有无数个交点，

故两条直线的交点个数随a的变化而变化，

故选：D.

2．若直线l的倾斜角为135°，直线l经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l与l的位置关系是()

1212

A．垂直B．平行C．重合D．平行或重合

【答案】D

【解析】直线l的倾斜角为135°，其斜率ktan1351，

11

615

直线l经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，其斜率k1，

22325

显然满足kk，

12

与l平行或重合.

l12

故选D.

3．(多选)下列直线l与直线l平行的有（）

12

A．直线l经过点A(2，1)，B(-3，5)，直线l过点C(3，-3)，D(8，-7)

12

B．直线l经过点A(0，1)，B(-2，-1)，直线l过点C(3，4)，D(5，2)

12

C．直线l经过点A(1，)，B(2，2)，直线l的倾斜角为60°且过原点

1332

D．直线l经过点A(0，2)，B(0，1)，直线l的斜率为0

12

【答案】AC

514374

【解析】A选项中，k==，k==，且两直线不重合，故l//l；

AB325CD38512

1142

B选项中，k==1，k==1，∵kk，∴两直线不平行；

AB20CD35ABCD

233

C选项中，，且两直线不重合，故//l；

k==3，k=tan60=3l12

AB21CD

D选项中，l斜率不存在，l的斜率为0，两直线不平行.

12∴

故选：AC

4．判断下列不同的直线l与l是否平行.

12

（1）l的斜率为2，l经过A1,2，B4,8两点；

12

（2）l经过P3,3，Q5,3两点，l平行于x轴，但不经过P，Q两点；

12

（3）l经过M1,0，N5,2两点，l经过R4,3，S0,5两点．

12

【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行.

82

【解析】（1）l经过A1,2，B4,8两点，则k2，

2

l241

则kk，可得两直线平行.

ll

12

（2）l经过P3,3，Q5,3两点，可得l平行于x轴，

11

l平行于x轴，但不经过P，Q两点，所以l//l；

212

021

（3）l经过M1,0，N5,2两点，k，

1l

1152

351

l经过R4,3，S0,5两点，则k，

2l

2402

所以l//l.

12

题型二由斜率判断两直线垂直

1．已知两条直线l，l的斜率是方程3x2＋－＝∈的两个根，则与l的位置关系是（）

12mx30(mR)l12

A．平行B．垂直

C．可能重合D．无法确定

【答案】B

【解析】解析由方程3x2＋mx－3＝0，知＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立．

故方程有两相异实根，即与l的斜率k，k均存在．设两根为x，x，则kk＝xx＝－1，所以l．

l12121212121⊥l2

故选：B

2．过点A(2,5)和点B(4,5)的直线与直线y3的位置关系是（）

A．相交B．平行C．重合D．以上都不对

【答案】B

55

【解析】由题意，点A(2,5)和点B(4,5)，可得k0，所以AB的方程为y5，

AB42

又由直线y3的斜率为0，且两直线不重合，

所以两直线平行.

故选：B.

3．直线l、l的斜率是方程x23x10的两根，则l与l的位置关系是（）

1212

A．平行B．重合C．相交但不垂直D．垂直

【答案】D

【解析】设方程x23x10的两根为x、x，则xx1．

1212

直线l、l的斜率kk1，故l与l垂直．

121212

故选：D．

4．已知正方形ABCD的边长为4，若E是BC的中点，F是CD的中点，求证：BFAE．

【答案】证明见解析.

【解析】证明：建立平面直角坐标系，如图所示，则B(4,0)，E(4,2)，F(2,4)，A(0,0)，

21401

所以斜率k，k2．.又kk(2)1，所以AEBF．

AE42BF24AEBF2

题型三已知直线平行求参数

1．若方程(6a2a2)x(3a25a2)ya10表示平行于x轴的直线，则a的值是（）

2121

A．B．C．，D．1

3232

【答案】B

【解析】直线(6a2a2)x(3a25a2)ya10与x轴平行

6a2a20

1

∴3a25a20，解得：a

2

a10

故选：B．

2．若直线x(1m)y20和直线mx2y80平行，则m的值为（）

2

A．1B．2C．1或2D．

3

【答案】C

【解析】直线x(1m)y2m和直线mx2y80平行，

12(1m)m0，解得m1或2，经检验都符合题意．

故选：C．

3．(多选)若过点(1,a)，(0,0)的直线l与过点(a,3)，(-1,1)的直线l平行，则a的取值可以为（）

12

A．-2B．-1C．1D．2

【答案】AC

a031

【解析】若直线l与l平行，则，即a(a+1)=2，故a=-2或a=1.

1210a1

2

当a2时，k2，k2，符合题设；

12a1

2

当a1时，k1，k1，符合题设；

12a1

故选：AC.

4．已知两条直线l：ax－by＋4＝0，l：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值：

12

（）直线过点(－3，－1)，并且直线l与直线l垂直；

1l112

（）直线与直线l平行，并且坐标原点到l，l的距离相等．

2l1212

2

a2a2a

【答案】（1）；（2）或3.

b2b2

b2

【解析】（1）因为l过点3,1，所以3ab40，

1

3ab4a2

又因为ll，所以aa1b0，所以，所以；

12a2ab0b2

（2）因为l//l，所以a1ba1，所以l:axbyb20，

122

4b2

又因为标原点到l,l的距离相等，所以，所以b2

12

a2b2a2b2

2

当b2时，a；当b2时，a2，

3

2

a2a

所以或3.

b2

b2

题型四已知直线垂直求参数

5．已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3).若△OAB为直角三角形，则必有（）

A．b=a3B．b=a3+1

a

11

C．(b-a3)b-a3-=0D．|b-a3|+b-a3-=0

aa

【答案】C

【解析】若O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不符合题意；

若A为直角顶点，则b=a3≠0；

a3-b

若B为直角顶点，根据斜率关系可知a2ꞏ=-1(a≠0)，所以a(a3-b)=-1，即b-a3-1=0；

aa

1

以上两种情况皆有可能，所以必有(b-a3)b-a3-=0成立.

a

故选：C

6．已知a0，直线axb2y40与直线axb2y30互相垂直，则ab的最大值为（）

A．0B．2C．4D．2

【答案】B

【解析】因为直线axb2y40与直线axb2y30互相垂直,

所以a2(b2)(b2)0,即a2b24,

因为a2b22ab,

所以2ab4,即ab2,

故选:B.

7．已知a,b为正数,且直线2xb3y60与直线bxay50互相垂直,则2a3b的最小值为

__________．

【答案】25

【解析】因为直线2xb3y60与直线bxay50互相垂直,

所以得2bab30,

3a

∴b,

a-2

9a9(a-2)18

∴2a3b2a2a,

a-2a-2

1818

2a213≥22(a-2)?1325,

a-2a-2

当且仅当a5,b5时等号成立,故答案为25.

8．直线l，l的斜率k，k是关于k的方程2k2－＋＝的两根，若，则m＝________.若l，

12124km0l1⊥l21∥l2

则m＝________.

【答案】－22

m

【解析】直线l，l的斜率k，k是关于k的方程2k24km0的两根，∴kk，

1212122

m

若ll，则kk1，得m2；

12122

若ll，则kk，∴168m0，得m2，故答案为2和2.

1212

题型五直线平行、垂直判定在几何中的应用

1．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉

线已知ABC的顶点A2,0,B0,4，若其欧拉线的方程为xy20，则顶点C的坐标为

A．4,0B．3,1C．5,0D．4,2

【答案】A

2m4n

【解析】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为,代入欧拉线方程得：

33

2m4n

20整理得：m-n+4=0①

33

401

AB的中点为（1，2），k2AB的中垂线方程为y2x1，

AB022

x2y30x1

即x-2y+3=0．联立解得

xy20y1

∴△ABC的外心为（-1，1）．

则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8②

联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．

当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A

2．已知四边形ABCD的顶点B6,1，C3,3，D2,5，是否存在点A，使四边形ABCD为直角梯形？

若存在，求出点