2020-2021人教版数学第二册教师用书：第7章 7.27.3复数的三角表示含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年新教材人教A版数学必修第二册教师用书：第7章7.27.3复数的三角表示含解析7。3＊复数的三角表示学习目标核心素养1。了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系．2．了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义。1.借助复数的三角形式，培养数学抽象的核心素养．2．通过复数三角形式的运算,培养数学运算的核心素养。前面已经学习过了复数的两种表示．一是代数表示,即z＝a＋bi（a，b∈R)；二是几何表示，复数z既可以用复平面上的点Z(a，b）表示，也可以用复平面上的向量eq\o(OZ,\s\up7(→））来表示．现在需要学习复数的三角表示，即用复数z的模和辐角来表示复数．问题：复数的三角形式在复数的运算中有怎样的作用?1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r（cosθ＋isinθ）的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量eq\o(OZ,\s\up7(→）)所在射线(射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角,我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz．r（cosθ＋isinθ）叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．2．复数三角形式的乘、除运算若复数z1＝r1（cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2）,且z1≠z2，则（1)z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1）·r2（cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2）＋isin(θ1＋θ2）]．（2)eq\f(z1，z2）＝eq\f(r1cosθ1＋isinθ1，r2cosθ2＋isinθ2）＝eq\f（r1，r2)[cos（θ1－θ2)＋isin（θ1－θ2）]．即:两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”）（1）复数的辐角是唯一的． ()（2)z＝cosθ－isinθ是复数的三角形式． （)（3）z＝－2(cosθ＋isinθ）是复数的三角形式． （)（4)复数z＝cosπ＋isinπ的模是1，辐角的主值是π. (）［答案］（1)×（2）×（3)×（4)√2．复数z＝1＋i的三角形式为z＝________.eq\r(，2)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(cos\f(π，4)＋isin\f(π，4）))［r＝eq\r（,2)，cosθ＝eq\f(1,\r(,2）)＝eq\f（\r（,2),2），又因为1＋i对应的点位于第一象限，所以arg(1＋i)＝eq\f（π，4).所以z＝eq\r（，2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f（π，4）＋isin\f(π，4））)。］3．复数6eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(cos\f（π,2)＋isin\f（π,2)））的代数形式为________．6i[6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f（π，2）＋isin\f(π,2))）＝6coseq\f(π,2)＋6isineq\f(π,2)＝6i.］4．（1）6eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(cos\f(π，3)＋isin\f（π，3）))×4eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(cos\f(π，6）＋isin\f（π，6）））＝________；(2)6eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（cos\f(π，3）＋isin\f（π，3)))÷4eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)＋isin\f（π，6)))＝________.（1）24i（2)eq\f(3\r（,3)，4)＋eq\f（3，4)i[（1）6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（cos\f(π，3)＋isin\f(π,3）)）×4eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（cos\f（π，6）＋isin\f(π,6））)＝24eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（cos\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π，3）＋\f(π，6）))＋isin\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π，3）＋\f（π，6)））)）＝24i.（2）6eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（cos\f(π，3)＋isin\f(π，3）))÷4eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（cos\f（π，6）＋isin\f(π,6）)）＝eq\f（6,4）eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（cos\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π,3)－\f（π，6)))＋isin\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,3）－\f（π,6)））））＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(cos\f（π,6)＋isin\f(π，6）)）＝eq\f(3\r(,3),4）＋eq\f（3，4)i。]复数的代数形式与三角形式的互化角度一代数形式化为三角形式【例1】把下列复数的代数形式化成三角形式：(1）eq\r(，3)＋i；(2）eq\r(,2)－eq\r(,2)i.［解］（1）r＝eq\r(,3＋1）＝2，因为eq\r(,3)＋i对应的点在第一象限，所以cosθ＝eq\f（\r（,3），2)，即θ＝eq\f(π，6），所以eq\r（，3)＋i＝2eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（cos\f(π，6)＋isin\f(π，6）)）。(2）r＝eq\r(，2＋2)＝2，cosθ＝eq\f(\r（，2），2）,又因为eq\r(,2）－eq\r(，2)i对应的点位于第四象限，所以θ＝eq\f(7π，4)。所以eq\r(,2）－eq\r（，2）i＝2eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（cos\f(7π,4）＋isin\f（7π,4))）.复数的代数形式化为三角形式的步骤1先求复数的模.2决定辐角所在的象限。3根据象限求出辐角.4求出复数的三角形式.提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值.角度二三角形式化为代数形式【例2】分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．（1)4eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（cos\f(π,6)＋isin\f(π,6）)）；（2）eq\f（\r（,3)，2）(cos60°＋isin60°）;（3）2eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（cos\f（π，3)－isin\f(π,3)））。[解]（1)复数4eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（cos\f(π，6）＋isin\f(π,6)））的模r＝4，辐角的主值为θ＝eq\f(π，6).4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)＋isin\f(π,6)）)＝4coseq\f（π,6)＋4isineq\f（π,6)＝4×eq\f（\r（，3),2)＋4×eq\f(1,2）i＝2eq\r（,3）＋2i。(2）eq\f(\r(,3），2)(cos60°＋isin60°）的模r＝eq\f(\r(，3),2），辐角的主值为θ＝60°。eq\f（\r（，3）,2）（cos60°＋isin60°）＝eq\f（\r(,3),2)×eq\f(1,2)＋eq\f（\r（,3)，2)×eq\f(\r（,3），2）i＝eq\f(\r(,3)，4)＋eq\f(3,4)i。(3）2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(cos\f(π，3）－isin\f（π，3)））＝2eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（cos\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2π－\f（π,3))）＋isin\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,3））)））＝2eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（cos\f（5，3)π＋isin\f(5,3)π))。所以复数的模r＝2，辐角的主值为eq\f(5,3)π.2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(cos\f（5,3)π＋isin\f（5,3)π）)＝2coseq\f（5,3）π＋2isineq\f（5,3)π＝2×eq\f(1，2)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(,3），2)))i。＝1－eq\r(，3)i。复数的三角形式z＝rcosθ＋isinθ必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例3.eq\o（[跟进训练])1．下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．(1）eq\f（1,2）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（cos\f（π，4)－isin\f(π,4)）)；(2）－eq\f(1，2）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(cos\f(π，3）＋isin\f(π,3)));(3)eq\f（1，2）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π，4)＋icos\f（3π,4）)）；（4)coseq\f（7π，5）＋isineq\f(7π，5）；(5)eq\f（1,2）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(cos\f(π，2)＋isin\f(π,6))).［解］根据复数三角形式的定义可知，（1)、（2）、（3)、(5)不是，（4)是复数的三角形式．（1)原式＝eq\f（1,2）eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（cos\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（π,4））)＋isin\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)）))).(2）原式＝eq\f(1，2)eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（π＋\f(π，3)))＋isin\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（π＋\f(π，3)))）)＝eq\f（1,2)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（cos\f(4π,3）＋isin\f（4π,3))）.（3）原式＝eq\f（1，2）eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（cos\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π，2)－\f(3π,4）))＋isin\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π,2)－\f(3π,4）)）))＝eq\f(1，2)eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（π,4）))＋isin\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（π，4））))）.(5）原式＝eq\f(1，4）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(cos\f（π，2)＋isin\f(π,2）)).复数三角形式的乘、除运算【例3】计算：(1）8eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（cos\f(4,3)π＋isin\f（4,3）π)）×4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5，6)π＋isin\f(5，6）π)）；（2）eq\r(,3)(cos225°＋isin225°）÷［eq\r（,2)(cos150°＋isin150°)]；(3)4÷eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（cos\f（π,4）＋isin\f(π，4)））.［解](1)8eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（cos\f（4，3）π＋isin\f(4，3）π))×4eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（cos\f（5，6)π＋isin\f(5，6)π)）＝32eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(4,3）π＋\f(5，6）π))＋isin\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（4，3）π＋\f(5,6）π）)))＝32eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(cos\f（13，6）π＋isin\f(13，6)π))＝32eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（cos\f(π,6)＋isin\f（π,6)））＝32eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（\r（，3），2）＋\f(1，2)i））＝16eq\r(,3）＋16i.(2)eq\r（，3)(cos225°＋isin225°)÷［eq\r（，2）（cos150°＋isin150°）］＝eq\f(\r（，3)，\r（,2）)[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°）］＝eq\f(\r（，6),2）（cos75°＋isin75°)＝eq\f（\r（，6）,2)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\r(，6)－\r(,2）,4)＋\f(\r（,6）＋\r（,2),4）i））＝eq\f(6－2\r（,3),8）＋eq\f(6＋2\r(,3),8)i＝eq\f（3－\r(，3），4)＋eq\f(3＋\r（，3),4)i。(3)4÷eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(cos\f（π,4）＋isin\f（π，4)))＝4(cos0＋isin0）÷eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(cos\f(π,4）＋isin\f（π,4）））＝4eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（cos\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(π，4)))＋isin\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（π，4)）)）)＝2eq\r（,2）－2eq\r(,2)i.1．乘法法则：模相乘，辐角相加．2．除法法则：模相除，辐角相减．3．复数的n次幂,等于模的n次幂，辐角为n倍．eq\o（[跟进训练])2．计算：（1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\r(，2)\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（cos\f(π，3）＋isin\f(π,3)）））)eq\s\up12(2);(2）eq\r（，2)（cos75°＋isin75°）×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)－\f（1，2）i））；（3)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1，2）＋\f（\r（，3）,2）i））÷eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(2\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(cos\f（π,3)＋isin\f(π,3)））））。［解](1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(,2）\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(cos\f(π，3)＋isin\f（π，3))）)）eq\s\up12（2）＝(eq\r（,2）)2eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(cos\f(2，3）π＋isin\f（2,3)π））＝2eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（1，2）＋\f（\r(,3)，2)i)）＝－1＋eq\r(，3)i.（2）eq\f(1,2)－eq\f（1，2）i＝eq\f(\r(，2）,2）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（\r（，2），2)－\f(\r（,2），2)i）)＝eq\f(\r(，2)，2）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(cos\f（7,4）π＋isin\f(7，4）π）），所以eq\r(,2)(cos75°＋isin75°）×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，2）－\f（1，2)i）)＝eq\r(,2）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（cos\f(5,12）π＋isin\f（5，12)π）)×eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f(\r（,2）,2）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(7，4)π＋isin\f（7，4）π))）)＝eq\r(，2）×eq\f（\r(,2），2)eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(5，12）π＋\f（7，4）π）)＋isin\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(5,12）π＋\f(7,4）π)))）＝coseq\f（26，12)π＋isineq\f（26，12）π＝coseq\f（π,6)＋isineq\f(π,6）＝eq\f(\r（,3)，2)＋eq\f（1，2）i。（3)因为－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(,3)，2）i＝coseq\f（2，3)π＋isineq\f（2，3)π,所以eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(1，2)＋\f(\r(，3),2)i）)÷eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（2\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)））））＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（cos\f（2,3）π＋isin\f（2，3)π)）÷eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（cos\f（π,3）＋isin\f(π,3)）))）＝eq\f(1，2)eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（2，3）π－\f(π，3）))＋isin\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π－\f(π,3)））））＝eq\f(1，2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（cos\f(π,3）＋isin\f(π，3)））＝eq\f（1,4)＋eq\f（\r(,3），4）i.复数三角形式乘、除运算的几何意义【例4】在复平面内,把复数3－eq\r(,3）i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转eq\f(π，3），求所得向量对应的复数．[解]因为3－eq\r(，3）i＝2eq\r(，3）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r(,3)，2)－\f(1,2）i))＝2eq\r（,3)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(cos\f（11，6）π＋isin\f（11,6）π)）,所以2eq\r（,3）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(cos\f（11，6)π＋isin\f(11,6）π))×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(cos\f（π，3)＋isin\f（π，3))）＝2eq\r（，3）eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（cos\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(11，6）π＋\f（π，3）））＋isin\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(11,6)π＋\f(π,3))））)＝2eq\r(,3）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（cos\f(13，6)π＋isin\f(13,6）π)）＝2eq\r(,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（cos\f（π，6）＋isin\f（π，6))）＝3＋eq\r(，3）i，2eq\r（，3）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(cos\f（11，6)π＋isin\f(11，6）π）)×eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（cos\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(π，3)))＋isin\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(π,3））)）)＝2eq\r(，3）eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（cos\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(11,6)π－\f（π，3)）)＋isin\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（11,6)π－\f(π,3)）)））＝2eq\r(,3)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（cos\f(3，2)π＋isin\f（3，2）π))＝－2eq\r（,3)i。故把复数3－eq\r(，3）i对应的向量按逆时针旋转eq\f(π，3)得到的复数为3＋eq\r（,3）i，按顺时针旋转eq\f(π,3）得到的复数为－2eq\r(,3)i。两个复数z1，z2相乘时,先分别画出与z1，z2对应的向量eq\o（OZ1，\s\up7（→）），eq\o(OZ2，\s\up7（→）），然后把向量eq\o（OZ1，\s\up7（→）)绕点O按逆时针方向旋转角θ2如果θ2＜0,就要把eq\o(OZ1，\s\up7(→）)绕点O按顺时针方向旋转角｜θ2｜,再把它的模变为原来的r2倍，得到向量eq\o（OZ,\s\up7（→）)，eq\o(OZ,\s\up7(→）)表示的复数就是积z1z2.eq\o(［跟进训练］）3．在复平面内，把与复数eq\f(3\r（,3），4）＋eq\f（3,4）i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转eq\f（π，3),然后将其长度伸长为原来的2倍,求与所得向量对应的复数．(用代数形式表示）［解］eq\f(3\r（,3），4）＋eq\f(3,4）i＝eq\f(3,2)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（cos\f(π,6)＋isin\f(π，6））），由题意得eq\f（3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f（π,6）＋isin\f(π,6）)）×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3）＋isin\f(π,3)））))＝eq\f（3,2)×2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π，6）＋\f（π，3))）＋isin\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，6）＋\f（π,3）））））＝3eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(cos\f(π，2)＋isin\f（π,2）))＝3i，即与所得向量对应的复数为3i.一、知识必备（1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．(2）复数0的辐角是任意的．（3）在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值,通常记作argz，且0≤argz＜2π.(4）两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．二、方法必备两个复数三角形式乘法的法则可简记为：模相乘,辐角相加，并且可以作以下推广；(1）有限个复数相乘，结论亦成立．即z1·z2…zn＝r1(cosθ1＋isinθ1）·r2(cosθ2＋isinθ2)…rn(cosθn＋isinθn)＝r1·r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin（θ1＋θ2＋…＋θn)］．(2)当z1＝z2＝…＝zn＝z时,即r1＝r2＝…＝rn＝r,θ1＝θ2＝…＝θn＝θ，有zn＝［r(cosθ＋isinθ）]n＝rn（cosnθ＋isinnθ），这就是复数三角形式的乘方法则，即：模数乘方，辐角n倍．1．复数1－eq\r（,3）i的辐角的主值是(