2020-2021人教版数学第二册教师用书：第10章 章末综合提升含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年新教材人教A版数学必修第二册教师用书：第10章章末综合提升含解析［巩固层·知识整合］［提升层·题型探究]随机事件的关系与性质【例1】(1）下列命题：①将一枚硬币抛两次,设事件M:“两次出现正面”,事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件；②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；④若事件A与B互为对立事件，则事件A∪B为必然事件，其中，真命题是(）A．①②④B．②④C．③④D．①②（2）某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B,C，求：①P（A），P(B），P（C）;②1张奖券的中奖概率；③1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．（1)B［对①，一枚硬币抛两次，共出现{正，正｝，｛正，反}，｛反，正},｛反，反｝四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故①错;对②，对立事件首先是互斥事件，故②正确；对③,互斥事件不一定是对立事件，如①中两个事件，故③错;对④，事件A，B为对立事件，则一次试验中A,B一定有一个要发生，故④正确．故选B．](2）［解］①P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f（10，1000)＝eq\f(1，100)，P（C)＝eq\f(50，1000）＝eq\f（1，20).故事件A，B，C的概率分别为eq\f(1，1000），eq\f（1,100),eq\f(1，20）。②1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C．∵A，B，C两两互斥，∴P（M）＝P(A∪B∪C)＝P（A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f（61,1000）.故1张奖券的中奖概率为eq\f（61，1000）.③设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖"为对立事件，∴P(N）＝1－P（A∪B）＝1－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f（1，100）)）＝eq\f（989，1000)。故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq\f(989，1000）。求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法,先求该事件的对立事件的概率，再由PA＝1－Peq\x\to（A）求解.当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法.eq\o（［跟进训练］)1．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球,得到红球的概率是eq\f(1,3）,得到黑球或黄球的概率是eq\f（5，12)，得到黄球或绿球的概率也是eq\f(5，12)，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少?[解]法一：从袋中选取一个球,记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A，B，C,D，则有P（A)＝eq\f(1,3），P（B∪C）＝P(B)＋P（C）＝eq\f（5,12），P（C∪D）＝P(C）＋P(D)＝eq\f(5，12)，P(B∪C∪D)＝P(B)＋P（C）＋P（D)＝1－P（A）＝1－eq\f（1,3）＝eq\f（2,3）,解得P（B)＝eq\f(1,4），P(C)＝eq\f（1,6)，P（D)＝eq\f（1,4),因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是eq\f（1，4）,eq\f(1，6)，eq\f(1,4）。法二：设红球有n个,则eq\f（n，12）＝eq\f(1,3)，所以n＝4，即红球有4个．又得到黑球或黄球的概率是eq\f（5，12)，所以黑球和黄球共5个．又总球数是12,所以绿球有12－4－5＝3（个)．又得到黄球或绿球的概率也是eq\f(5，12),所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个,所以黄球有5－3＝2（个）．所以黑球有12－4－3－2＝3(个）．因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是eq\f(3，12)＝eq\f（1，4），eq\f(2,12)＝eq\f（1,6)，eq\f（3,12)＝eq\f（1,4）.古典概型【例2】袋中有形状、大小都相同的4个小球，（1)若4个小球中有1只白球，1只红球,2只黄球，从中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率;（2)若4个小球颜色相同，标号分别为1，2，3,4，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率；(3)若4个小球中有1只白球，1只红球，2只黄球，有放回地取球,取两次，求两次取得球的颜色相同的概率．[解］（1)设取出的2只球颜色不同为事件A．试验的样本空间Ω＝｛(白,红)，（白，黄1），(白，黄2），(红，黄1)，(红，黄2)，（黄1，黄2）｝,共6个样本点，事件A包含5个样本点，故P(A）＝eq\f(5，6）.(2)试验的样本空间Ω＝｛（1,2)，(1,3)，（1，4）,（2，3），(2，4)，（3,4)｝，共6个样本点，设标号和为奇数为事件B，则B包含的样本点为(1,2）,（1,4)，(2，3),(3，4)，共4个，所以P(B)＝eq\f（4，6)＝eq\f（2，3).（3)试验的样本空间Ω＝{（白，白）,（白，红)，(白，黄1),（白，黄2),(红，红）,（红，白),(红，黄1）,(红，黄2)，(黄1，黄1),(黄1，白),(黄1，红),(黄1，黄2），(黄2，黄2），(黄2，白),(黄2,红),（黄2，黄1)}，共16个样本点，其中颜色相同的有6个，故所求概率为P＝eq\f（6，16）＝eq\f（3，8)。求古典概型的概率的关键是求试验的样本点的总数和事件A包含的样本点的个数，这就需要正确求出试验的样本空间，样本空间的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择。eq\o([跟进训练])2．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝（m,n)，b＝（1，－3）．(1)求使得事件“a⊥b"发生的概率;(2)求使得事件“|a｜≤|b｜”发生的概率．[解］(1）由题意知，m∈{1,2，3，4，5，6｝,n∈{1，2，3，4,5,6｝，故(m,n)所有可能的取法共36种．a⊥b，即m－3n＝0,即m＝3n,共有2种：(3，1),(6,2)，所以事件a⊥b的概率为eq\f(2,36）＝eq\f（1,18)。（2)｜a|≤|b｜，即m2＋n2≤10，共有6种：(1,1)，（1,2)，（1,3)，(2，1)，（2，2),（3，1),其概率为eq\f(6，36)＝eq\f(1，6）。相互独立事件的概率【例3】在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中选3名歌手．(1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（2）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求“X≥2"的事件概率．[解］（1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手"，观众甲选出3名歌手的样本空间Ω＝｛(1,3，4)，（1，3，5），（1，4,5）}，事件A包含2个样本点，则P（A)＝eq\f(2，3），设B表示事件“观众乙选中3号歌手”,观众乙选出3名歌手的样本空间Ω＝{(1,2,3），（1，2,4），(1,2，5），(1,3,4)，(1,3,5）,(1,4，5）,（2，3，4)，(2，3，5)，（2,4,5)，（3，4,5)｝，事件B包含6个样本点，则P(B)＝eq\f（6,10）＝eq\f（3,5).∵事件A与B相互独立，A与eq\x\to(B）相互独立，则Aeq\x\to(B)表示事件“甲选中3号歌手,且乙没选中3号歌手”．∴P（Aeq\x\to（B))＝P（A）·P（eq\x\to（B）)＝P(A)·[1－P(B）］＝eq\f(2，3)×eq\f（2，5)＝eq\f(4,15)。即观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率是eq\f(4,15）.（2）设C表示事件“观众丙选中3号歌手"，则P(C）＝P（B)＝eq\f（3,5），依题意,A，B，C相互独立，eq\x\to(A），eq\x\to（B），eq\x\to(C）相互独立,且ABeq\x\to（C），Aeq\x\to（B）C，eq\x\to(A)BC，ABC彼此互斥．又P（X＝2)＝P（ABeq\x\to（C））＋P(Aeq\x\to（B）C）＋P（eq\x\to（A)BC）＝eq\f（2，3）×eq\f(3,5)×eq\f(2，5)＋eq\f(2,3)×eq\f(2，5)×eq\f（3,5）＋eq\f(1，3）×eq\f（3，5)×eq\f（3，5)＝eq\f(33，75）,P（X＝3）＝P（ABC）＝eq\f（2,3)×eq\f（3，5)×eq\f（3,5)＝eq\f(18，75),∴P(X≥2)＝P(X＝2）＋P(X＝3）＝eq\f（33，75)＋eq\f(18,75）＝eq\f(17,25)。相互独立事件中求复杂事件概率的解题思路（1）将待求复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和．(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知（易求）概率的相互独立事件的积事件．(3)代入概率的积、和公式求解．eq\o（［跟进训练］)3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上"为事件A，“骰子向上的点数为奇数"为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是（）A．eq\f（5,12)B．eq\f（1，2)C．eq\f（7,12)D．eq\f(3,4)D［P(A）＝eq\f（1,2),P（B)＝eq\f（1,2)，P(eq\x\to（A））＝eq\f(1，2），P(eq\x\to(B））＝eq\f（1,2).A，B中至少有一件发生的概率为1－P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B）)＝1－eq\f（1,2）×eq\f(1,2）＝eq\f(3，4），故选D．］概率统计的综合应用【例4】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示），其中样本数据分组区间为：[40,50），[50,60)，…，[80，90)，［90,100]．（1)求频率分布直方图中a的值;(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50）的概率．[解]（1）因为（0。004＋a＋0。018＋0。022×2＋0。028）×10＝1，所以a＝0。006。(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0。022＋0。018)×10＝0。4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4。(3)受访职工中评分在［50,60）的有：50×0。006×10＝3（人),记为A1，A2，A3；受访职工中评分在［40,50）的有：50×0.004×10＝2（人)，记为B1，B2。从这5名受访职工中随机抽取2人，试验的样本空间Ω＝｛（A1，A2），（A1，A3)，（A1,B1），(A1，B2），（A2，A3)，(A2，B1),(A2，B2),（A3，B1)，（A3，B2），（B1，B2）｝,共10个样本点．又因为所抽取2人的评分都在［40,50）的结果有1种，即(B1，B2）,故所求的概率为eq\f（1,10）。破解概率与统计图表综合问题的三个步骤第一步:会读图，能读懂已知统计图表所隐含的信息，并会进行信息提取．第二步：会转化,对文字语言较多的题目,需要根据题目信息耐心阅读，步步实现文字语言与符号语言间的转化．第三步:会运算，对统计图表所反馈的信息进行提取后，结合古典概型的概率公式进行运算．eq\o(［跟进训练］）4．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位:件）如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区ABC数量50150100(1）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量;（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．[解]（1）因为样本容量与总体中的个体数的比是eq\f(6,50＋150＋100)＝eq\f（1，50)，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×eq\f（1，50）＝1，150×eq\f（1,50)＝3,100×eq\f（1，50)＝2。所以A，B,C三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.（2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1,C2。则从6件样品中抽取2件商品，试验的样本空间Ω＝{（A，B1)，(A，B2),(A，B3），(A，C1），（A，C2）,(B1，B2)，(B1，B3），(B1,C1)，（B1，C2)，（B2，B3)，(B2，C1)，（B2，C2）,（B3，C1），(B3,C2）,(C1，C2），共15个样本点．每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的样本点有：（B1，B2),(B1，B3），（B2，B3)，(C1，C2)，共4个．所以P(D)＝eq\f（4，15），即这2件商品来自相同地区的概率为eq\f（4,15)。［培优层·素养升华］【典例】随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品．为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1100名使用理财产品的市民,按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表:分组频数（单位：名)A类xB类yC类40其他理财产品60合计1100已知这1100名市民中，使用A类理财产品的人比使用B类理财产品的人多200名．(1）求频数分布表中x,y的值；（2）已知2019年A类理财产品的平均年化收益率为2。8％,B类理财产品的平均年化收益率为4。2％,C类理财产品的平均年化收益率为4。82%，有3名市民,每个人理财的资金都有10000元，且分别存入A，B，C三类理财产品，求这3名市民2019年理财的平均年化收益率；(3）若在使用A类理财产品和使用B类理财产品的市民中按分层随机抽样的方法共抽取5人，然后从这5人中随机选取2人，求这2人都使用B类理财产品的概率．注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利率，理财产品“平均年化收益率为3%",即将100元钱存入某理财产品,一年可以获得3元利息．［解]（1）根据题意,得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x－y＝200,，x＋y＋40＋60＝1100，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝600,，y＝400.））（2）将10000元存入A类理财产品的利息为10000×2.8％＝280（元）；将10000元存入B类理财产品的利息为10000×4.2%＝420(元);将10000元存入C类理财产品的利息为10000×4。82%＝482（元）．所以这3名市民2019年理财的平均年化收益率＝eq\f(280＋420＋482，30000)×100％＝3。94%.(3)由600∶400＝3∶2，得共抽取的这5人中使用A类理财产品的有3人，使用B类理财产品的有2人．设这5人中，使用A类理财产品的分别为A1,A2，A3，使用B类理财产品的分别为B1，B2，则从5人中随机选取2人的样本空间Ω＝｛(A1，A2），（A1，A3)，(A2,A3）,(B1，B2)，（A1，B1），(A1，B2),(A2，B1)，(A2，B2),(A3，B1）,（A3，B2)｝，共有10个样本点，其中2人都使用B类理财产品的样本点为（B1，B2），只有1个样本点,所以这2人都使用B类理财产品的概率P＝eq\f（1,10)。本题主要考查频数分布表与古典概型的概率相交汇，意在考查数据分析、数