上海市2021-2022学年高三数学填选难题专题练习汇编-平面向量

2021-2022上海市学校一高中数学填选难题一平面向量专题练习汇编

—＞平面向量

1.（2022・上海・华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）已知点尸在圆f+y2=2上，已知A（4,0）,B（0,-4）,

则西•丽的最小值为.

2.（2022・上海•华师大二附中模拟预测）已知非零平面向量5,-满足归-同=4,且伍可=-1,

7T7T

若G与5的夹角为。，且，则3的模取值范围是.

7T

3.（2022•上海普陀•二模）如图，动点C在以A8为直径的半圆。上（异于A,B）,ZDCB=~,Q.DC=CB,

割阴=2,则反.丽的取值范围为.

4.（2022上海市七宝中学高三期中）设四为18。中8（?边上的中线，且丽=丽.若/8m=。,8。=2,

则方.定的最大值为

5.（2022•上海•高三专题练习）半径为1的扇形AOB中，NAOB=120。，C为弧上的动点，己知外”20,记

M=]mOC-OA\+\nOC-OB\,则（）

A.若m+n=3,则M的最小值为3

B.若“+〃=3,则有唯一C点使M取最小值

C.若〃r〃=3,则M的最小值为3

D.若利〃=3,则有唯一C点使M取最小值

6.（2022•上海市复兴高级中学高三阶段练习）已知。，5两个互相垂直的单位向量，且作5=B•言=-g,则

1一

对任意的实数3+应+;匕的最小值是.

7.（2022•上海）已知平面向量£,标,帚0）满足同=明=26屋0,（£—今"=0.记向量之在£出方向上的投

影分别为x,y,在"方向上的投影为z,则r+y+z?的最小值为.

5

8.（2022・上海•高三专题练习）已知向量不出的夹角为锐角，且满足1矶=万,若对任意的

（x,y）e{（x,y）||xa+yb\=l,xy>0},都有|x+y|Wl成立,则展5的最小值为___________,

9.（2022•上海交大附中高三开学考试）若圆。的半径为2,圆。的一条弦A3长为2,尸是圆。上任意一点，

点产满足丽=g而，则丽.福的最大值为.

10.（2022•上海•高三专题练习）已知边长为2的正方形ABC。边上有两点R。，满足归。住1,设。是正方

形的中心，则而•丽的取值范围是.

11.（2022,上海•高三专题练习）设向量况，而满足温|=|潴=2,'oA.'oB=2,若叫“eR,m+n=l,则

uiinuinniuimHIT

\mAB-AO\+\-BO-nBA\的最小值为.

Ulluuuuu

12.（2022・上海）如图，若同一平面上的四边形PQRS满足加〃Rp=〃（i_3m）QP+〃z（〃-l）SP（机>0,〃>0）,

则当△PRS的面积是4PQR的面积的2倍时，—的最大值为________

3m+n

Q

13.（2022・上海•高三专题练习）如图，尸为AABC内任意一点，角A,B,C的对边分别为“，b,c.总有

优美等式S“BC向+S,C而+5△.定=0成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以

下命题：

①若P是“8。的重心，则有序+而+1=6;

②若a西+。而+c前=0成立，则尸是1BC的内心;

③若AP=—AB+—AC,则S&ABP:S4ABe=2:5；

④若P是AABC的外心，A=；,PA=mPB+nPC>则机+.则正确的命题有.

14.（2022・上海•高三专题练习）已知人b，"是非零向量，忖-耳=2百，0-£）«叫=-2,几为任意实数，

当15与£的夹角为（时，P-研的最小值是.

y/3x-y>0

15.（2022•上海•高三专题练习）已知点?为不等式<x+y-240所表示的可行域内任意一点，点A（-l,6），

y>0

uumu

。为坐标原点，则缁出的最大值为________

\OP\

16.（2022•上海•高三专题练习）已知4,4,6,瓦，…,a（%eN*）是平面内两两不同的向量，满足|q-引=1,

且14一已归｛1,2｝（其中i=l,2,7=l,2,则%的最大值为

17.（2022•上海•高三专题练习）如图，在△ABC中，C=|,AC=G，BC=\.若。为△ABC内部的点

18.（2022•上海•高三专题练习）已知AABC的面积为3,P,。为AABC所在平面内异于点A的两个不同的

点，若巨4-（1+24）73=6且砺+4诙+4无=彳及，其中4>0,贝IJAAP。的面积为.

19.（2022•上海•高三专题练习）己知平面向量2、石、I满足同=1,同=同=2,S.bc=0,则当OW2W1

时，卜-法-（1—/1问的取值范围是

20.（2022・上海•高三专题练习）已知平面向量中、而满足国西2=4,|幅2=2,设用=2/+黑，

则|斗.

21.（2022・上海高三专题练习）在AABC中，AB=（V3cosx,cos^,AC=（cosx,sinx）,则AABC面积的最大

值是

22.（2022・上海•高三专题练习）如图，在A45C中，ZBAC=^,。为A3中点，P为CD上一点,且满足

AP=tAC+^AB,若AABC的面积为地，则|而|的最小值为.

23.（2022・上海•高三专题练习）设点尸在以A为圆心，半径为1的圆弧8c上运动（包含8、C两个端点）,

2____

ABAC=-7T,且4P=xAB+yAC,则犬+丫+孙的取值范围为.

24.（2022.上海）若平面向量I，/-满足同=同=厘-4=1,^-（21+1）1+|=0,则对任意的feR,

恬-闽的最小值记为M,则M的最大值为.

25.（2022•上海）已知正方形ABCO边长为8,而=阮，丽=3所,若在正方形边上恰有6个不同的点?，

使PEPF=几，则冗的取值范围为.

26.（2022•上海交大附中高三阶段练习）如图，扇形A03的圆心角为90。，半径为1,点尸是圆弧AB上的

动点，作点尸关于弦AB的对称点。，则丽•西的取值范围为.

27.（2022・上海•高三专题练习）在平面直角坐标系中，。是坐标原点，两定点AB满足|）|=|丽卜弧丽=2,

由点集｛P而=4砺+〃丽,风+|〃归1,/1,〃€/?｝所表示的区域的面积是.

_1__jri-

28.（2022・上海•）己知非零向量而、的不共线，设0M=—三。产+—工。。，定义点集

,FPFMFQFM..一,一

Arl=

|fp||f^|）-若对于任意的“23,当6,且不在直线PQ上时'不等式忸修例尸。1

恒成立，则实数左的最小值为

29.（2022.上海）已知入台均为单位向量，且£出=0,若卜-小忙-2&司=3,则归+2目的取值范围是（）

A.[272,3]B.[2&,2石]C.[2,3]D.[2,2>/3]

30.（2022•上海♦高三专题练习）在平面四边形ABCD中，已知AABC的面积是A4CD的面积的3倍，若存在

uu&（1Auus'（1、uu»'

正实数X、y使得AC=H3H+11-7卜。成立，则x+y的最小值为

A3+&R3+百-2+0n2+世

A.------D.------U.------U.---------

5555

31.（2022•上海）已知正六边形AB8E厂的边长为2,当％w{-l,l}（i=1,2,3,4,5）时，

K瓦+冬前+&而+4恁+&祠的最大值为（）

A.6B.12C.18D.8+4月

32.（2022.上海.高三专题练习）已知平面向量以'（A=1,2,....6）满足：同=电=1，2,“.,6）,且）+%+…+或=6,

则+的最大值是（）

A.9B.10C.12D.14

7

33.（2022♦上海♦高三专题练习）已知△ABC的内角A3,C的对边分别为〃也c,且cosA=『M为△ABC内部

8

的一点，且a必+痴而+c而6=6，若加>=x而+y而，则x+y的最大值为（）

2021-2022上海市学校一高中数学填选难题一平面向量专题练习汇编

一、平面向量

1.（2022・上海・华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）已知点P在圆f+y2=2上，已知A（4,0）,B（0,-4）,

则PA-PB的最小值为.

【答案】-6

2.（2022♦上海•华师大二附中模拟预测）已知非零平面向量万，B满足卜-同=4,且（。-。刊一3=-1,

若了与弓的夹角为6,且de，则C的模取值范围是.

【答案】[2一后3向

3.（2022•上海普陀•二模）如图，动点C在以A3为直径的半圆。上（异于A,B）,NQCB=],ELDC=CB,

若|A回=2,则反.而的取值范围为.

JT

4.（2022.上海市七宝中学高三期中）设4W为AABC中8C边上的中线，且丽=丽•.若NBAC=§,BC=2,

则万・京的最大值为

【答案】

4

5.（2022・上海•高三专题练习）半径为1的扇形AOB中，N4OB=120。，C为弧上的动点，己知〃”整0,记

M^mOC-OA\+\nOC-OB\,则（）

A.若m+n-3,则M的最小值为3

B.若m+〃=3,则有唯一C点使M取最小值

C.若利”=3,则何的最小值为3

D.若利"=3,则有唯一C点使M取最小值

【答案】A

6.（2022•上海市复兴高级中学高三阶段练习）已知a,5两个互相垂直的单位向量，且万忆=5l=-3,则

1-

对任意的实数3c+ta+-b的最小值是.

【答案】县

2

7.（2022・上海）已知平面向量2,瓦工,（2工。）满足,卜1,忖=2"石=0,（〃一石）・。=0.记向量7在£,力方向上的投

影分别为x,y,2—2在之方向上的投影为z,贝1」/+9+22的最小值为

【答案】|2

5-3

8.（2022・上海•高三专题练习）已知向量，石的夹角为锐角，且满足l，l=s、|b|二力，若对任意的

（x,y）e{（x,y）||xa+yb\=l,xy>0},都有|x+y|Wl成立，则展5的最小值为.

【答案】3

9.（2022.上海交大附中高三开学考试）若圆。的半径为2,圆。的一条弦A8长为2,P是圆O上任意一点，

点P满足丽=；丽,则福・硕的最大值为.

【答案】10

10.（2022•上海•高三专题练习）已知边长为2的正方形ABCD边上有两点P、Q,满足|PQ|21,设。是正方

形的中心，则0户・。0的取值范围是.

【答案】[-2,1]

11.（2022•上海•高三专题练习）设向量漪。月满足苏=|潴|=2,OA.OB=2>若m+n=\,则

mmuumiuinuir

\mAB-AO\+\-BO-nBA\的最小值为.

【答案】x/7

UHuuuuu

12.（2022・上海）如图，若同一平面上的四边形尸。心满足m"RP="（l-3m）QP+/n（"-l）SP（m>0,n>0）,

则当△PRS的面积是4PQR的面积的?倍时，—的最大值为________

36+〃

Q

【答案】10-55/3

13.（2022・上海•高三专题练习）如图，尸为AABC内任意一点，角A,B,C的对边分别为。，b,c.总有

优美等式丛咏.而+S””.而+s△.方=0成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以

下命题：

①若/，是AABC的重心，则有所+方+定=0;

②若4而+6万+C无=0成立，则?是AABC的内心；

③若AP=M+,则%皿，：Sfsc=2：5；

④若P是AABC的外心，4=；,PA=mPB+nPC则机+〃e[-夜,1）.则正确的命题有.

【答案】①②④

14.（2022・上海•高三专题练习）已知£,人工是非零向量，|“叫=2百，伍-斗伍-4=-2,2为任意实数,

当与£的夹角为?时，*M的最小值是.

【答案】|

-TSJC-j>0

15.（2022•上海•高三专题练习）已知点?为不等式<x+y-240所表示的可行域内任意一点，点4（一1,石）,

”0

ULIUllI

。为坐标原点，则缁毛的最大值为

IOPI

【答案】1

16.（2022•上海•高三专题练习）已知4,万2石,瓦，…,a（%eN"）是平面内两两不同的向量，满足|4-引=1,

且|小一4怕｛1,2｝（其中，.=1,2,7=1,2,…则左的最大值为

【答案】6

17.（2022•上海•高三专题练习）如图，在△ABC中，C=y,AC=6,BC=\.若。为△ABC内部的点

且满足鄙崩+舒°，则网网|叶——.

【答案】4:2:1

18.（2022・上海•高三专题练习）已知A4?C的面积为3,P,。为△"（?所在平面内异于点A的两个不同的

点，^PA-（1+2A）>F^=Q^.QA+AQB+AQC=ABC,其中4>0,则AAP。的面积为.

【答案】3

19.（2022•上海•高三专题练习）已知平面向量£、b>2满足同=1，问=忖=2,且51=0,则当0W"l

时，卜-法-a-几对的取值范围是

【答案】[72-1,3]

20.（2022・上海•高三专题练习）已知平面向量可、丽满足向『+|而『=4,岗『=2,设用=2岗+序,

则因e.

3瓜一五3娓+垃

【答案】

2，2

21.(2022・上海•高三专题练习)在AABC中，43=(geosx,cosx),AC=(cosx,sinx),则AA8C面积的最大

值是____________

【答案】43

4

22.（2022•上海•高三专题练习）如图，在AA8C中，ZBAC=|,。为A3中点，P为8上一点，且满足

AP=tAC+^AB,若的面积为手，则|丽|的最小值为.

【答案】72

23.（2022.上海.高三专题练习）设点尸在以A为圆心，半径为1的圆弧8c上运动（包含8、C两个端点）,

2——__

ZBAC=-TT9且A?=xA8+yAC,则工+'+个的取值范围为.

【答案】[1,3]

24.（2022.上海）若平面向量1，满足同=同=忖一勾=1，^一（21+£）1+|=0,则对任意的feR,

仔-阊的最小值记为M,则M的最大值为.

【答案】壬3

4

25.（2022•上海）已知正方形ABCO边长为8,诙=反，丽=3%,若在正方形边上恰有6个不同的点?，

使PEPF=2，则4的取值范围为.

【答案】（-1,8）

26.（2022•上海交大附中高三阶段练习）如图，扇形AOB的圆心角为90。，半径为1,点尸是圆弧A3上的

动点，作点尸关于弦AB的对称点。，则而•丽的取值范围为

B

【答案】[夜-1，]

27.（2022・上海•高三专题练习）在平面直角坐标系中，。是坐标原点，两定点AB满足|函|=|瓦卜OAOB=2,

由点集{P而=4砺+〃丽,风+|〃归1,/1,〃€/?}所表示的区域的面积是.

【答案】46

28.（2022・上海•）已知非零向量炉、而不共线，设两=—二丽+」二两，定义点集

m+lm+\

FP~FMFQFM।___।一

A={F}\FP\=\FQ\}＞若对于任意的加之3,当6'且不在直线PQ上时'不等式|晒I44迎I

恒成立，则实数攵的最小值为

【答案】43

4

29.（2022•上海）己知人