数列1：数列基础和等差等比数列 复习讲义-2023届高三数学一轮复习

数列1:数列基础和等差等比数列

目录

【知识点总结】................................................................................1

【题型一】根据数列的前n项写出数列通项公式................................................2

【题型二】等差数列的相关题型...............................................................3

【题型三】等比数列的相关题型7

【题型四】等差等比数列的证明..............................................................11

【知识点总结】

知识点一:数列的概念

1.数列

定义：

数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第

"项，….

数列的一般形式为：ai,S2,S3,•••,a„,•••,简记作｛aj.

2.数列的通项公式

定义：

注意：①｛4｝表示数列，4表示数列中的第"项，表示数列的通项公式；

②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一：

③不是每个数列都有通项公式.

3.数列的递推公式

定义：

如：数列“1,1,2,3,5,8,13,…”的递推公式是：a,=1,a2=1,a„=a„-i+a„-2(n>3)

知识点二:数列的函数特性

1.从函数观点看数列

序号：①②③④⑤⑥

项：456789

如上图所示，每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射.从函数

观点看，数列实质上是定义域为正整数集N*(或它的有限子集)的函数式(〃)当自变量〃从1开始依次取

值时对应的一系列函数值/(1),H2),f(3),…，/(〃)，….通常用当来代替H"),其图象是一群孤

立点.通项公式反映了自变量〃与函数为之间的关系，实质是一个函数解析式.

由于数列是特殊的函数，因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质(单调性、最值等).

2.单调性和最值

两种方法：(1)“函数法”：建立函数模型，利用函数性质来解决.

(2)“定义法”：根据数列单调的定义，对式子进行变换.

①单调性：a”+i>a〃O单调递增；单调递减.

_13((~\

②最值：1Oa为最大值；Od为最小值.

Hk+i

知识点三：数列的前〃项和与通项的关系

S,n=1

数列的前"项和通常用S表示，记作S=ai+a2+a3-|----\-a„,则通项&=■.

[S—Si,"22

注意：通常要检脸日是否适合当〃》2时得到的a.:i若适合，则将多用一个式子表示；

ii若不适合，则将4用分段形式表示.

【题型一】根据数列的前n项写出数列通项公式

【典例分析】

例题1:写出下列数列的一个通项公式:

12341111

(1)弓2-.3-.4—•••(z2)————•••(3)0,1,0,1,

5，*T6’⑵20，,

….(5)3,班，何….(/、3」2

(4)3,5,9,17,6)—1,-,~3f4f

(7)8,88,888,8888,—.(8)0.9,0.99,0.999,0.9999,

例题2：数列1,1,2,3,5,8,13,x,34,55,…中x的值为________.

例题3:已知数列｛4｝的前4项分别为2,0,2,0,则下列各式不可以作为数列｛aj的通项公式的一项是

()

nn2,〃为奇数

A.a=1+(-1)小B.a„=2sin(-y)C.a”=1—cos(〃n)

0,〃为偶数

例题4：将自然数的前5个数：(1)排成1,2,3,4,5；(2)排成5,4,3,2,1；

(3)排成2,1,5,3,4;(4)排成4,1,5,3,2.那么可以叫做数列的只有)

(A)(1)(B)(1)和(2)(0(1),(2)(3)(D)(1),(2),(3),(4)

例题5:按规律填空()

⑴2,5,8,(),();⑵2,7,12,17,22,(),(：);

(3)5,10,15,20,(),();(4)(),(),13,19,25,3：1,37；

例题6:数列2,3,4,5,…的一个通项公式为()

A.an—nB.&=〃+1C.a„—n+2D.a„—2n

例题7：数列1,0,1,0,1,…的一个通项公式是()

-1-(-1)"

A.'B.C.—

1"2

例题8：写出以下各数列的通项公式：'

①②0,1,0,1,0,1,…④10,9,8,7,6,…

248

⑤9,99,999,9999,…⑦一，一，—，—，—

416366426122030

【提分秘籍】

基本规律

这个就看看就好，了解一下不是重点。想了一想此处省一些内容。。。。先上重点内容。。。

【题型二】等差数列的相关题型

【典例分析】

(1)等差数列的基本量计算

例题1:在等差数列｛a.｝中，科=8,前7项和S=42,则其公差是为

例题2：已知｛4｝是公差为1的等差数列，S“为｛a,J的前〃项和，若$8=4$4，则()

(A)—(B)—(C)10(D)12

22

例题3：已知S“为等差数列｛a,J的前〃项和，若工=1,区=4,则区的值为()

§4

935

A.-B.-C.-D.4

424

例题4：在等差数列｛a｝中，So=12O,那么各+a。的值是().

A.12B.240.36D.48

例题5：设S是等差数列｛&｝的前"项和，已知生=3,56=11,则S等于（）

A.13B.35C.49D.63

例题6：在等差数列｛〃“｝中，若前10项的和Si。=60,%=7,则%=（）

A.4B.-4C.5D.-5

邑009$2007_2

例题7:设等差数列｛"/的前〃项和为S1,已知％=一201°2669-20(j7-,则%10=(

)

A.一2008B.2008C.-2010D.2010

例题8:设S“是等差数列｛。“｝的前n项和,若亥=3,则邑=（)

49S,

A1B-1C2D-

2

【变式演练】

1.若等差数列｛〃“｝满足a1+a2+82015+32016=3,则｛〃“｝的前2016项之和S2016=（）

A.1506B.1508C.1510D.1512

2.设等差数列｛4｝的前〃项和为S”，若一《=3，则S?=（）

A.2B.3C.4D.5

3.在等差数列｛。〃｝中，若84=1,$8=4,则。17+。18+。19+。20的值为（）

4.在等差数列｛q｝中，+。2+•••+。50=200,%1+。52+•••+600=2700,则。[为()

5.若等差数列｛%｝中，%+%一《0=8,41—〃4=4,则S]3=

□

6.已知等差数列｛%｝的前"项和味S“，at>0,a1a2=-,S5=10.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

7.设S〃为等差数列｛%｝的前〃项和，已知4+《3=26,S9=81.

(1)求｛%｝的通项公式；.

8已知等差数列｛〃〃｝前9项的和为27,4。=8,则()

(A)100(B)99(C)98(D)97

9在等差数列｛〃〃｝中，首项〃1=0,公差dwO,若4=4+生+/+…+%，则攵=()

A、22B、23C、24D、25

10数列｛〃〃｝是等差数列，%=7,则$7=

11在等差数列｛劣｝中，—e0=8,aw—a=4,记S=a+a+a+...+a”则S3等于

12在等差数列｛q｝中，已知%=3,公差d=2,求Sy

13已知等差数列｛。〃｝的前〃项和为S“，且。2+%=25,§5=55.

(1)求数列｛。〃｝的通项公式；

14已知正项等差数列｛凡｝的前n项和为S,,,且满足4+%=；4、$7=56。

(I)求数列｛4,｝的通项公式；

(2)等差数列的性质(重点中项，等和性)

1.在等差数列｛&｝中，a3+由=37,则与+次+36+石8=.

2.已知等差数列｛4｝,满足%+火=8,则此数歹”的前11项的和S“二()

A.44B.33C.22D.11

3.已知等差数列｛。〃｝的前〃项和为S〃，若4+/+%=12,则S7的值为()

A.56B.42C.28D.14

4.在等差数列｛a,J中，已知&+%二16,则生+而二()

(A)12(B)16(C)20(D)24

5.在等差数列｛〃〃｝中，。］+%+。3=3,。28+。29+。30=165,则此数列前30项和等于(

A.810B.840C.870D.900

6.等差数列｛%｝的公差是正数，且%的=-12,%+。6=-4,求它的前20项的和.

7.美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元.问:

(1)从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？

(2)如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？

(3)如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元.

问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？

【变式演练】

1.假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市

每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方

米.那么，到哪一年底，

⑴该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？

(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?用火柴棒按下图的方法搭三角形:

2.按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a.与所搭三角形的个数〃之间的关系式可以是

3.已知等差数列瓜｝的前n项和为S„,且az=-45,a4=-41,则S.取得最小值时n的值为()

A.23B.24或250.24D.25

4.在首项为81,公差为一7的等差数列｛q｝中，最接近零的是第()项

5.已知等差数列｛a,,｝中，W+扇+2a3a=9,且a<0,则$。为()

A.-9B.-110.-13D.-15

6.设等差数列｛aj的前"项和为$,已知会=12,且S2>0,5,3<0.

(1)求公差d的范围；

(2)问前几项的和最大，并说明理由.

【题型三】等比数列的相关题型

(1)等比数列的基本量计算

2

1.设首项为1,公比为§的等比数列｛4』的前n项和为S”，则().

_

A.Sn=2〃〃-1B.Sn=3an2C.Sn=4—D.Sn=3—

c

2.设Sn为等比数列｛aj的前n项和，8a2+a5=0,则/等于()

A.11B.5C.-8D.-11

3.设等比数列｛a0｝的前n项和为S”ai=1,S6=4S3,则a«=.

4.记等比数列｛aj的前n项和为S”若S3=2,S6=18,则卵等于()

05

A.-3B.50.-31D.33

55S

5.已知等比数列｛〃〃｝的前〃项和为，〃1+%=二，且生+。4=二，则=(

24an

A.4"7B.4"一1C.2"TD.2"-1

6.数列｛。〃｝中4=2,a〃+]=2a〃,S〃为｛4｝的前n项和，若Sn=126,则n-.

7.设等比数列｛aj的公比q=2,前n项和为S”，则&等于()

S2

1517

A.2B.4G.—D.—

8.在等比数列⑸｝中，已知S4=48,S8=60,则$2=,

【变式演练】

1.设公比为g①>0)的等比数列｛4｝的前项和为S“，若S2=34+2,=3%+2,则4=()

12

A.-2B.-1C.-D.-

23

2.已知等比数列｛aj前n项和为S”且S3=8,S6=9,则公比q=.

3.设等比数列｛a,,｝的前〃项和为S,,若56：y=1：2,则Sg：5：()

A.1:2B.2:3C.3:4D.1:3

4.数列｛21的前n项和S.等于()

A.2n-1B.2n-2C.2n+'-1D.2n+,-2

5.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项和等于()

A.31B.33C.35D.37

6.等比数列｛a“｝前〃项和为S“，若其=6,$4=30,则$6=()

(A)62(B)64(0126(D)128

55S

7.已知等比数列5｝的前n项和为Sn,ai+a=—,且a2+a4="7，则,=()

3z4a"、'

(A)4”T(B)4n-1(C)2n-'(D)2n-1

8.设｛aj是由正数组成的等比数列，S。为其前n项和，已知aza“=1,S3=7,则Ss等于()

9.在等比数列｛aj中，公比q是整数，ai+a4=18,a2+a3=12,则此数列的前8项和为（）

A.514B.513C.512D.510

10.在等比数列｛。〃｝中，ax=5,S5=55,则公比q等于（.）

A.4B.2C.-2D.-2或4

（2）等比数列的性质（重点中项及等和性）

1.已知等比数列｛aj中，ai+an=66,a2an-i=128,Sn=126,求项数n和公比q的值.

2.已知各项为正数的等比数列｛aj中，句与勿=5,2加金=10,则石4比a.等于（）

A.5/B.70.6D.4/

3.已知等比数列｛aj中，ai•a9=64,a3+a7=20,则an=.

4.在等比数列｛aj中，

（1）若25=2,々0=10,则215=；

（2）若%=5,%=6,则的以io=。

5.在等比数列｛〃“｝中，%+q=34,%・%=a，s”=62,求几,q

6.在正项等比数列｛d｝中，“Ka”，我•%=6,d+a=5,则一等于（）

生

5623

A.TB-C-D-

O0J2

7.某工厂去年产值为a,计划5年内每年比上一年产值增长10%,从今年起五年内这个工厂的总产值为

（）

A.l.14aB..l.l5aC.10（1.15-l）bD.11（1.15-1）a

8.在等比数列｛劣｝中，若a>0,ay•aioo=100,则Iga+lgai+Ig---FIga（x）=.

【变式演练】

1.等比数列｛aj各项均为正数，。3%+4%=18,

则log有4+log百％+..•+log/«10=

2.已知数列｛aj为正项等比数列，且a1a3+2a3a5+a5a7=4,则az+a6=（）

A.1B.2C.3D.4

3.一张报纸，其厚度为a”面积为b,现将此报纸对折（沿对边中点连线折叠）7次，这时报纸的厚度和

面积分别为（）

A.8。,一bB.64。,—bC.128。,--bD.256〃,----b

864128256

4.已知等比数列｛%｝满足4=；,a3a5=4（a4-1）,则%=（）

11

A.2B.1C.-D.-

28

5.设xWR,记不超过x的最大整数为[x],令｛x｝=x-[x],则[邓j],小失1（）.

A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列

C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列

6.已知公比为q（q工1）的等比数列｛&“｝的前〃项和为S“，则数列《」->的前〃项和为（）

q"S.1S.

A.B.c.D..

s.q"s/ia：q〃7

7.设｛。“｝是各项均为正数的等比数列，a=log2a“，仇+2+/=3,白包/=一3,求a“。

8.在等比数列｛。“｝中，9+。“=比,«3-an_2=81,且数列｛%｝的前〃项和S“=121,则此数列的项

数〃等于（）

A.4B.5C.6D.7

9.在等比数列｛a〃｝中，已知&&=-512,备+a=124,且公比为整数，求如=

10.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：”今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一

尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边

打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足

够厚，S,为前"天两只老鼠打洞长度之和，则S“=尺

11.已知等比数列｛&“｝中有03ali=4%,数列低｝是等差数列，且。7=丽则4+4=（)

A.2B.4C.8D.16

12.已知｛劣｝是首项为1的等比数列，S〃是｛劣｝的前刀项和，且9$=£,则数列｛｝｝的前5项和为（）

15-31*3115

A.胃或5B./或5C—D—

O101oO

13.在等比数列｛4｝中，已知前4项和为1,前8项和为17,则此等比数列的公比q为（）.

A.2B.-20.2或一2D.2或一1

14.

(3)差比混合计算(注意区分原有数列是等差还是等比)

1.已知各项均不相等的等差数列｛4,｝的前四项和=14,且4,%，%成等比数列.

(1)求数列｛"“｝的通项公式；

2.已知各项均为正数的等比数列｛《,｝的首项q=2,S”为其前〃项和，若55，S3,3s2成等差数列，

求数列｛4｝的通项公式；

已知等差数列的公差它的前项和为若且成等比数列.

3.｛a„｝d/O,nS”，Ss=70,a2,a7,a22

(1)求数列｛aj的通项公式；

4.已知等比数列｛<?“｝的公比q>0,%%=8q,且％,36,2g成等差数列.

(1)求数列｛。“｝的通项公式；

5.已知公差不为0的等差数列｛①,｝的首项q=a(a>0),该数列的前n项和为S“，且,，—,—

成等比数列，

(I)求数列｛七｝的通项公式及s”.

6.等比数列｛a“｝的前〃项和为S“，已知S”S3,S?成等差数列.

(1)求｛4｝的公比q;

(2)若。］-q=3,求S”.

【变式演练】

1.设〃wN",数列｛aj的前〃项和为S“，已知S“+i=S“+a“+2,q,4,%成等比数列.

(I)求数列｛6｝的通项公式；

2.已知｛%｝是公差d40的等差数列，a2,a6,旬成等比数列，%+。6=26;数列也｝是公比q为

正数的等比数列，且4=。2，t>5=a6.

(I)求数列｛a“｝,｛"｝的通项公式；

3.已知等比数列｛a。｝中，各项都是正数，且a,,!a3.2a?成等差数列，则电瞥等于()

2ay-ras

A.1+72B.1一啦C.3+2/D.3-272

4.已知数列｛“”｝是递减等比数列，出=4,且％,2%,%+3成等差数列.

(1)求数列的通项公式；

5.若S“是公差不为0的等差数列｛q｝的前n项和，且S|,$2,54成等比数列。

(I)求数列S1,S2，Sq的公比q;(II)若S?=4,,求数列｛。”｝的通项公式。

6.单调递增的等差数列SJ，出=L且％，%，％成等比数列.

｛a｝

(1)求数列।"•'的通项公式；

7.等比数列｛编｝的前n项和为S。，已知Si2s2.3S3成等差数列，则｛a。｝的公比为.

8.在公比为2的等比数列｛4｝中，生与火的等差中项是96.求4的值；

【提分秘籍】

基本规律

1.该部分内容为基础公式熟悉部分，知识点简单，计算问题是重点，等比多用除法。。。

2.以上内容为增强公式的记忆及相关计算的技巧。多练多做提高正确率和做题速度。。。

【题型四】等差等比数列的证明

【典例分析】

2s

1.(2022•全国甲理文)记$为数列｛a.｝的前"项和.已知一+〃=2a〃+1.

(1)证明：｛a,J是等差数列；

(2)若由,a成等比数列，求S的最小值。

2.已知等差数列｛aj的前〃项和为S,且a3=7,as+a,=26.

⑴求及£；(2)令a=a(〃WN*),求证：数列｛〃｝为等差数列.

n

311

3.已知数列⑷中，a--=2—(^2,〃卧*),数列⑸满足以==(〃卧*).

(1)求证:数列｛4｝是等差数列;

(2)求数列｛aj中的最大项和最小项，并说明理由.

4.在数列｛劣｝中，品=4,〃&+1—(〃+1)劣=2//+2".

⑴求证：数列是等差数列;

(2)求数列的前/7项和的

5.数列｛刊满足m=1,/7“1=(〃+1)&+〃(〃+1),〃£N*.

⑴求证：数列是等差数列；

(2)设bn=3”•&求数列｛a｝的前〃项和金.

1

6.若数列｛d｝的前"项和为S,且满足劣+2ss一尸0(〃22),ai=~.

(1)求证：["1成等差数列；

(2)求数列｛a.｝的通项公式.

7.已知数列｛a.｝的前"项和为$,且2$=3a.-3++3("GN*).

(1)设4=祟，求证：数列｛8｝为等差数列，并求出数列｛&｝的通项公式；

⑵设c〃=?一亨，7L=CI+C2+C3H------\~Cn,求7L.

21

8.(2021•全国乙)设S为数列｛劣｝的前"项和，6〃为数列｛S〃｝的前〃项积，已知三+工=2.

OnOn

(1)证明：数列｛4｝是等差数列；

(2)求｛a｝的通项公式.

9.(2014•全国I)已知数列1｝的前"项和为S,51=1,当丰0,anan^=ASn-\,其中/I为常数.

(1)证明：an—A;

(2)是否存在人，使得｛&｝为等差数列？并说明理由.

1

10.设数列｛劣｝的前〃项和为S,且满足劣一5$一1=0(〃£/).

(1)求数列｛&｝的通项公式；

(2)是否存在实数，使得数列｛S+S+22入｝为等差数列？若存在，求出人的值；若不存在，请说明

理由.

11.若数列｛/U对于任意的"£N*,都有“2一4="(常数)，则称数列｛/U是公差为a的准等差数列.如数

14/7—1,"为奇数,

列若&=l-则数列｛6｝是公差为8的准等差数列.设数列｛&｝满足句=/对

[4/7+9,"为偶数1f，

于"£N’,都有d+&+i=2".

(1)求证：｛品｝是准等差数列：

(2)求｛劣｝的通项公式及前20项和殳.

3a2

12.已知数列｛品｝的首项a>0,3^1=--金7(〃£/),且3=三.

2a〃十1o

(1)求证：；:一“是等比数列，并求出｛&｝的通项公式；

(2)求数列的前"项和T„.

35

13.已知数列｛劣｝的前〃项和为Sn,〃£N*,3=1,4=5，品=“且当时，

4S+2+5S=8S+I+ST.

(1)求会的值；

(2)证明：|d+1—为等比数列.

14.已知数列｛劣｝的前"项和S满足S=2d+(—1)"SEN*).

(1)求数列｛d｝的前三项品，与，a;

⑵求证：数列卜.+|(-1)"]为等比数列，并求出｛d｝的通项公式.

15.已知在正项数列｛aj中，a、=2,点、46/^>,7i)在双曲线/—*2=1上，数列｛2｝中，点(4，7L)在

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