数学-2022年秋季高一入学分班考试模拟卷（新高考专用）（解析版）

绝密★考试结束前

2022年秋季高一入学分班考试模拟卷（新高考专用）02

数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.（2022・山东聊城）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式丫=伍7进行计算，其中。为子弹的加速度,

S为枪筒的长.如果a=5xl（）5m/s2,s=0.64m,那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（）

A.0.4xl02m/sB.0.8xl02m/sC.4xl02m/sD.8xl02m/s

【答案】D

【分析】把“=5x105mzs2,s=0.64m代入公式丫=缶；，再根据二次根式的性质化简即可.

【详解】解：v-y/2as->/2X5X105X0.64=8xlO2（m/s）>故选：D.

【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为

“xl0〃的形式，其中lW|a|<10,〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

2.（2022.山东威海）图1是光的反射规律示意图.其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KOLMM

NPOK是入射角，NKO。是反射角，/KOQ=NPOK.图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过

的点是（）

A.A点B.B点C.C点D.。点

【答案】B

【分析】根据光反射定律可知，反射光线、入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角并且关于法线对称,

由此推断出结果.

【详解】连接EF,延长入射光线交EF于一点N,过点N作EF的垂线NM,如图所示：

由图可得MN是法线，NPNM为入射角

因为入射角等于反射角，且关于MN对称

由此可得反射角为

所以光线自点尸射入，经镜面EF反射后经过的点是B故选：B.

【点睛】本题考查了轴对称中光线反射的问题，根据反射角等于入射角，在图中找出反射角是解题的关键.

3.（2022•内蒙古•九年级三模）下列命题正确的是（）

A.与-4/产』是同类项，则a+A=—3

B.边长相等的正三角形和正四边形的外接圆半径之比为1:2

C.加、〃是整数，若2"=。，2"=h,则2""3"=。+3b

D.a的算数平方根是3

【答案】D

【分析】根据同类项的概念，二元一次方程组的解法，正多边形与圆，幕的运算，算术平方根的定义，逐

项判断即可.

【详解】A、由同类项的概念得：a+2h=2,3a-4b=8,解得“=b=~,则a+b=日，故此命题错误；

B、设正三角形的边长为2m如下图所示，BD=a,/仍£>=30。，AD1BC,则正三角形的外接圆半径为

BE=BQ+cos30o=2®a；在正方形GHPF中，由勾股定理得尸加夜G"=2&a,则正方形的外接圆半径为

3

近a，则有：友〃：夜〃=&：6工1：2,故此命题错误；

3

c、2m+3"=2ra.23"=2"'《2"）3=ab）^a+3b,故此命题错误;

D、病=9,则9的算术平方根是3,故此命题正确；

故选：D.

【点睛】本题考查了命题真假的判断，涉及同类项的概念,解二元一次方程组，正多边形与圆，幕的运算,

算术平方根等代数与几何方面的知识，全面掌握这些知识是正确判断命题真假的前提.

4.（2022.四川•中考模拟）在锐角AABC中，ZA,NB,NC所对的边分别为a,b,c,有以下结论:

2R（其中R为AA8C的外接圆半径）成立.在AABC中，若/A=75。，ZB=45°,

sinAsinBsinC

c=4,贝IJ"BC的外接圆面积为（）

167rB,也

A.——C.16万D.64万

33

【答案】A

=2R,利用圆的面积公式S行等.

【分析】方法一:先求出/C,根据题目所给的定理,

方法二：设AABC的外心为0,连结0A,0B,过。作0。于。，由三角形内角和可求NC=60。，由圆

周角定理可求NAO8=2NC=120。，由等腰三角形性质，N0AB=N0B4=30°,由垂径定理可求A£>=BL>=2,

利用三角函数可求。4=生8,利用圆的面积公式S邮16万

33

【详解】解:方法一：；/A=75°,Zfi=45°,ZC=180°-ZA-ZB=180o-75°-45o=60°,

44873

2R=4x/379

有题意可知sinCsin60°g3,•**R=----，*,•S.=7iOA~

3

2

方法二：设AABC的外心为O,连结0A,0B,过。作0£>J_AB于

VZA=75°,Zfi=45°,AZC=180°-ZA-ZB=180o-75°-45o=60°,AZA0B=2

ZC=2x60°=120°,

'：OA=OB,：.ZOAB=ZOBA=(180°-120°)=30°,

"JODVAB,4B为弦，：.AD=BD=-AB=2,：.AD=OAcos300,

2

46丫

2

，OA=AD4-cos30°=2+S既=兀R，—TTOA=n——•故答案为A.

233)3

【点睛】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角

函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理,

锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键.

5.（2022.江苏初三模拟）定义[x]为不大于实数x的最大整数，如[1.8]=1,[-1.4]=-2」-3]=-3.函数

y=[x]（—2„x<2）的图象如图所示，则方程[x]=g/+尤的解为（）

A.0或一2B.0C.-1±V3D.0或-1土石

【答案】B

【分析】根据图象确定出［x］的可能值，进而求出x的值确定出方程的解即可.

【解析】当lWx<2时，原方程可化为

2

解得％=_1+6,々=一1一6,均不符合题意，舍去；

当O,,x<l时，原方程可化为;Y+x=o,解得玉=0,9=-2（舍去）；

当—l,,x<0时，原方程可化为4/+%=-1,此时无实数解；

2

1,

当1时，原方程化为一/+》=—2,此时无实数解.

2

综上所述，方程的解为x=0,故选B.

【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及函数的图象，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

6.（2022.广西贺州中考模拟）如加={1,2,耳，我们叫集合M,其中1,2,》叫做集合M的元素.集合中

的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如xxl,x*2）,无序性（即改变元素的顺序，集合不变）.若

集合N={%,1,2},我们说M=N.已知集合A={1,0,。}，集合B=%时,务若A=8,则〜的值是（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】根据集合的确定性、互异性、无序性，对于集合B的元素通过分析，与A的元素对应分类讨论即

可.

【详解】解：；集合B的元素LL”，可得，

••。w0,

.,.力=o,

当；=1时，。=1,A={1,0,1},B={1,1,0},不满足互异性，情况不存在，

当时，a=+\,a=l（舍），a=-l时，A={1,（）,-1},B={-1,1,0）,满足题意，

此时，b—a-\.

故选：C

【点睛】本题考查集合的互异性、确定性、无序性。通过元素的分析，按照定义分类讨论即可.

2x-l5x+l1

7.（2022・重庆市九年级一模）关于x的一元一次不等式组32'有解，且使关于y的分式方程

x+5>a

2V—2i

==2-=的解为整数，则所有满足条件的整数〃的值之和是（

【答案】D

【分析】解不等式组{工厂一，又因为不等式组有解，得到。<4,由于竺二£=2-：^—,得

x+5>«®13-y

3

到：，因为&<4,且y#3,且整数，得到a=3,-1；

即可求解;

2x-\5x+1

【详解】解：{3由①得：把-1,由②得：x>a-5,

x+5>a®

因为不等式组有解，:.a-5<x<-];：.a-5<-\;：,a<4,

：a<4,且归3,为整数，：.a=3,-1；3+（-1）=2.故选：D

【点睛】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集，有理数的混合运算，考虑解分式方程

可能产生增根是解题的关键.

8.（2022•黑龙江大庆）平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足

OM+ON=S.点。为线段MN的中点，则点。运动路径的长为（）

A.4nB.80C.8万D.16&

【答案】B

【分析】设点M的坐标为（0,机），点N的坐标为（小0）,则点。的坐标为|j，万J,根据OM+ON=8,

得出|〃|+（-5）=8,然后分两种情况，-84〃<0或04〃48,得出晟与5的函数关系式，即可得出。横纵

坐标的关系式，找出点Q的运动轨迹，根据勾股定理求出运动轨迹的长即可.

【详解】解：设点M的坐标为（0,机），点N的坐标为（小0）,则点。的坐标为

VOM+ON=8f/.|n|+（-m）=8,（-8<n<8,-8<w<0）,

:当一8<n<0时，M+（-m）=-n-m=8f

.ntn.n.

..------=4,即nn一=----4,

2222

・••此时点。在一条线段上运动，线段的一个端点在工轴的负半轴上，坐标为（-4,0）,另一端在y轴的负半

轴上，坐标为（0,-4）,...此时点°的运动路径长为J（_4『+（-4）2=40；

•当04〃48时，|〃|+（-M=8,.W=4,即3=^-4,

,此时点。在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的正半轴上，坐标为（4,0）,另一端在y轴的负半

轴上，坐标为（0,-4）,

此时点。的运动路径长为代+（-4）2=4及；

综上分析可知，点。运动路径的长为40+40=8夜，故B正确.故选：B.

【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中的动点问题，根据题意找出点Q的运动轨迹是两条线段，是解

题的关键.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.（2021.山东潍坊.二模）为了打赢“脱贫攻坚”战役，国家设立了“中央财政脱贫专项资金”以保证对各省贫

困地区的持续投入.小莹同学通过登陆国家乡村振兴局网站，查询到了2020年中央财政脱贫专项资金对28

个省份的分配额度（亿元），并对数据进行整理和分析.图1是反映2020年中央财政脱贫专项资金分配额

度的频数分布直方图，且在20,,x<40这一组分配的额度分别是：25,28,28,30,37,37,38,39,39.图

2是反映2016-2020年中央财政脱贫专项资金对自治区A和自治区B的分配额度变化折线图.则下列说法中

正确的是（)

一自治区4

A频数（省份数量）

资金额度（亿元）

图1图2

A.2020年，中央财政脱贫专项资金对各省份的分配额度的中位数为37.5亿元

B.2020年，某省获得的分配额度为95亿元，该额度在28个省份中由高到低排第六名

C.2016-2020年，中央财政脱贫专项资金对自治区A的分配额度逐年增加

D.2016-2020年，中央财政脱贫专项资金对自治区A的分配额度比对自治区8的稳定

【答案】ABC

【分析】A选项，观察频数分布直方图，结合已知信息求出第14、第15位分配的额度，取平均值即可求得

中位数；B选项，根据频数分布直方图判断95亿元所排名次即可；C选项，观察自治区A的分配额度折线

图可判断；。选项，观察自治区4B的分配额度折线图可判断.

【详解】将这28个省、直辖市、自治区分配扶贫资金额度从小到大排列后处在中间位置的两个数的平均数

为亚|卫=37.5（亿元），因此中位数是37.5亿元，

故A说法正确；

由频数分布直方图可知，100,,x<120的有2个省，120,,xv140的有2个省，140,,x<160的有1个省，而

95亿元在80,,100且只有1个省，因此它位于第六名；

故B说法正确；

由统计图可知，2016-2020年，中央财政脱贫专项资金对自治区A的分配额度逐年增加，故C说法正确；

由两个自治区2016-2020年中央财政脱贫专项资金变化情况的折线统计图可直观得到，A自治区的比8自

治区的变化、波动要大，所以中央财政脱贫专项资金对自治区B的分配额度比对自治区A的稳定，故。说

法错误.

故答案为：ABC.

【点睛】本题考查中位数的求法、数据的频数分布直方图、数据的变化趋势等知识点，熟练掌握基本概念,

认真观察利用图中数据是解题关键.

10.（2022.山东山东.三模）如图，AB是圆。的直径，点G是圆上任意一点，点C是BG的中点，8,48,

垂足为点E,连接GA,GB,GC,GD,BC,GB与CD交于点F,则下列表述正确的是（）

A.ZABC=ZAGDB.

C.GF=DFD.BC//GD

【答案】ACD

【分析】根据垂径定理和圆周角定理可以判断A,根据圆周角定理可以判断B,根据圆周角定理、垂径定理

以及等角对等边，即可判断C,根据圆周角定理、垂径定理以及平行线的判定，即可判断D.

【详解】解：「AB是圆。的直径，CDJ.A8,

AC=AD>

：.ZABC=ZAGD,

故A正确；

•.•A8是圆。的直径，CDLAB,

：.ZAGB=ZBEC=90°,

,：Z.BCE=NBGDw2OBG,即NBCEHZABG,

也没有其他条件可以证得ABCE和4ABG的另外一组内角对应相等，

...不能证得△BCEs"BG,

故B不正确；

♦.•点C是BG的中点，

•*-GC=BC，

：.NGDC=ZBGC,

是圆O的直径，

:，BC=BD，

NBGC=NDGB,

，ZGDC=ZDGB,

：.GF=DF,

故C正确；

.点C是BG的中点，

,GC=BC，

是圆。的直径，CDLAB,

BC=BD，

GC=BD>

，NCBG=4BGD,

，BC//GD,

故D正确.

故选ACD.

【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定以及平行线的判定.

11.(2022山东潍坊•一模)若二次函数》=。小-26+。-3(〃是不为0的常数)的图象与x轴交于A、B两

点.则以下结论正确的有()

A.a>0

B.当x>-l时，y随x的增大而增大

C.无论。取任何不为0的数，该函数的图象必经过定点(1,-3)

D.若线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，则”的取值范围是g4；

【答案】ACD

【分析】求得顶点坐标，根据题意即可判断①正确；根据二次函数的性质即可判断②错误；二次函数

>=加-2如+。-3(.是不为0的常数)的顶点(1,-3),即可判断③错误；根据题意x=3时为0,x=4时y>0,

即可判断④正确.

【详解】解：•.•二次函数y=o?-2ar+“-3=a(x-l)2-3,

••・顶点为(1,-3),在x轴的下方，

•••函数的图象与X轴交于A、8两点，

抛物线开口向上，a>0,故①正确；

.•/>1时，>随x的增大而增大，故②错误；

由题意可知当。>0,二次函数y=a?_2ax+a-3(a是不为0的常数)的图象一定经过点(1,-3),故③正确；

•••线段A8上有且只有5个横坐标为整数的点，且对称轴为直线x=l,

.•.当x=3时，y<0,当x=4时，y>0,

J9a—6a+a-3”0

解得!<小，故④正确；故选：ACD.

34

【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，能够

理解题意，利用二次函数的性质解答是解题的关键.

12.（2022•山东・潍坊市寒亭区教学研究室二模）如图，正方形A3CD,点E在边AB上，且AE:EB=2:3,过

点A作。E的垂线，垂足为/,交BC于点F,交3。于点H,延长。C至G,使CG=5Z）C,连接G/,EH.下

列结论正确的是（）

A.AE=BFB.臬皿=S1M形BF’EC.EH1BDD.GI=DG

【答案】ABD

【分析】证明ABA尸父AADE,可判断选项A和选项B,设AE=2a,则£B=3“，正方形4BCO的边长为5a,

求得班仁小生区”,利用反证法判断选项C；利用相似三角形的性质以及三角函数求得lG=^-a,

即可判断选项D.

【详解】解：EB=2：3,

.♦.设AE=2a,则E8=3a,正方形488的边长为5“，

♦.•四边形ABC。是正方形，AILDE,

：.AD=AB,ZDAB=ZABF^ZAID=9O°,

：.ZBAF=900-ZDAI=ZADE,

LBAF=LADE,

：.BF=AE,故选项A正确；

:・SABAF=SAADE,

:・SABAF-SAAE1=SAADE-SAAEI,即SAADI=S四边形BFIE,故选项B正确；

・・•四边形A3。是正方形，边长为5m

:・BD=5g,BF//AD,

.BHBF2

•・加一茄一

・R口10&25^2

・・BH-----a，DHn=u--------a,

77

假设EHJ_8D,则ABHE是等腰直角三角形，

20

贝ijBE=OBH=1j~a丰3a,

・・・假设由_1_8。不成立，故选项C错误；

过点/作/MLAO于点M,过点/作/NLOC于点N,

・・•四边形A8CQ是正方形，

，NA0090。,

・・・四边形/MDN是矩形，

丁DE=y/AD2+AE2=病小

-AExAD=-DExAI,

22

10729

.A/=--------a,

29

"DI=-JAD2-AI2=25s&，

・♦/…A//M/fADDM

sinZADI==，cosN.ADI==

ADIDDEID

50125

・IM=——a,DM=——a,

2929

'CG=-DC,

4

-DG=^a

lN=DM=—a,

29

___nc

：.IG=ylNG2+IN2=—a,

4

.../G=OG.故选项D正确；故选：ABD.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形,

解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(2022•四川眉山)将一组数0,2,瓜,2万，…，4及，按下列方式进行排列：

夜，2,瓜,2及；

M,25E，4；

若2的位置记为(1,2),E的位置记为(2,3),则2近的位置记为.

【答案】(4,2)

【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得2b的位置即可；

【详解】数字可以化成：血，〃，底,78；M,712-7141屈;

.••规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，

，：2币=咽,28是第14个偶数,而14+4=3…2

.•.24的位置记为(4,2)故答案为：(4,2)

【点睛】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力.被开方数全部统一是关键.

14.(2022•浙江•松阳县教育局教研室二模)数学活动课上，小云和小王在讨论涂老师出示的一道代数式求

值问题：

题目：已知P+4+2r=1,/+/_8产+6_5=0,求代数式的一如一少的值.

小云：哈哈！两个方程有三个未知数，不能求具体字母的值.不过，好在两个方程以及所求值代数

式中P，q互换都不受影响

矍小王：嗯，消元思想，肯定要用；运用整体思想把关于p,q的对称式P+4,内等优先整体考虑，

运算应该会简便.

通过你的运算，代数式的一”-少的值为.

【答案】-2

【分析】运用整体思想，计算p+q,pg即可.

【详解】'：p+q+2r=\,

；・〃+4=1-2小

：.(p+q)2=(1-2r)2

/.p?+2pq+q2=l-4r+4r2(D

V/+/-84+6一5=0,

/.〃2+夕2=8r2-6r+5②

把②代入①得，8--6r+5+2pq=l-4r+4，

/.2Pq=-4+2r-4r2,

/.pq=-2r2+r-2

:.pq-qr-rp-(-2r2+r-2\—r(p+q)=-2产+r-2-r(l—2r)

=-2r2+r-2—r+2,=-2•

故答案是：-2.

【点睛】本题考查了整体思想的运用，熟练运用整体思想，完全平方公式是解题的关键.

a2-ab,a<b

15.(2022•四川成都・模拟预测)对于实数〃,b,定义运算“a*b=关于x的方程

b2-ab,a>b

(2x-l)*(x-l)=,"恰好有三个实数根，则，”的取值范围是

【答案】

4

【分析】根据新定义的运算，分两种情况得出两个关于X的一元二次方程，再由关于X的方程

(2x-l)*(x-l)="恰好有三个实数根，得到关于x的两个一元二次方程的根的情况，进而得出关于，"的一元

一次不等式组，确定切的取值范围.

【详解】解：由新定义的运算可得关于x的方程为：

(1)当2x-l”x-l时，即％,0,时，W(2x-1)2-(2x-l)(x=

即：2x2-x-m=0,(X,0)①，其根为：xJ土妤前是非正数,

(2)当2x-l>x-l时，即1>0,时，WU-l)2-(2x-l)(x-l)=/w,

即：X2-X+/M=0,*>0)②，其根为：x=生生亚都是正数，

2

如果关于N的方程(2/-1)*(%-1)=相恰好有三个实数根，那么方程①和方程②共有三个实数根，

因此，只有方程①有一个负根，而方程②有两个正根时符合题意，

1+8w..1

故有:

0<1—4加<1

解得，°功<!，

故答案为：0<nz<l.

【点睛】本题考查了新运算及利用一元二次方程根的情况求字母的取值范围，读懂题意是解题的关键.

16.（2022•福建•将乐县教师进修学校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，P,。是函数y=’（x>0）图像

X

上异于4（1,1）的点，直线PQ与直线y=X垂直，分别交X轴，y轴于点M,N.现给出以下结论:①"尸=NQ；

②NPAQ可能是直角：③MV-PQ2为定值；④△MON的面积可能为2.其中正确的是.（写出所有

正确结论的序号）

【答案】①③）'

【分析】①根据题意画出图象，作CQ_LOMPDLOM,设

N（0,a）,M（a,0）,根据反比例函数的性质可知，点Q与点尸

入

的坐标X、y恰好相反，设Q（加n）,P（〃，m）,表示出MP,NQ

即可得结论；②由4Q=AP,代入值判断即可；

@MN2-PQ2=/+〃2_（加_〃）2_（〃_根）2,根据〃=〃+机、

mn=l,即可得结论；④假设直线MN过A点时，计算出△MON/

的面积即可判断；

【详解】解：由题意，图如下，作CQ_LON,PDVOM,

①•..直线PQ与直线x垂直，

/.OM=ON,

设N（0,a）,A/（a,0）,

根据反比例函数的性质可知，点。与点P的坐标x、y恰好相反,

设；2）,P[n,m）

贝ijNQ=yjCN2+CQ2=^a-nf+m2

MP=\lDM2+PD2=>

/.MP=NQ

故①正确；

②若NPAQ是直角；

贝ljAQ=AP,

即^（m-1）-+（n-l）--《（“-I）"+（机―1）-

则根=",此时P、Q与4点重合，不成立，

故②错误；

③MN2-PQ2=a2+a2-（m-n^-（??-w）2,

\*a=n+m

MN，-PQ2=+（/«+〃y—（，〃一〃）~一（〃一〃7y=2（in+n+m-n）^m+n-m+ri）=?>nmmn=1

MN2-PQ2=S

故③正确；

④当直线例N过A点时，OA=#+『=&,则MN=2OA=2立

△A3的面积为：、&x2应=2,

2

根据题意，不可能过A点，

二/XMON的面积必然大于2；

故④错误；

故答案为：①③.

【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合应用、勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的

关键.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（2022•江西•模拟预测）（10分）（1）计算：（一1尸+酶+R-逐［+-1.57-而;

x2+2x+1x2—1

（2）先化简，再求值:x-2022"x-2022其中％=。（》60。.

【答案】（1）-石；（2）-2

【分析】（1）先每项化简，再加减算出最终结果即可；

（2）先因式分解，化除为乘，通分，化简；再带入数值计算即可.

【详解】（1）（-1尸+我+|2-石|+G|-1.57）°-而

=$+2+6-2+1-2石（3分）

（一1）

=-1+2+百-2+1-2百

=-V5;(5分)

x~+2,x+1x2—1

(2)D

x-2022'x-2022T+

(x+l)2x-20221+x-l

x-2022(x+l)(x-l)x-1

_X+lX

x-\x-l

=工（8分）

X-1

x=cos60=—,

2

=—!—=-2

，原式二1।.（10分）

2

【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数

幕和负整数指数累的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.

18.（2022•山东）（12分）2022年5月，卬市从甲、乙两校各抽取10名学生参加全市语文素养水平监测.

【学科测试】每名学生从3套不同的试卷中随机抽取1套作答，小亮、小莹都参加测试，请用树状图或列

表法求小亮、小莹作答相同试卷的概率.

样本学生语文测试成绩（满分100分）如下表:

样本学生成绩平均数方差中位数众数

甲校5066666678808182839474.6141.04a66

乙校6465697476767681828374.640.8476b

表中；b=.

请从平均数、方差、中位数、众数中选择合适的统计量，评判甲、乙两校样本学生的语文测试成绩.

【问卷调查】对样本学生每年阅读课外书的数量进行问卷调查，根据调查结果把样本学生分为3组，制成

频数直方图，如图所示.

A组：0<x<20；B组：20cxM40；C组：40<x<60.

请分别估算两校样本学生阅读课外书的平均数量（取各组上限与下限的中间值近似表示该组的平均数）.

【监测反思】

①请用【学科测试】和【问卷调查】中的数据，解释语文测试成绩与课外阅读量的相关性；

②若甲、乙两校学生都超过2000人，按照W市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养

水平可行吗？为什么？

【答案】学科测试：小亮、小莹作答相同试卷的概率为g;。=79,人=76；评判见解析；问卷调查：甲校

样本学生阅读课外书的平均数为32本，乙校样本学生阅读课外书的平均数量为30本；监测反思：①答案

见解析；②不可行，原因见解析

【分析】学科测试：用列表法求解小亮、小莹作答相同试卷的概率即可；根据中位数和众数的定义求。和〃

的值；根据平均数、方差、中位数、众数分别分析即可；

问卷调查：根据平均数的定义求解即可；

监测反思：①根据表格中的数据和频数分布直方图分析语文测试成绩与课外阅读量的相关性；

②统计调查要考虑总体的大小来确定样本容量的大小.

【详解】学科测试：设3套不用的试卷分别为1、2、3,列表如下：

123

1(1,2)(2,1)(3,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)

一共有9种情况，而满足题意的有三种情况,

.♦・小亮、小莹作答相同试卷的概率为（3分）

7R-4-R0

由表可得甲校的中位数。=一丁=79,乙校的众数。=76；

从平均数看量两校的成绩一样；从方差看乙校的成绩比较均衡；从中位数看甲校的成绩好于乙校；从众数

看乙校的成绩好于家校；（6分）

问卷调查：根据频数分布直方图可得，

甲校样本学生阅读课外书的平均数量为4xl°+l[°+5x50=32本,

乙校样本学生阅读课外书的平均数量为"1°+4：；°+3X50=30本;（8分）

监测反思：①从语文测试成绩来看：甲乙平均数一样大，乙校样本学生成绩比较稳定，甲校的中位数比乙

校高，但从众数来看乙校成绩要好一些；

从课外阅读量来看：虽然甲校学生阅读课外书的平均数较大，但整体来看，三个组的人数差别较大，没有

乙校的平稳；

综上来说，课外阅读量越大，语文成绩就会好一些，所以要尽可能的增加课外阅读量；

②甲、乙两校学生都超过2000人，不可以按照W市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文

素养水平，因为卬市的抽样方法是各校抽取了10人，样本容量较小，而甲乙两校的学生人数太多，评估出

来的数据不够精确，所以不能用这10个人的成绩来评估全校2000多人的成绩.（12分）

【点睛】本题考查了频数分布直方图和数据统计表，统计调查，以及列表法或画树状图法求概率，解题的

关键在于能结合频数分布直方图和数据统计表分析学生的成绩.

19.（2022•江苏徐州,一模）（12分）因为疫情，体育中考中考生进入考点需检测体温.防疫部门为了解学生

错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y（人）与时间x（分

钟）的变化情况，数据如下：

时间X（分钟）01234567899Vxs15

人数y（人）0170320450560650720770800810810

（1）研究表中数据发现9分钟内考生进入考点的累计人数是时间的二次函数，请求出9分钟内y与x之间的

函数关系式.

（2）如果考生一进考点就开始排队测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，求排队人数

最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？

（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？

【答案】（l）y=T0/+i80x

（2）排队人数最多时有490人,全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；

（3）2

【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；

（2）设第x分钟时的排队人数为w人，由二次函数的性质和一次函数的性质可求当x=7时，w的最大值=

490,当9〈烂15时，210<w<450,可得排队人数最多时是490人，由全部考生都完成体温检测时间x每分

钟检测的人数=总人数，可求解；

（3）设从一开始就应该增加m个检测点，由“在12分钟内让全部考生完成体温检测”，列出不等式，可求

解.（1）根据表格中数据可知，当x=0时，y=0,

二次函数的关系式可设为：y^a^+hx,

将（1,170卜（3,450）代入，得

a+b=H0

9«+3。=450

a=-\0

解得:

ft=180

二9分钟内y与x之间的函数关系式y=T0x2+180x（04x49）；（3分）

（2）设第x分钟时的排队人数为w人，

^=810（9<x<15）

-10X2+140X(0<X<9)

由题意可得:w=y-40x=

810-40x(9<x<15)

①当0W烂9时，w=T0f+140x=T0（x-7）2+490,

...当x=7时，卬的最大值=490,

②当9〈烂15时，VV=810-40A-,w随x的增大而减小，

.,.210<w<450,

.••排队人数最多时是490人，

要全部考生都完成体温检测，根据题意得：810-40x=0,

解得：x=20.25,

答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；（8分）

⑶

设从一开始就应该增加机个检测点，由题意得：12x20（机+2）次10,

解得小之称，

O

•••根是整数，

•••加之工的最小整数是2,

O

.♦•一开始就应该至少增加2个检测点.（12分）

【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，一次函数的性质，一元一次不等式的应用，理解

题意，求出y与x之间的函数关系式是本题的关键.

20.（2022•江苏扬州•二模）（12分）综合运用所学知识，解决以下问题：

（1）如图，A8是半圆。的直径，C为半圆弧A8上一个动点，CDJ.AB,垂足为。，^AD=a,BD=h.

①通过思考发现结论：CD2=；（直接用a,b简洁表示）

②利用①得到的结论，请结合图形说明：a+b>2^-.

C

（2）小明从中获得启发，解决了一个问题:

己知：如图，矩形A8CD.

求作：正方形BEFG,使得正方形BEFG的面积与矩形ABCO的面积相等.（保留作图痕迹，简要写出作图步

骤）

DC

AB

（3汝n图，小林想利用一段长为15m的围墙MN围成面积为48m?的矩形养鸡场，矩形的一边A£>在匕

且不超过MN,栅栏AB、EF、8都与栅栏BC垂直，8c上有两扇宽1m的小门，则所需栅栏的最小长度

L-m,此时AB=m.

〃///////////N

AED

BFC

【答案】⑴①必，②见解析：

(2)作图见解析；

(3)22,4

【分析】(1)①如图，连接AC、BC,利用AB是半圆。的直径，于点。，求证△ACOS^CB。,

然后利用相似三角形对应边成比例即可求得；②连接OC,根据OC之CD,即可求得结论；

(2)根据射影定理和(1)中的结论即可作出图形；

(3)设AB=xm,根据“围成面积为48m2的矩形养鸡场”列出方程，/

48然后根据”+8士2而，即可求得最小长//\

整理可得：£=—+3x-2,

X

度L以及此时AB的长度.

ODB

(1)

解：①如图，连接AC、BC,

TAB是半圆。的直径，

・・・ZACB=90°,

ZACD+ZBCD=90°,

VCD±AB,

J/CBD+/BCD=90°,

:.ZACD=4CBD,

：.AACDs^CBD,

C

.ADCD

^~CD~~BD"

aCD

即：——=——,

CDh

2A

CD=ab,ODB

故答案是：ab；

②如图，连接0C

2

由（1）得：CD=ab9

••CD—y]Clh9

•/AD=a,BD=b.

•\AB=a+h1

•・・C为半圆弧AB上一个动点，CD1AB,

:.OC>CD,

即：*mD5一一…云j

2；____z_________________c、、、

••a-\-b>2y[abx(4^)//\\

/，、、

9f'V

⑵::\\

fi1i

解：如图，

AOBHG

作法：①延长AB至点H,使BH=BC；

②以AH为直径，以A”的中点O为圆心，作半圆O；

③延长BC交半圆。于点E；

④以点3为圆心，以BE长为半径画弧交AB延长线于点G,以点G为圆心，以G8长为半径画弧交8E的

垂线所于点F；

则正方形8EFG就是所要求作的图形；(8分)

(3)

解：设A8=xm,

由题意得：x.(£-3x+2)=48,

48

整理得：L=-+3x-2,

X

八c

.・.—48+3x2:2

x

A—+3x>24

X

:.L>22,

・・・所需栅栏的最小长度L=22m,

此时，一=3x,

x

解得：x=4,x=-4（舍去），

.".AB=4m.

故答案是：22,4.（12分）

【点睛】本题主要考查了复杂作图、直径所对的圆周角是90。、相似三角形的判定与性质等，灵活应用前面

所得到的结论求解是解题的关键.

21.（2022•江西）（12分）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的

直角三角板/^/（/尸=90。,/尸=60。）的一个顶点放在正方形中心。处，并绕点。逆时针旋转，探究直角三

角板PE尸与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）.

图一图二图三备用图

（1）操作发现：如图1,若将三角板的顶点P放在点。处，在旋转过程中，当。尸与。8重合时,重叠部分的

面积为;当。尸与BC垂直时，重叠部分的面积为；一般地，若正方形面积为S,在旋

转过程中，重叠部分的面积与S的关系为