用法向量求二面角的大小

关于用法向量求二面角的大小第1页，共17页，2023年，2月20日，星期五两半平面的法向量与二面角有怎样的关系？根据上图，分小组进行讨论---“两法向量的夹角与二面角的关系.”第2页，共17页，2023年，2月20日，星期五两法向量的夹角与二面角的关系θ=π-φ互补θ=φ相等第3页，共17页，2023年，2月20日，星期五如何判别互补还是相等？第4页，共17页，2023年，2月20日，星期五根据教材109页例4改编如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证:PA||平面EDB;(2)求证:PB⊥平面EFD;(3)(改)求二面角F-BD-E的余弦值;解:建立如图空间直角坐标系，A(2,0,0),C(0,2,0)B(2,2,0),E(0,1,1)易得平面BDF的法向量设平面BDE的法向量根据观察，二面角为锐二面角，

故二面角F-BD-E的余弦值为.第5页，共17页，2023年，2月20日，星期五判断互补还是相等的简单的方法是：观察二面角的大小来判定.第6页，共17页，2023年，2月20日，星期五练习题1如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A=4,AB=2,点E在CC1上，且C1E=3EC.求二面角A1-DE-B的余弦值;第7页，共17页，2023年，2月20日，星期五练习题1如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A=2AB=4,点E在CC1上，且C1E=3EC.求二面角A1-DE-B的余弦值;解:建立如图空间直角坐标系，D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4)平面BDE的法向量平面A1DE的法向量根据观察，二面角为………。

第8页，共17页，2023年，2月20日，星期五齐相国老师刊登在《数学通讯》2009年第4期的《法向量求二面角时法向量方向的判定方法》。李峰老师发表在《数学通讯》2010年第9期的《对“法向量求二面角时法向量方向的判定方法”一文的改进》第9页，共17页，2023年，2月20日，星期五规定:如图,分别在半平面α，β内各取一点M,N(不在棱上取),我们称(与法向量不共线)为内部向量。内部向量MN判定法第10页，共17页，2023年，2月20日，星期五异号互补同号相等内部向量MN判定法第11页，共17页，2023年，2月20日，星期五练习题1如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A=2AB=4,点E在CC1上，且C1E=3EC.求二面角A1-DE-B的余弦值;解:建立如图空间直角坐标系，D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4)求得平面BDE的法向量，平面A1DE的法向量取内部向量

故二面角A1-DE-B的余弦值为.第12页，共17页，2023年，2月20日，星期五1、建立空间直角坐标系，写出点的坐标。用法向量求二面角的大小的一般步骤:2、求出两半平面的法向量，并求出其夹角。3、用观察法，确定二面角的大小。或取内部向量（同号相等，异号互补），判定二面角的大小。4、下结论。第13页，共17页，2023年，2月20日，星期五练习题2如图，底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中,AD||BC,∠ABC=900,SA⊥面ABCD,SA=AD=1,AB=BC=2,求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值;第14页，共17页，2023年，2月20日，星期五练习题2如图，底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中,AD||BC,∠ABC=900,SA⊥面ABCD,SA=AD=1,AB=BC=2,求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值;解:建立如图空间直角坐标系，A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),S(0,0,1)易知平面SAB的法向量，求出平面SDC的法向量取内部向量

故二面角的余弦值为.第15页，共17页，2023年，2月20日，星期五课堂小结1、弄清楚两法向量的夹角与二面角的关系。2、利用内部向量判定二面角的大小。5、分析、归纳问题的能力。4