人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第三章第2节第一课时　利用导数研究函数的单调性

第2节导数在研究函数中的应用

睡课程标准要求

1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用

导数研究函数的单调性;对于多项式函数,能求不超过三次的多项式

函数的单调区间.

2.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;

能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三

次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)

值的关系.

①核双材夯实四基

必备知识•课前回顾

IA知识梳理

i.函数的单调性与导数的关系

一般地，函数f(X)的单调性与导函数f'(X)的正负之间具有如下的

关系：

(1)在某个区间(a,b)上,如果f'(X某0,那么函数y=f(X)在区间(a,b)

上单调递增.

⑵在某个区间(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)

上单调递减.

■释疑

函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f'(x)NO,"f'(x)>0在(a,b)

上成立”是“f(x)在(a,b)上单调递增”的充分不必要条件.如f(x”F

在定义域上是增函数，但是其导数f'(x)=3x2-(f

2.函数的极值与导数的关系

(1)极值的定义：函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附

近其他点的函数值都小,f'(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f'

(x)<0,右侧伊(x)>0.类似地,函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比

它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0,而且在点x=b附近的

左侧伊(x)>0,右侧f'(x)<0.

我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小

值;b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极

小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.

■释疑

极值点满足的两个条件:极值点处的导数等于零,并且两侧导数的符

号相反.

(2)求极值的方法

一般地,可按如下方法求函数y=f(x)的极值：

解方程f&)=0,当广区)=0时:

①如果在x。附近的左侧『(x)>0,右侧#(x)<0,那么f(x0)是极大

值；

②如果在x。附近的左侧伊(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x。)是极小

值.

■释疑

对于可导函数f(x),f'(x0)=0是函数f(x)在x=Xo处有极值的必要不

充分条件.如f(x)=x?在定义域上是增函数,其导数『(0)=0,但是

x=0却不是其极值点.

3.函数的最值与导数

一般地,求函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值与最小值的步骤如下:

(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;

⑵将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中

最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

■释疑

(1)若函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点，则相应的极值点一

定是函数的最值点.

⑵极值有可能是最值,但最值只要不在区间端点处取得,其必定是极

三对点自测-

1.函数f(x)的定义域为R,导函数f'(x)的图象如图所示,则函数

f(x)(C)

A.无极大值点、有四个极小值点

B.有三个极大值点、一个极小值点

C.有两个极大值点、两个极小值点

D.有四个极大值点、无极小值点

解析:导函数的图象与x轴的四个交点都是极值点,第一个与第三个

是极大值点，第二个与第四个是极小值点.故选C.

2.函数g(0)=cos9+9sin。在区间(0,1)上(A)

A.单调递增B.单调递减

C.有增有减D.无法判定

解析：当0<6<1时，g'(9)=-sin9+sin0+9cos9=9cos9>0,

所以函数g(8)在区间(0,3上单调递增.故选A.

3.函数f(x)=Lnx-x在区间(0,e]上的最大值为(B)

A.l-eB.-1C.-eD.0

解析：因为f'(x)」T二A当x£(0,1)时，f'(x)>0;当x£(l,e]

XX

时,f'(x)<0.所以当x=l时,f(x)取得最大值In.故选B.

4.函数f(x)=(5-x)e*的单调递减区间是(D)

A.(-8,4)B.(0,4)

C.(1,5)D.(4,+~)

解析：由f'(x)=(4-x)eyo,得x>4.故选D.

5.已知函数f(x)=x：!+ax2+4x+8在R上单调递增，则实数a的取值范围

是

解析：f'(x)=3x?+2ax+4,由题意可知f'(x)》0恒成立，因此△

=(2a)2-4X3X440,

解得

答案：[-28,2V3]

第一课时利用导数研究函数的单调性

类今考点您实四案

关键能力，课堂突破

慢考点一不含参数的函数的单调性

1.函数f(x)=3+xlnx的单调递减区间是(B)

A.(-,e)B.(0,-)

ee

C.(-°°,-)D.+°°)

ee

解析：因为函数f(x)的定义域为(0,+8)，且#(x)=lnx+x•-=ln

X

x+1,令f'(x)<0,解得0<x<->故f(x)的单调递减区间是(0J).故选

ee

B.

2.(多选题)下列函数中，在(0,+8)上为增函数的是(AB)

A.f(x)=x~--B.f(x)=xe'

X

C.f(x)=x'-xD.f(x)=~x+lnx

解析:对于A,f'(x)=2x+^>0在(0,+8)恒成立，因此函数是增函数，

故A正确;对于B,函数f(x)=xe'的导数f'(x)=ex(x+l),当xG(0,+

8)时,尹(x)>0,所以函数f(x)=xe'在(0,+8)上为增函数，故B正确;

对于C,*(x)=3x2-l,令广(x)>0,得x>f或xG/,所以函数

f(x)=x3-x在(-8,一/)和(9,+8)上单调递增，故C错误;对于D,f'

(x)=T+工-曰，令f'(x)>0,得0<x<l,当x>l时,f'(x)<0,所以函数

XX

f(x)=-x+lnx在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+8)上单调递减，

故D错误.故选AB.

3.求函数f(x)=4的单调区间.

X+1

解：函数£&)=二的导数为f'(x)=/U(xWT),

X+1(x+1)

令f'(x)=0,即炉等=0,解得x=-4或2.

当x£(-8,一4)时，f'(x)>0,f(x)单调递增;

当xG(-4,2),且x关T时,f(x)<0,f(x)单调递减；

当x£(2,+8)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.

所以函数f(x)的单调递增区间为(-8,-4),(2,+8)；单调递减区间为

(-4,-1),(-1,2).

一题后悟通

求函数的单调区间的方法：

(1)确定函数y=f(x)的定义域；

⑵求导数*(x);

(3)解不等式/(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；

(4)解不等式*(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.

注意:若一个函数有多个单调性相同的单调区间，各个单调区间之间

不能用“U”与“或”，只能用“，”与“和”隔开.

戚考点二含参数的函数的单调性

CUD函数f(x)=x2-alnx.讨论函数f(x)的单调性.

解:f(x)的定义域为(0,+8),f，(x)=2x-也其*.

XX

当aWO时,f'(x)20,所以函数f(x)在(0,+8)上单调递增;

当a〉0时，令f'(x)>0,得所以函数f(x)在(亨,+8)上单调递

增；

令f'(x)<0,得0〈x〈字,所以函数f(x)在(0,亨)上单调递减.

综上，当aWO时，函数f(x)在(0,+8)上单调递增；

当a>0时，函数f(x)在(亨,+8)上单调递增,在(0,吟上单调递减.

[典例迁移1]将本例中的函数解析式变为：函数f(x)=x2-(a+2)x+aln

x,其中aGR.求函数f(x)的单调性.

解：函数f(x)的定义域为(0,+8),且f，()=2x-(a+2)+2=(2%-a)『

xXX

令f'(x)=0,得Xi=l,X2=].

①当aWO时,]W0,由f'&)>0,得*>1;

由伊(x)<0,得0<x<l.

则函数f(x)的单调递增区间为(1,+8),单调递减区间为(0,1).

②当0<|<1,即0<a<2时，由f'(x)>0,得(Kx$或x>l;

由f'(x)<0,得£x〈l.

则函数f(x)的单调递增区间为(05),(1,+8),

函数f(x)的单调递减区间为(pl).

③当畀，即a=2时,f'(x)20恒成立,则函数f(x)的单调递增区间为

(0,+8).

④当|>1,即a>2时，由伊(x)>0,得0<x<l或x>];

由『(x)<0,得

则函数f(x)的单调递增区间为(0,1),(p+8),

函数f(x)的单调递减区间为(1,,.

综上所述，当aWO时一，函数f(x)在(1,+8)上单调递增,在(0,1)上单

调递减；

当0<a<2时-，函数f(x)在(0,学和(1,+8)上单调递增,在§1)上单调

递减；

当a=2时，，函数f(x)在(0,+8)上单调递增；

当a>2时-，函数f(x)在(0,1)和(p+8)上单调递增，在(1,泉上单调递

减.

[典例迁移2]将本例中的函数解析式变为:函数f(x)=ex(e-a)-a2x,

其中参数aWO.讨论晨x)的单调性.

解：函数f(x)的定义域为(-8,+8),且aWO.

f(x)=2e2X-aex-a2=(2ex+a)(es-a).

①若a=0,则f(x)=e2*在(-8,+8)上单调递增.

②若a<0,则由伊(x)=0,得x=ln(-]).

当x£(-8,in(-]))时，伊(x)<0;当x£(In(-泉，+8)时,f'(x)>0.

故f(x)在区间(-8,巾(予)上单调递减,在区间(In(-泉，+8)上单调

递增.

综上所述,当a=0时-，函数f(x)在(-8,+8)上单调递增；

当a<0时一，函数f(x)在(-8,«(-]))上单调递减,在(ln(-]),+°°)±

单调递增.

[典例迁移3]将本例中的函数解析式变为：函数g(x)=ln

x-ax2+(a-2)x,讨论g(x)的单调性.

解：函数g(x)的定义域为(0,+8),g'

(x)=--2ax+(a-2)=-(ax+1)(2^1).

XX

①若a20,则当x£(0,泉时,g'(x)>0,所以函数g(x)在(0,1)上单调

递增；

当x€(1,+8)时,g'(x)<0,所以函数g(x)在§+8)上单调递减.

②若a<0,g'(x)=-a(x+，2x-l)(x>0).

X

若二号即当a<-2时，由g'(x)>0可得0<x〈二或xA即函数g(x)在

a2a2

(0,」)和G，+8)上单调递增，由g，(x)<0可得即函数g(x)

a2a2

在(二，今上单调递减；

当a=-2时,g'(x)20恒成立,所以函数晨x)在(0,+8)上单调递增；

若一呢,即当-2<a<0时，易得函数g(x)在(0,今和(二,+8)上单调递增,

a22a

在(；,二)上单调递减.

综上可知，当a20时，函数g(x)在(0,1)上单调递增,在专+8)上单

调递减；

当a<-2时-，函数晨x)在(0,和(；,+8)上单调递增,在(二,1)上单调

a2a2

递减；

当a=-2时，函数g(x)在(0,+8)上单调递增;

当-2<a<0时，函数g（x）在（0,；）和（二,+8）上单调递增,在G，」）上单

2a2a

调递减.

1.划分函数的单调区间时,不但要在函数定义域内讨论,而且还要确

定导数为0的点和函数的间断点.

2.研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行

分类讨论.分类讨论主要是讨论参数的不同取值求出单调性,主要讨

论点：

⑴最高次项系数是否为0；

⑵导函数是否有极值点；

⑶导函数两零点的大小关系；

（4）导函数零点与定义域的关系（即导函数零点与定义域端点的关系）

等.

易错警示：（1）若函数的导数中自变量的最高次数含参数,需要考虑参

数的正负对函数单调性的影响.

⑵若导函数的解析式的主要部分是一个二次多项式或者可转化为二

次多项式且不能够因式分解,则需要考虑二次多项式是否存在零点，

这里涉及对判别式△W0和A>0分类讨论.

峻考点三导数与函数单调性关系的应用

n角度一利用导数研究导函数图象

CSFD将y=f（x^Dy=f'（x）的图象画在同一个直角坐标系中，正确的

是（）

解析:对于A选项，由函数丫=『(x)的图象可知，伊(0)=0,但函数

y=f(x)在x=0处的切线斜率不存在,不满足题意;对于B选项，由函数

y=f/(x)的图象可知，函数y=f(x)存在增区间，但B选项的图中，函数

y=f(x)为减函数,不满足题意；

对于C选项，由函数y=f'(x)的图象可知，函数y=f(x)在R上为增函

数，满足题意;对于D选项，由函数y=f'(x)的图象可知，函数y=f(x)

有两个单调区间，但D选项的图中，函数y=f(x)有三个单调区间，不满

足题意.故选C.

一解题策略I

函数图象与其导函数图象的关系：导函数f'(x)图象在x轴上方时对

应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象上升部分对应的区间(递增

区间)，导函数f'(x)图象在x轴下方时对应的自变量的取值区间为

原函数f(x)图象下降部分对应的区间(递减区间).

口角度二利用导数构造函数解不等式

(SO已知偶函数f(x)在R上存在导函数(x),当x>0时,但>-『

X

(X),且f(2)=1,则不等式(x2-x)f(x2-x)>2的解集为()

A.-2)U(1,+8)

B.(2,+8)

C.(-°°,-1)U⑵+8)

D.(-1,2)

解析:令g(x)=xf(x),

由于f(x)是偶函数，

贝！Jg(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x),

所以g(x)是奇函数.

当x>0时，上〉-f(x),

X

即/•(x)+xf'(x)’0

X

所以g'(x)=f(x)+xf'(x)>O,g(x)在(0,+8)上单调递增,

所以g(x)在R上单调递增.

因为f(2)=1,

所以g(2)=2f(2)=2.

不等式62-x)f(x2-x)>2可化为

g(x2-x)>g(2),

所以X2-X>2,

解得x>2或x〈T.

综上,x£(-8,-1)u(2,+8).

故选C.

一懈题策略I

1.根据已知条件中导数的符号比较大小,其关键在于利用题目条件构

造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性,

进而根据单调性比较大小.

2.根据原函数与导函数的关系构造不等式的方法：

⑴若已知f'(x)+f(x)的符号,常构造函数g(x)=e*f(x);而涉及f'

(x)+nf(x)的符号，则构造函数g(x)=enxf(x);

⑵若已知f'(x)-f(x)的符号，则构造函数g(x)=鸟,而涉及f'

ex

(x)-nf(x)的符号则常构造函数g(x)=/；

⑶对于xf'(x)+nf(x)>0型，构造F(x)=xnf(x),则F'(x)-xn'[xfz

(x)+nf(x)](注意对的符号进行讨论)，特别地,当n=l时,xf

(x)+f(x)>0,构造F(x)=xf(x),则F'(x)=xf'(x)+f(x)>0;

⑷对于xf'(x)-nf(x)>O(x关0)型,构造F(x)二片,则F'

xn

(x)=J篝但(注意对的符号进行讨论)，特别地，当n=l时,x*

(x)-f(x)>0,构造F(x)=3,贝Fz(x)/_?凶>0.

口角度三利用导数比较函数值的大小

®E3)已知函数f(x)=/-2x+e'-W其中e是自然对数的底数.若

f(a-l)+f(2a2)W0,则实数a的取值范围是.

解析：由f(x)=x：-2x+ex-^,

得f(-x)=-x3+2x+^：-ex=-f(x),

所以f(x)是R上的奇函数.

又伊(x)=3x2-2+ex+-^3x-2+2ex•二=3x?20,当且仅当x=0时,取

ex

等号,

所以f(x)在其定义域内单调递增.

因为f(a-1)+f(2a2)WO,所以f(a-1)W-f(2a2)=f(-2a2).

所以a-代-2a；解得TWaW*故实数a的取值范围是[T,9

答案：

解题策略I

根据函数解析式或函数特征研究与函数值大小有关的问题，需要先结

合导数的工具性作用确定函数的单调区间后研究函数值的大小.

摘度四利用函数单调性求取值范围

(例2-4(1)已知函数f(x)=，2_alnx+x在[1,+8)上单调递增，则实数

a的取值范围是()

A.(-co,0]B.[0,1]

C.(-8,2]D.(-8,2)

⑵若函数f(x)=e'+ax$2存在单调递减区间，则实数a的取值范围是

()

A.(-1,+°°)B.(0,+°°)

C.(-°°,-1)D.(-8,0)

(3)若函数f(x)=x2-|lnx+1在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内

不是单调函数,则实数k的取值范围是()

A.[1,+8)B.[1,|)

C.6,|)D.号2)

解析：(1)『(x)=x*+l=^T,

XX

由于函数f(x)在[1,+8)上单调递增，则x'x-a》。在[1,+8)上恒成

立，

即aWx?+x在［1,+°°)上恒成立.

令g(x)=x?+x=(x+,函数的对称轴为x=~|,当x21时，函数是增函

数,所以晨x)22,故aW2.故选C.

⑵函数f(x)的定义域是R,则f'(x)=e*+a-x.

x

若f(x)存在单调递减区间，则a<(x-e)max.

令g(x)=x-e\则g'(x)=l-e\

令g'(x)>0,解得x<0,令g'(x)<0,解得x>0,

故g(x)在(-8,o)上单调递增,在(0,+oo)上单调递减，

故g(x)皿=g(0)=T,故a<-l.故选C.

⑶函数f(x)的定义域为(0,+8),所以k-1^0,即心1,

f7(x)=2x-；=与2令f，(x)=0,得x=；或x=-；(不在定义域内舍去)，

2x2x22

由于函数在区间(kT,k+1)内不是单调函数,所以之£(k-1,k+1),

即k-l<|<k+l,解得gk〈|.综上得1Wk<|.故选B.

解题策略I

1.已知函数单调性求参数范围

(1)已知可导函数f(x)在区间D上单调递增,则在区间D上*(x)20

恒成立；

(2)已知可导函数f(x)在区间D上单调递减,则在区间D上#(x)W0

恒成立；

⑶已知可导函数f(x)在区间D上存在增区间，则f'(x)>0在区间D

上有解；

(4)已知可导函数f(x)在区间D上存在减区间，则*(x)<0在区间D

上有解.

2.已知函数在所给区间上不单调，则转化为导函数在区间上存在变号

零点,通常利用分离变量法求解参变量的范围.

[针对训练]

1.函数y=f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示,则函数y=f（x）的

图象可能是（）

解析:设导函数y=f'（x）与x轴交点的横坐标从左往右依次为

Xi,X2,X3,由导函数y=f,（X）的图象易得当XG（-8,Xi）U（X2,X3）时,f'

（x）<0;当x£（X1,X2）u（X3,+8）时，尹（X）>0（其中X1<O<X2<X3）.所以

函数f（X）在（-8,Xl）,（X2,X3）上单调递减,在（Xl,X2）,（X3,+8）上单调

递增,观察各选项，只有D项符合.故选D.

2.已知函数f（x）=O+x的定义域为[-5,5],则f（2x-l）+f（x）>0的解集

为（）

A.4]B.[2,4]

C.（|,3]D.[2,3]

解析：f（-X）=-x'-x=-f（X）,因此函数f（X）是奇函数.

所以f(2x-l)+f(x)>0,

即f(2x-l)>-f(x)=f(-x).

又因为f'(X)=3X2+1>0,所以又x)=x、x在［-5,5］上单调递增,

，-5<2x_l<5,

所以,-5工X45,解得]<xW3,

2x~l>-x,

所以原不等式的解集为与3].故选C.

3.设函数f(x)是定义在R上的函数,其导函数为f'(x),若f(x)+f/

(x)>l,f(0)=2020,则不等式eXf(x)>e'+2019的解集为()

A.(-8,0)

B.(-8,0)U(2019,+8)

C.(2019,+8)

D.(0,+8)

解析:设g(x)=e'f(x)-ex,

则g'(x)=e*f(x)+ef(x)-ex=ex[f(x)+fz(x)-1].

因为f(x)+f,(x)X,eX〉0,

所以g'(x)=ex[f(x)+f,(x)T]〉0,

所以g(x)是R上的增函数.

又g(0)=f(0)-l=2019,

所以g(x)>2019的解集为(0,+8),

即不等式exf(x)>ex+2019的解集为(0,+8).故选D.

4.已知函数f6)=$?一]X2+2X.若函数f(x)在区间(-2,-1)内存在单调

递减区间，则实数a的取值范围是,若函数f(x)在区间

(-2,-1)内为减函数,则实数a的取值范围是.

解析：函数f(x)与竹x?+2x的导函数为f'(x)=x2-ax+2,依题意,存在

x£(-2,T),使不等式f'(x)=x"ax+2<0成立，

即当x£(-2,-1)时，a<(x+与皿=-2近，

X

当且仅当x=->即x=-V2时,等号成立.所以满足要求的a的取值范围

X

是(-8,-2a).

因为函数f(x)在区间在(-2,-1)内为减函数，

所以x2-ax+2W0在(-2,-1)内恒成立，

所以(一2)三°，即+2c2*解得a、.

(f(-1)<0,11+。+2工0,

即实数a的取值范围是(-8,-3].

答案：(-8,—2&)(—,-3]

扈备选例题

CSD设函数f(x)=]2—91nx在区间[a-l,a+l]上单调递减,则实数a

的取值范围是()

A.(1,2]B.(1,3)C.(1,2)D.(1,3]

解析：函数f(x)的定义域为(0,+8),广(x)=x-2*j之

XX

当x£(0,3)时,f'(x)<0,则f(x)单调递减;

当x£(3,+8)时,*(x)〉0,则f(x)单调递增.

又函数f(x)在区间[aT,a+1]上单调递减,所以—二:\解得l<a

la+1<3,

W2.故选A.

CW若函数f(x)=e*Tnx-mx在区间(l,+8)上单调递增，则实数m

的取值范围是()

A.(-°°,e-1)B.(-°°,e-1]

C.(-8,e+1)D.(-°°,e+1]

解析：f'(x)=ex---m,

X

因为函数f(x)在(1,+8)上单调递增，即伊(X)e0在(1,+8)上恒成

立，

即mWeT在(1,+8)上恒成立.

X

设g(x)=ex--,xG(1,+8),则g'(x)=ex+-4>0,所以函数g(x)在(1,+

8)上单调递增,所以mWg(l)=eT,即实数m的取值范围是(-8,e-l].

故选B.

例3已知函数f(x)=xex-e(lnx+x),求f(x)的单调区间.

解：函数f(x)的定义域为(0,+8),

f/(X)_(1+%)

x

令g(x)=xe",贝g'(x)=ex(x+1),

当x£(0,+8)时,g'(x)>0,所以g(x)在(0,+8)上单调递增,又

g(D=e,

所以当0<xG时,f'(x)<0,

当x>l时，f'(x)>0,

所以f(x)在(0,1)上为减函数;在(1,+8)上为增函数.

即f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+8).

%

CW已知函数f(x)=^-alnX,其中a>0,x>0,e是自然对数的底数.

X

讨论f(x)的单调性.

解:f'

(x)=上穿-巴上铲，芸[(x-l)eX+a-ax]J[(xT)(eM].

①当CKaWl时,ex>a,当x£(0,1)时,f'(x)<0;当x£(1,+°°)时,f'

(x)>0.

所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增.

②当l<a<e时，令ex=a,得x=lna£(0,1),

由f'(x)<0得Ina<x〈l,由f'(x)>0得0<x<lna或x>l,

所以f(x)在(0,lna),(1,+8)上单调递增，在(%a,1)上单调递减.

③当a=e时,令ex=a,得x=lna=l,所以f'(x)NO,故f(x)在(0,+°°)

上单调递增.

④当a>e时，令e*=a，得x=lnaG(1,+°°),

由f'(x)<0得l〈x〈lna,由f'(x)>0得0〈x〈l或x>lna,

所以f(x)在(0,1),(Ina,+8)上单调递增，在(l,lna)上单调递减.

综上，当0<aW1时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增；

当l〈a〈e时，，f(x)在(0,Ina),(1,+8)上单调递增,在(Ina,1)上单调

递减；

当a=e时-，f(x)在(0,+8)上单调递增；

当a>e时,f(x)在(0,1),(Ina,+°°)上单调递增,在(1,Ina)上单调递

减.

课时作业灵活g、笈方致提触

酸选题明细表______________________________________________________________

知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练

导数与函数的单调

3,4,6,7,91216

性关系的理解

利用导数研究函数

1,214,1517

的单调区间

利用导数与函数综

5,8,10,1113

合应用

A级基础巩固练

1.(2021•江苏常熟高三抽测)函数f(x)=2x2-lnx的单调递减区间为

(D)

A.(-2,2)B.(0,2)

a号,》D.(0,1)

解析：函数f(x)的定义域是(0,+8),f'(x)=4x--=竺二，由

XX

4%2-1

丁V°，可得0<x4所以此函数的单调递减区间是(0,；).故选D.

(%>0,22

2.函数f(x)铲?在(B)

1+X2

A.(-8,+8)内是增函数

B.(-1,1)内是增函数,在其余区间内是减函数

C.(-8,+8)内是减函数

D.(-1,1)内是减函数,在其余区间内是增函数

解析:f(x)的定义域为R,*6)=户芸,

(1+X2)

当f'(x)>0时,解得-"x〈l,故f(x)的单调递增区间为(-1,1);

当f'(x)<0时,解得x<-l或x>l,故f(x)的单调递减区间为(-8,

-1),(1,+°°).故选B.

3.(2021•浙江高三联考)已知函数f'(x)的图象如图所示，则y=f(x)

的图象可能是(B)

y

解析：由函数y=f'(x)的图象知f(x)在(1,2)上是增函数,其余部分

递减.故选B.

4.已知f(x)在R上是可导函数，f(x)的图象如图所示，则不等式

(x2-2x-3)f/(x)>0的解集为(D)

A.(-8,-2)U(1,+8)

B.(-8,一2)U(1,2)

C.(-8,-1)u(-1,0)U(2,+8)

D.u(-1,1)U(3,+8)

解析:原不等式等价于优式°

2-2%-3<0,

结合f(x)的图象可得,

,(%)<0,

<x>3或％<-1,或｛::

解得或x>3或.故选D.

X<-1或%>1

5.已知定义在R上的函数f(x)=%x3+x2+ax+l有三个不同的单调区间，

则实数a的取值范围是(D)

A.(-°°,-1)U(1,+8)

B.[-1,0)U(0,1]

C.(-1,1)

D.(-1,0)U(0,1)

解析：f'(x)=ax2+2x+a,

若函数f(x)=gax：'+x2+ax+l有三个不同的单调区间，则f'(x)=ax?+2x+

a=0有2个不相等的零点，则有△=4-4a2>0,且a#0,

解得且aWO,即实数a的取值范围是(-1,0)U(0,1).故选D.

6.已知函数f(x)三x'+(2-a)x2+x-4在(0,2]上为增函数,则a的取值范

围是(B)

A.(-°°,4]B.(-°°,3]C.(4,+8)D.(-8,3)

解析：『(x)=x?+2(2-a)x+l,由题意可知x+2(2-a)x+1^0在区间

(0,2]内恒成立，即2(a-2)Wx+工,x£(0,2],

X

由基本不等式知X+工的最小值为2,因此2(a-2)W2,即aW3.故选B.

X

7.已知函数f(x)二转比(aWO)的部分图象如图所示，则(B)

ex

A.a<0

B.a-c>0

C.b-c<0

D.3a-2b+c<0

解析：因为f(X)=a“2+}+c,

ex

所以『(x-ia…c,

ex

令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c,

由图象可知，函数y=f(x)先减后增再减，

则-a〈0,可得a>0,A选项错误；

伊(-1X0,则g(-l)=-3a+2b-c<0,

则3a-2b+c>0,D选项错误；

f'(1)>0,则g(l)=a-c>0,B选项正确;

f'(0)>0,则g(0)=b-c>0,C选项错误.故选B.

8.已知非负函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)的定义域为(0,+8),

若对于定义域内的任意x,均满足伊&)>3,则下列式子中不一定

X

正确的是(B)

A.f(2)>2f(l)B.f(3)>e・f(2)

C.f(4)>-f(3)D.f(e)>2e-f(-)

62

解析：因为x>0,且f'(x)>3,可得xf'(x)>f(x),即xfz(X)-

X

f(x)〉0,令g(x)=P，贝gz(x)=-2”①，所以g'(x)>0,所以

x

g(x)上包在(0,+8)上单调递增，

X

对于选项A,由晨2)>g(l),可得早》一，

即f(2)>2f(l),故选项A正确；

对于选项B,由g(3)>g(2),可得与早，

即f(3)>|f(2),得不出f(3)>e-f(2),故选项B不一定正确；

对于选项C,由g(4)>g(3),可得蜉〉等，

即f(4)>gf(3)，因为f(3)>0,

所以今(3)(3),可得f(4)>：f(3),故选项C正确；

366

对于选项D,由晨e)>g(今，可得侬》阜，

2e-

2

即f(e)>2e•f(1),故选项D正确.

所以不一定正确的是选项B.故选B.

9.已知函数f(x)=ln*^2-*在区间(,学上存在单调递减区间,则2

的取值范围是(B)

A.[1,+8)B.(1,+°°)

C.(-8,1)D.(-8,1]

解析：由题，伊(x)'-2axT=N^^,

XX

因为x>0,则若函数f(x)=lnx-ax2-x在区间上存在单调递减

区间，

即-2ax2-x+l<0在[|,|]上有解,

即存在xe[11]，使得2a>二总成立,

32xX2

2

设t=：(te[2,3]),贝iju(t)=-t+t=(t-|)当t=2时，u(t)min=u(2)=2,

所以2a>2,即a>l.故选B.

10.设f'(x)是f(x)的导函数，写出一个满足广(x)>f(x)在定义域R

上恒成立的函数f(x)的解析式:.

解析：由题意,设函数f(x)=e-l,可得fz(x)=ex,

令F(x)=f'(x)-f恒成立，即函数f(x)=ex~l,符合

题意.

答案:f(x)=ex-l(答案不唯一)

11.若任意a,b满足O〈a〈b〈t,都有blna<alnb,则t的最大值

为.

解析：因为O〈a〈b〈t,blna<alnb,

所以此吸a〈b),

ab

令yJ竺，则函数在(0,t)上单调递增，故由y'=•手>0可知0<x<e,故

X

t的最大值是e.

答案:e

B级综合运用练

12,已知y=f(x)为(0,+8)上的可导函数,且有f，(x)+3>0,则对于

X

任意的a,b£(0,+8),当a>b时，有(B)

A.af(a)<bf(b)B,af(a)>bf(b)

C.af(b)>bf(a)D,af(b)<bf(a)

解析:不妨设h(x)=xf(x),则h'(x)=f(x)+xf'(x).

因为当x>0时，有伊(x)+必>0,所以当x>0时,xf'(x)+f(x)>0,即

X

h'(x)>0,此时函数h(x)单调递增，则对于任意的a,b£(0,+8),

当a>b时，则h(a)>h(b),即af(a)>bf(b).故选B.

13.若l<x《X2,则下列不等式正确的是(D)

A.Xilnx2>x2lnXi

B.Xilnx2<x2lnXi

X2X1

C.e-e<lnx2-lnXi

X2X1

D.e-e>lnx2-lnXi

解析:构造函数g(x)=¥(x>l),则g'(x)=WF，

又当x£(l,e)时，g'(x)>0,当x£(e,+8)时，g，(x)<0.

所以g(x)在(1,e)上单调递增,在(e,+8)上单调递减,所以

g(xi),g(x2)的大小不确定.所以A,B均不正确；

构造函数h(x)=e'Tnx(x>l),则h'(x)=e7>0,所以h(x)在(1,+8)

X

上为增函数，

X1%2X1

所以h(x2)>h(x。，即e*2-lnx2>e~lnxbLUe-e>lnx2-lnXi.

故选D.

14.已知函数f(x)=2:-，若me(T,1),求函数f(x)的单调区间.

xz-2mx+l

解:因为m£(T,l),所以△=4m?-4<0,所以y=x2-2mx+l>0恒成立，

则函数的定义域为R.

q//\e”(x-1)

f(X)一(评2(3X-+27171)-12)，

①当m=0时，2m+l=l,此时f(x)20,f(x)在R上单调递增；

②当0<m<l时，l<2m+k3,

x£(-8,i),广(x)>0,f(x)单调递增,

xG(1,2m+l),fz(x)〈0,f(x)单调递减，

x£(2m+l,+8),f'(x)〉0,f(x)单调递增;

③当时，-

x