人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第二章函数

主题二

函数第二章函数（必修第一册）

盘

第1节函数的概念及其表示

整课程标准要求

1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表

法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用.

3.通过具体实例，了解简单的分段函数,并能简单应用.

⑦招激材夯实四基

必备知识•课前回顾

密知识梳理

1.函数的有关概念

⑵两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如,

函数f(x)=2x；x£[0,2]与函数f(x)=2x；x£[-2,0].

2.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、列表法和图象法.

3.分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对

应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,

但它表示的是一个函数.

■释疑

分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定

义域的并集，值域是各段值域的并集.

Ife重要结论

与x轴垂直的直线与一个函数的图象至多有一个公共点.

—㊀对点自测♦-

1.若集合A={x|0WxW2},B={y|0WyW3},则下列图形给出的对应中

能构成从A到B的函数f:A-B的是(D)

解析:A中的对应不满足函数的存在性，即存在x£A,但B中无与之对

应的y;B,C均不满足函数的唯一性,只有D正确.故选D.

2.(必修第一册P72习题3.1T2改编)下列四组函数中表示同一个函数

的是(C)

A.f(x)=V%-1,-1与g(x)=[(%-1)2

丫2

B.f(x)=x与g(x)=—

X

C.f(x)=石^与g(x)=|x|

D.f(x)=l,x£R与g(x)=x°

解析:A选项中函数f(x)的定义域为[1,+8),g(x)的定义域为R,定义

域不同，不是同一个函数;B选项中函数f(x)的定义域为R,g(x)的定

义域为(-8,0)U(0,+8),定义域不同，不是同一个函数;C选项中函

数f(x),g(x)的定义域均为R,对应法则也相同，是同一个函数;D选项

中函数f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-8,o)U(0,+8),定义

域不同，不是同一个函数.故选C.

3.已知函数。二则f(f(T))等于(A)

+1,%<0,2

A.-B.-C.--D.-

16161616

解析：由xWO可知f(-|)=-(-1)2+1=;,结合X>0的解析式可知

f(1)=(7)2+1嚏故选A.

4416

4.已知函数数x)和g(x)的定义域为{1,2,3,4},其对应关系如表,则

f(g(2))的值为(D)

X1234

f(X)4321

g(x)1133

A.1B.2C.3D.4

解析：因为g(2)=l,f(1)=4,则f(g(2))=f(1)=4.故选D.

5.(2020•北京卷)函数flxh2+lnx的定义域是

x+1

解析：函数f(x)=a+lnx的自变量满足—3所以x>0且xW

T,

即定义域为(0,+°°).

答案：(0+8)

美》考点卷实四算

关键能力•课堂突破

戚考点一函数的定义域

1.(2021•陕西黄陵高三期中)函数f(x)=^+ln(2x-X?)的定义域为

(B)

A.(2,+8)B.(1,2)

C.(0,2)D.[1,2]

解析:要使函数有意义则[三八解得Kx<2.所以函数f(x)的定

义域为(1,2).故选B.

2.已知函数f(x)=产五：的定义域是R,则实数a的取值范围是

ax^+ax-3

(B)

A.(-12,0)B.(-12,0]

C.(I，+°°)D.(-°°,|]

解析：因为f(x)=T^的定义域为R,所以只需分母不为0即可，

ax^+ax-3

所以a=。或段!葭X(-3)<.可得T2〈aW0.故选B.

3.已知函数f(x)=(l-x)5+(2xT)°,则f(x)的定义域

为•

解析:将(l-x)£化为讨子所以X<1,又因为2xTW0,所以xN,

综上，定义域为(-84)口41).

答案：(一

4.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数g(x)=f(9+f(xT)的定

义域为.

解析：因为f(x)的定义域为(-1,1),

所以要使g(x)有意义,则[T<§<L

1-1<X-1<1,

解得1<X<2,所以g(x)的定义域为(1,2).

答案：(1,2)

5.若函数f(x)=Va%2+abx+匕的定义域为{x|1WXW2},则a+b的值

为.

解析：函数f(x)的定义域是不等式ax2+abx+b^0的解集.不等式

ra<0,

ax2+abx+b^0的解集为{x|1WXW2},所以11+2二",解得

[1X24，

卜=-1,

kb=-3,

所以a+b=-|-3=-|.

答案:彳

R题后悟通

(1)若函数的解析式是由多个基本初等函数通过四则运算构成,则函

数的定义域是使构成解析式的各部分都有意义的集合的交集.

⑵求抽象函数的定义域

①若y=f(X)的定义域为(a,b),则解不等式a<g(x)<b即可求出

y=f(g(x))的定义域；

②若y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)在(a,b)上的值域即得

f(x)的定义域.

注意：1.求函数定义域时,对函数解析式先不要化简.

2.求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式.若用区间表示,

不能用“或”连接,而应该用并集符号“U”连接.

顾考点二求函数的解析式

1.已知f(x)满足2f(x)+f(3=3x,则f(x)=.

X---------------------

解析：(解方程组法)因为2f(x)+f(-)=3x,①

X

把①中的X换成:得2f(3+f(x)q.②

2f(x)+f(}=3x,

联立①②可得!

2/(>+f(x)=|,

解此方程组可得f(x)=2x」(xWO).

X

答案:2x，(xW0)

X

2.已知在定义域内单调递增的一次函数f(x)满足f(f(x))=4x+6,则

f(x)的解析式为

解析：设f(x)=ax+b(a>0),则

f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a?x+ab+b=4x+6,于是有1°,一,解

lab+b=6,

得｛；[2或C=I；'(舍去)，所以f(X)=2X+2.

答案:f(x)=2x+2

3.已知f(l-cosx)=sir?x,则函数f(x)的解析式

为.

解析：因为f(l-cosx)=sin2x=l-cos2x,

令1-cosx=t,tG[0,2],则cosx=l-t,

所以f(t)=l-(l-t)2=2t-t2,tG[0,2].

即f(x)=2x-x2,x£[0,2].

答案:f(x)=2x-X2,X£[0,2]

一题后悟通

1.已知f(g(x))的解析式,求f(x)的解析式,常用换元法或配凑法或

两种方法并用，换元法更具有一般性,在使用时一定要注意新元的取

值范围.

2.换元法的一般方法是:令t=g(x),从中求出x-(t),然后代入表达

式求出f(t),再将•t换成X,得到f(X)的解析式,要注意新元的取值范

围.

考点三分段函数及其应用

口角度一分段函数求值

(SO(1)已知f(x)=[〃则f(f(》)+f(T)的值等

1/।.L/,XU,33

于

⑵(202一浙江高二学业考试)已知函数f(x)=，°g2X,x>0,则f⑴

等于；f(f(-2))等于.

解析：(1)由题意得f(?=2xg=:

f(f(^))=f(1)=2x1=p

f(--)=f(--)=f(-)=2X-=-,

33333

所以f(f©)+f(勺中+9^.

33333

(2)因为DO,所以f(l)=Log2『0,

又因为-2<0,所以f(-2)=-(-2)=2,

所以f(f(-2))=f(2)=Log22=l.

答案：(1)?(2)01

£解题策略I

求分段函数的函数值的策略

⑴求分段函数的函数值时,要先确定要求值的自变量属于哪一区间,

然后代入该区间对应的解析式求值.

(2)当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.

除度二分段函数与方程

(SH)(2021•山西太原高三期中)已知函数f(x)=F二x，x<0,若

(Vx,x>0,

f(a)=2,则实数a等于()

A.-1或2B.2或4

C.-2或4D.-1或4

解析:法一当a<0时，由a2-a=2解得a=-l或a=2(舍去);

当a20时，由直=2可得a=4.故选D.

法二结合选项可知a=2时返W2,因此排除A,B.对于a=-2

时\(-2)2-(-2)=6W2,排除C.故选D.

根据分段函数的函数值求自变量的值或解方程时，应根据分段函数各

段的定义域分类讨论,结合各段的函数解析式求解,要注意求出的自

变量的值应满足解析式对应的自变量的区域.

除度三分段函数与不等式

®3)函数f(x)=f：/°,则满足f(x)+f(x4)>l的x的取值范

L2X,%>0,2

围是一

解析:当x>Mf(x)+f(X-3=2X+2X4>2X>V2>1;

当0<x咛时,f(x)+f(x-1)=2X+(x-i)+l=2x+x+1>2x>1;

当xWO时，f(x)+f(x-|)=x+l+(x-1)+l=2x+|,

所以f(x)+f(x-3>1=2X+3>1=X>二，即-乂XWO.

2244

综上,x£(-1,+8).

答案：(q,+8)

，解题策略।

求解与分段函数有关的不等式问题,应在定义域的限制之下,结合函

数解析式分别解不等式,最后取各不等式的并集.

口角度四分段函数的值域

(例上4设函数f(x)=17">°,若F(x)=f(x)+x,x£R,则F(x)的值域

lex,%<0,

为()

A.(-8,i]

B.⑵+8)

C.(-°0,1]U[2,+8)

D.1)U(2,+8)

解析：当x>0时,F(x),+x222•x=2,当且仅当Lx,即x=l时取等号;

%A/%x

当xWO时,F(x)=e'+x,根据指数函数与一次函数的单调性得F(x)是增

函数,F(x)WF(O)=1,所以F(x)的值域为(-8,1]U⑵+8).故选C.

"解题策略1

分段函数的值域是各段函数值域的并集.

[针对训练]

1.已知函数f(x)=「+专'则f(f⑴)等于()

lx2+2,x<2,

1

A.--B.2C.4D.11

2

解析：因为f⑴=「+2=3,所以f(f(l))=f(3)=3+白=4.故选C.

3~2

2.若函数f(x)={M；则不等式f(x)+l〈0的解集是()

A.(-8,予B.(-co,o)U(0,手

C.(0,2)D.(-1,0)U晶+8)

解析：由题意<o或

所以x<0或0<x<—,

io

所以不等式f(x)+K0的解集为(-8,0)U(0,/.故选B.

X^~X+1]V1

1、「'的值域

{->1

为.

解析：当X<1时,f(x)=x"x+l=(x-?

当x>l时，f(x)」£(o,1).

X

综上可得,f(x)的值域为(0,+8).

答案：(0,+8)

4.已知函数f(x)4f<°，则方程f(l+x2)=f(2x)的解集

(2,%>0,

是.

解析：因为l+x2^0,所以f(l+x2)=2,方程f(l+x2)=f(2x),BPf(2x)=2.

所以当x<0时，方程e2x+l=2,解得x=0,不成立；

当xNO时，2=2成立.

所以方程f(l+x2)=f(2x)的解集是{x1x^0}.

答案：［0,+8)

>备选例题

CBD设函数f:R-R满足f(0)=1,且对任意x,y£R都有

f(xy+l)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则f(2023)=()

A.0B.1

C.2024D.2025

解析：令x=y=O,则f(1)=f(0)f(0)-f(0)-0+2=1Xl-l-0+2=2,

令y=0,则f⑴=f(x)f(0)-f(0)-x+2,

将f(0)=1,f(1)=2代入,可得f(x)=l+x,

所以f(2023)=2024.故选O

CW已知y=f(x)是定义域为A={%|x=sin督，N*且k44),值域

为B={n,e,8}的函数，则这样的函数共有()

A.6个B.27个

C.64个D.81个

解析：因为A={o,1,yj,B={n,e,8},

由于函数的值域中含有3个元素,且定义域中含有3个元素，因此这是

定义域与值域之间的一一对应关系构成的函数，因此共能构成

3X2X1=6个函数.故选A.

CBD已知定义在[0,+8)上的函数f(x)满足f(x)=2f(x+1),当x£

[0,1)时,f(x)=y/~x2+x,则当xG[1,2)时,f(x)等于()

A.--y/-x2+3x-2B.-V-x2+3x-2

22

C.-Vx2-3x+2D.--y/x2-3x+2

22

解析：根据f(x)=2f(x+l)得,f(x-l)=2f(x).

当x£[1,2)时,x-1G[0,1),f(x-l)=J-(x~l)2+x-1=V-x2+3x~2,

所以f(x)寺(x-1)=|V-%2+3x-2.故选B.

如图，定义在［T,+8)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一

部分组成,则f(x)的解析式为.

解析：当TWxW0时，设解析式为y=kx+b,

由图象％”;二°，解得{晨:

所以y=x+l;

当x>0时，设解析式为y=a(x-2)2-l,

因为图象过点(4,0),

所以0=a(4-2)2-1,解得a=；.

4

综上，函数f(X)在[T,+8)上的解析式为

fx+1,-1<%<0,

(x-2)2-l,x>0.

14

fx+1,-1<%<0,

答案:f(x)=|i(犷2)2-1,X>0

14

炎活方唬布致梃怩

课时作业

@选题明细表

知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练

函数的概念与表示2,3,61416,17

函数的定义域1,4,5,711

分段函数8,9,1012,1315

A级基础巩固练

1.函数f(x)=VT}+lg(3xT)的定义域为(A)

A.(1]B.(0,1]

C.(-oo,|)D.(0,1)

解析:要使f(x)=vr三+ig(3x-i)有意义,则有解得沁《

I。人.LU,J

1.

所以函数f(x)=VI与+lg(3xT)的定义域为停1].故选A.

2.已知函数f(x)满足f(与+%(-x)=2x(x#0),则f(-2)等于(C)

XX

7979

R-C

---D.--

2222

解析:法一由f(?+J(-x)=2x,①

可得f(-x)-xfC)==,②

XX

将①乘以X+②得2f(-x)=2x2--,

X

所以f(-X)=X2--.所以f(-2)4故选C.

X2

法二根据题意，函数f(x)满足f(b+Zf(-x)=2x(xW0),

XX

令x=2可得f(?+|f(-2)=4,①

令x=q可得f(-2)-2f(?=-1,②

联立①②解得f(-2)=(.故选C.

3.(2021•江西赣州高三期中)已知函数f(x)=2x,g(x)=x2-a,若

f(g(1))=1,则a等于(B)

A.-lB.1C.2D.3

解析：因为函数f(x)=2x,g(x)=x2-a,所以f(g(l))=2"=l,解得a=l.故

选B.

4.定义域是一个函数的三要素之一，已知函数f(x)的定义域为

[211,985],则函数8&)=£(2018乂)+-202k)的定义域为(A)

.r211985-i0「2119851

A・L-------,-------JD.L--------,-------J

2018202120212018

C.[—,D.[——]

2018201820212021

解析:根据题意得{北建2悭<霆解得用[篇，篇]•故

选A.

5.(2021•天津高三模拟)下列四个函数:①y=3-x;②y=2i(x>0);③

y=x2+2x-10;

%%<0

{1%]0：其中定义域与值域相同的函数的个数为(B)

A.1B.2C.3D.4

解析:①y=3-x的定义域与值域均为R;②丫=2-(x>0)的定义域为(0,

+8),值域为§+8):③丫=*22*-]。的定义域为R,值域为[T1,+8)；

1%W0

1-n的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数

{x

是①④,共有2个.故选B.

6.(多选题)下列函数中，满足f(2x)=2f(x)的是(ABD)

A.f(x)=|2x|B.f(x)=x

C.f(x)=VxD.f(x)=x-1x|

解析:f(x)=|2x|,f(2x)=4析|,2f(x)=41x],所以A正确；

f(x)=x,满足f(2x)=2f(x),所以B正确;

f(x)-y[x,f(2x)=yj2x,2f(x)=2V%,不满足f(2x)=2f(x),所以C不正

确；

f(x)=x-|x|,f(2x)=2x-21x|,2f(x)=2x-2|x|,所以D正确.故选ABD.

7.(2021•安徽合肥高三联考)已知函数f(x)的定义域是弓,8],则

f⑵)的定义域是.

解析：因为函数f(x)的定义域是48],所以户2，W8,得TWxW3.

所以f(29的定义域为

答案：[T,3]

8.已知函数数x)=3X-3七2,则f(1)等于;若f(m)=2,则实数m

等于.

解析:由题意,函数f(x)=3,-3七2,

可得f⑴=3匚3T+2哲，

因为f(m)=2,即35+2=2,

可得3"=3一",解得m=0.

答案(0

9.(2021•浙江绍兴二模)已知函数£&)=卜(％+1)：+7,741,则

(log2x+3,%>1,

f(0)等于;关于x的不等式f(x)>7的解集是.

,2

解析：由题可知f(x)110f工1,

所以f(0)=-(0+1尸+7=6,

①尸L2ox£0,

l-(x+l)2+7>7

②{lg2%'+3>7nx>16，

所以f(x)>7的解集是(16,+8).

答案:6(16,+8)

10.已知函数f(x)=［「2a)”+3a<x<1,的值域为R,则实数a的取

llnx,x>1

值范围是.

解析：由题意知f(x)=lnx(x》l)的值域为［0,+8),故要使f(x)的值

域为R,则必有f(x)=(l-2a)x+3a为增函数，且l-2a+3aN0,所以

l-2a>0且a^-1,解得-1所以实数a的取值范围是［-1,1).

答案：［-1，3

B级综合运用练

11.设函数f(x)=lg岁，则fG)+fd)的定义域为(B)

3-x3X

A.(-9,0)U(0,9)B.(-9,-1)U(1,9)

C.(-3,-1)U(1,3)D.(-9,-3)U(3,9)

解析：因为函数f(x)=lg—,

所以江>0n-3<x<3,

(-3<-<3,

所以"所叫%>1或％V-1,

-3<-<3,

X

所以-9<X<-1或Kx<9.故选B.

fi丫为有理数

12.(多选题)函数f(x)='生奴’则下列结论正确的是

0,%为无理数,

(ACD)

A.任意x都有f(x)=f(-x)

B.方程f(f(x))=f(x)的解只有x=l

Cf(x)的值域是{0,1}

D.方程f(f(x))=x的解只有x=l

解析：当X为有理数时,-X为有理数,则f(x)=f(-X)=1,当X为无理数

时,-X为无理数，则f(x)=f(-x)=o,故A正确;

当x为有理数时,方程f(f(x))=f(l)=l=f(x)成立；当x为无理数时，

方程f(f(x))=f(0)=1Wf(x).所以方程f(f(x))=f(x)的解为任意有

理数，故B错误；

因为f(x)的值域是{0,1},故C正确；

当X为有理数时,方程f(f(x))=f(1)=1=X,解得X=1；当X为无理数时,

方程f(f(x))=f(0)=l,无解,故D正确.故选ACD.

13.(多选题)已知函数f(x)=产二2工x<l,关于函数f(x)的结论正

(,-%+2,%>1,

确的是(BC)

A.f(x)的定义域为R

B.f(x)的值域为(-8,4]

C.若f(x)=2,贝！Jx的值是一企

D.f(x)<l的解集为(T,1)

解析：函数f(x)的定义域是[-2,1)U[1,+oo)=[-2,+8),故A错误；

当-2Wx<l时f(x)=x2,值域为[0,4],当x》l时,f(x)=-x+2,值域为(-

8,1],故f(x)的值域为(-8,1]u[0,4]=(-°°,4],故B正确；

由函数值的分布情况可知，f(x)=2在x21上无解，故由-2Wx<l,即

f(X)=X2=2,得至(JX=-V2,故C正确；

当-2Wx〈l时,令f(x)=x2<l,解得xG(-1,1),当x21时,令f(x)=

-x+2<l,解得x£(1,+8),故f(x)<1的解集为(-1,1)U(1,+oo)，故D

错误.

故选BC.

14.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函

数为“同族函数”，请写出一个与函数y=x；x£[(),2]同族的函数：

解析：函数y=x2,xe[0,2]的值域为[0,4],因此其同族函数的函数解

析式可以是y=x2,xG[-2,t](0WtW2),也可以是y=x2,xG[m,2]

(-2WmW0)中的任意一个.

答案:y=x；x£[-2,1](答案不唯一,参考解析中的t,m的值)

C级应用创新练

15.设函数f(x)』巡一1，'"-则满足f(x)+f(x-1)<2的x的取值

范围是•

解析：当x<0时,f(x)=-f(-x)=-[-x(-x-1)]=-x(x+1),

①若x<0,则x-l<T,

由f(x)+f(x-1)<2得-x(x+1)-(x-1)x<2,

BP-2x2<2,即x?>-1,此式恒成立,此时x<0.

②若x21,则x-120,

由f(x)+f(x-1)<2得x(x-1)+(x-1)(x-2)<2,

即x-2x<0,即0<x<2,此时l〈x<2.

③若OWxG,贝Ux-l<0,

由f(x)+f(x-l)<2得x(x-l)-(x-l)x<2,

即0<2,此时不等式恒成立，此时OWxG.

综上x<2,即不等式的解集为(-8,2).

答案:(-8,2)

16.(2021•浙江宁波高三模拟)已知函数f(x)=|x-2|-1|x+l|,若对于

任意实数x,有|f(x+t)-f(x)|^l(teR)恒成立,则实数t的取值范围

为.

解析：当x22时，

f(x)=x-2-1(x+l)=|x-|,

当一:Kx<2时，

f(x)=2-x-|(x+1)=—|x+|,

当x^-1时,

f(x)=2-x+1(x+l)=-1x+|,

作出图象,如图所示，

所以f(x)在上变化最快,

所以|f(x+t)-f(X)|的最大值为|-|(x+t)+|-(-|x+|)I=I|tI,

所以解得-|wtw|.

答案「|,|]

17.定义域为集合｛1,2,3,…，12｝的函数f(x)满足：①f⑴=1;②

|f(x+l)-f(x)|=l(x=l,2,­••,11);③:?⑴,f(6),f(12)成等比数列.这

样的不同函数f(x)的个数为.

解析:经分析,f(x)的取值的最大值为x,最小值为2-x,并且成以2为

公差的等差数列,故f(6)的取值为6,4,2,0,-2,-4.

f(12)的取值为12,10,8,6,4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10,所以能使f(x)

中的f(1),f(6),f(12)成等比数列时,f(1),f(6),f(12)的取值只有两

种情况①f(1)=1,f(6)=2,f(12)=4;②f(l)=l,f(6)=-2,f(12)=4.

|f(x+1)-f(x)I=1(x=l,2,•••,11),f(x+l)=f(x)+l,或者f(x+l)=

即得到后项时,把前项加1或者把前项减1.

⑴当f(1)=1,f(6)=2,f(12)=4时;将要构造满足条件的等比数列分

为两步，第一步:从f(1)变化到为6);第二步:从f(6)变化到f(12).

从f(1)变化到f(6)时有5次变化，函数值从1变化到2,故应从5次

中选择3次加1,剩余的两次减1.对应的方法数为髭=10种.

从f(6)变化到f(12)时有6次变化，函数值从2变化到4,故应从6次

变化中选择4次增加1,剩余两次减少1,对应的方法数为第=15种.

根据分步乘法计数原理,共有10X15=150种方法.

(2)当f(l)=l,f(6)=-2,f(12)=4时，将要构造满足条件的等比数列分

为两步,第一步:从f(1)变化到f(6);第二步:从f(6)变化到f(12),

从f(1)变化到f(6)时有5次变化,函数值从1变化至卜2,故应从5次

中选择1次加1,剩余的4次减1,对应的方法数为玛=5种.

从f(6)变化到f(12)时有6次变化，函数值从-2变化到4,故应从6次

变化中选择6次增加1,对应的方法数为盘=1种.

根据分步乘法计数原理,共有5X1=5种方法.

综上，满足条件的f(x)共有150+5=155种.

答案：155

第2节函数的单调性与最值

课程标准要求

1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.

2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义.

⑥㈱散材夯实四基

必备知识•课前回顾

朕知识梳理

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

一般地,设函数f(X)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间

D上的任意两个自变量的值xbx2

当X《X2时,都有f(X1)(X2),当X《X2时，都有f(XI)>f(X2),那

定那么就称函数f(x)在区间D上么就称函数f(x)在区间D上单

义单调递增.调递减.

特别地，当函数f(x)在它的定特别地，当函数f(X)在它的定义

义域上单调递增时,我们就称域上单调递减时,我们就称它是

它是增函数减函数

图rt/

：/(«l)：/(孙)

象0方X2x

04142X

描

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

述

■释疑

函数单调性定义中的Xi,X2具有以下三个特征:一是任意性，即“任意

两数X1,X2$D”，“任意”两字绝不能丢；二是有大小，即X《X2；三是同

属一个单调区间，三者缺一不可.

(2)单调区间的定义

如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数

y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区回口叫做y=f(x)的单调区

间.

■释疑

若函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写,用“，”或“和”

连接,不要用“U”.

2.函数的最值

-XZLA

刖

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足

提

(1)对于任意x£I,都有皿(3)对于任意x£I,都有f(x)

条

WM;2M;

件

(2)存在x°WI,使得以出溺(4)存在x0£I,使得f(x0)=M

结

M是函数y=f(x)的最大值M是函数y=f(x)的最小值

论

■释疑

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间

上单调时最值一定在端点处取得.

⑵开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.

;三重要结论

1.函数单调性的等价定义

设任意X1,X2GD(X17^X2),则

⑴人】)一诈)>0(或(X_X2)[f(X1)-f(X2)]>0)Of(x)在D上单调递增;

Xi-X2

⑵(或(X「X2)[f(X1)-f(X2)]<0)=f(x)在D上单调递减.

X1-X2

2.函数f(x)=ax+2的单调性

X

若a>0,b<0,则函数在区间(-8,o),(0,+8)上是增函数,若a<0,b>0,

则函数在区间(-8,0),(0,+8)上是减函数;若a>0,b>0,则函数在区

间(邛,0),(0,E)上是减函数,在区间(-8,-2)，(归+8)上是

7a7a7Q7Q

增函数.

特别地,''对勾函数”y=x+2(a〉0)的单调递增区间为(-8,一份)，(6,+

X

8)；单调递减区间是[-正,0),(0,正].

3.与函数运算有关的单调性结论

(1)函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性.

(2)k>0时,函数f(x)与kf(x)单调性相同;k〈0时,函数f(x)与kf(x)

单调性相反.

⑶若f(x)恒为正值或恒为负值,则f(x)与六具有相反的单调性.

/(X)

(4)若f(x),g(x)都是增(减)函数,则当两者都恒大于零时,f(x)•晨x)

是增(减)函数;当两者都恒小于零时,f(x)-g(x)是减(增)函数.

⑸在公共定义域内，增+增=增,减+减=减.

(6)复合函数单调性的判断方法:若两个简单函数的单调性相同，则这

两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这

两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.

—，对点自测♦-

1.(2021•全国甲卷)下列函数中是增函数的为(D)

A.f(x)=-xB.f(x)=(|)x

C.f(X)=X'D.f(X)~y[x

解析:f(x)=-x为R上的减函数;f(x)=(|)"为R上的减函数;f(x)=x?

在(-8,0)上为减函数;f(x)=正为R上的增函数.故选D.

2.若函数f(x)是R上的减函数,且f(a?-a)<f(a),则a的取值范围是

(B)

A.(0,2)B.(-8,0)U(2,+8)

C.(-8,o)D.(2,+8)

解析：因为f(x)是R上的减函数，且f(a2-a)(a),所以a2-a>a,所以

a-2a>0,所以a>2或a<0.故选B.

3.已知二次函数f(x)=2x?-4x,则f(x)在［-1,|］上的最大值

为•

解析：f(x)=2x2-4x图象的对称轴为直线x=l,

因此函数在区间［-1,1］上单调递减，在［1,|］上单调递增，

且f(-1)=6,f(|)=-1,则有f(-1)>f(|),则函数f(x)在区间［-1,|］上的

最大值为f(T)=6.

答案：6

4.(必修第一册P100T4改编)函数f(x)=x?+2(aT)x+2.

(1)若函数f(x)的单调递减区间是(-oo,6］,则实数a的值(或取值范

围)是；

⑵若函数f(x)在区间(-co,6］上单调递减,则实数a的值(或取值范

围)是.

解析：(1)因为函数f(x)的单调递减区间是(-8,6］,且函数f(x)图象

的对称轴为直线x=l-a,所以有l-a=6,即a=-5.

⑵因为函数f(x)在区间(-8,6］上单调递减,且函数f(x)图象的对

称轴为直线x=l-a,所以l-a16,即aW-5.

答案：(1)-5(2)(-8,一5］

5.(2021•吉林松原高三模拟)写出一个符合“对Vxi,x2eR,当x】Wx2

v

时，(X「X2)［f(Xi)-f(x2)］<0的函数：f(x)=.

解析:设VX1,X2GR,X1<X2,则f(X1)>f(x2),由单调性的定义可知，函数

f(X)是定义域为R的减函数,所以函数f(x)=-x满足题意.

答案：-x(答案不唯一)

类今考点您实四案

关键能力，课堂突破

戚考点一函数的单调性与单调区间

1.下列函数中，满足“Vxi,x2e(o,+8)且xiW

>>

x2,(xi-x2),[f(xi)-f(X2)]<O的是(C)

A.f(x)=2"B.f(x)=|x-lI

C.f(x)--xD.f(x)=ln(x+l)

X

解析：由(X1-X2)•[f(Xi)-f(x2)]<0可知，f(x)在(0,+8)上是减函

数,A,D选项中,f(x)为增函数;B选项中,f(x)=|xT|在(0,+8)上不

单调；对于f(x)4-x,因为y,与y=-x在(0,+8)上均为减函数，因此

XX

f(X)在(0,+8)上是减函数.故选c.

2.函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(D)

A.(-8,-2)B.(-8,1)

C.(1,+8)D.(4,+8)

解析：由X2-2X-8>0,得f(x)的定义域为{x|x>4或x<-2}.

设t=x?-2x-8,则y=lnt为增函数.

函数f(x)的单调递增区间，即函数t=xz-2x-8的单调递增区间(定义域

内).

因为函数t=x2-2x-8在(4,+8)上单调递增,在(-00,-2)上单调递减，

所以函数f(x)的单调递增区间为(4,+8).故选D.

3.函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是.

解析：之2,

(一％“+2x,x<2.

画出f(x)的大致图象(如图所示),

由图知f(x)的单调递减区间是[1,2].

答案：[1,2]

一题后悟通;

判断函数的单调性或求函数单调区间的常见方法

⑴利用已知基本初等函数的单调性(如一次、二次、反比例、指数、

对数等函数)，转化为已知函数的和、差或复合函数，再求单调区间.

(2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作此

可由图象的直观性写出它的单调区间.一般地,解析式中含绝对值的

函数的单调区间常用此法.

(3)导数法:利用导数确定函数的单调区间.

(4)复合函数法:如果是复合函数,则首先将一个函数“拆分”成几个

简单函数,利用复合函数单调性的判断规则判断.

说明：求函数的单调区间，首先需要求函数的定义域.

彳考点二求函数的最值(值域)

方法-基本不等式法

函数f(x)二六的值域为()

xz+l

A.(-°0,-2]U[2,+8)

B.-1]U[1,+8)

C.(-°°,U+8)

D.[A-]

22

解析:当x=0时,f(0)=0;

当x>0时,0<f(x)=」7W一=；,当且仅当x=l时,等号成立；

当x<0时,f(x)="〈0,且f(X)=-YTN--2_：=4,

%+1⑷+与2r(-x).i2

7x

当且仅当X=-1时，等号成立.

综上所述,函数f(x)=-^的值域为U，；].故选D.

x2+l22

产解题策略I

利用基本不等式法求最值应先对解析式变形，使之具备“一正二定三

相等”的条件后用基本不等式求出最值，若自变量符号不确定,则需要

分类讨论.

方法二换元法

(SO求下列函数的值域.

(l)f(x)=4x+(1)x+l(x^0);

(2)f(x)=2x+VF2x.

解：(1)因为xNO,设t=(1)xe(o,l],y=t2+t+l,te(o,1],

y=t2+t+l=(t+|)2+^.

由于函数y=t2+t+l在(0,1]上单调递增，

所以l<t2+t+1^3,因此函数的值域为因3].

⑵令VF石占t20,则2x=l-t2(t^0),

所以函数y=-t2+t+l(t^0),

又函数y=Y+t+l(t20)图象的对称轴方程为tgeO,且开口向下，

所以==_2

yraaxy|t_i(1)+|+1=|,

所以函数y=2x+“-2%的值域为(-8,刃.

4

,解题策略I

1.形如y=ax±b±Vcx±d,通过换元将他们转化为有理函数,通过求

有理函数的值域间接求原函数的值域.

2.若函数的解析式可以看作是一个关于基本初等函数的二次式,可以

考虑换元法，但是要注意换元后新元的取值范围.

方法三函数的单调性法

♦O求下列函数的值域.

(2)f(x)=74-x7x+2.

解：⑴因为f(x)①X=3x上在[-1,4：上是增函数，

xx2

f(-l)=T,f(4)=|,

所以函数f(x)的值域为

⑵因为所以-2<xW4,

所以函数f(x)的定义域为[-2,4].又y,=V4-x,+2在区间

[-2,4]上均为减函数,所以f(x)+2在—2,4]上为减函数,

所以f(4)Wf(x)Wf(-2),即-遍Wf(x)W遍,所以函数的值域为

[-V6,V6].

解题策略:

若已知函数具有明显的单调性,则应先确定函数的单调性,再由单调

性求最值.

方法四分离常数法

(例1~4函数的值域是()

2+%2

A.(-1,B.(-1,1)

C.(―(-2,2)

解析:法一尸(]+?+3r三,因为2+x?22,所以。〈义〈今所以

2+x22+xz2+x22

所以函数y4马的值域是(-1,勺.故选A.

2+xz22+xz2

法二由y=二马可得x2=^,由x2^0可得上空20且y+IWO,解得

2+x2y+1y+1

-Ky^,因此函数的值域是(-1,与•故选A.

，解题策略

一般地，形如y=¥*(acWO)(f(x)为常见的基本初等函数)的函数

cf(x)+d

常用分离常数法或反解法(即用y表示f(x),然后借助f(x)的取值范

围求y的取值范围).

方法五数形结合法(图象法)

'JO若定义运算a*b=，40]则函数g(x)=(-X2-2X+4)*(-x+2)的

值域为()

A.(-8,4]B.(-8,2]

C.[1,+°°)D.4)

b,a>b,

解析：由a*b=

a,a<b,

得g(x)=(-x2-2x+4)*(-x+2)

_(~x+2,[-2,1],

[-X2~2X+4,X£(-°°,-2)U(1,+°°),

当x£[-2,1],g(x)=-x+2e[1,4],当x£(-°°,-2)U(1,+

°°),g(x)=-(x+l)2+5<4,可得g(x)W4.故选A.

若所求值域的函数的图象容易作出，则先作出函数的图象,通过观察

其最高点、最低点的纵坐标求出最值(值域).一般地,涉及新定义问题

的函数最值或分段函数的最值问题,常借助图象法求解.

[针对训练]

1.函数丫=六的值域为()

2%+3

A.(0,1)B.(0,

C.(-°°,1)D.[+8]

解析：因为2>>002'+3>300〈总号所以函数丫=总的值域为(0,

2人+332人+33

故选A.

2.函数f(x)=V%-l+2x的值域为()

A.[-1,+°°)B.[0,+°°)

C.[1,+8)D.[2,+°°)

解析:令xT，0,解得x令1,函数f(x)在[1,+8)上为增函数,所以f(x)

£[2,+8),即函数f(x)的值域为[2,+8).故选D.

3.对于任意实数a,b,定义min{a,b}。设函数

kb,a>b.

f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值

是.

解析:在同一平面直角坐标系中作出函数f(X),g(x)图象,依题意,h(X)

的图象如图实线部分所示.易知点A(2,1)为图象的最高点，因此h(x)

的最大值为h(2)=1.

答案：1

4.函数灯碧的值域是

Vl+x2--------

解析:

Vl+x2vl+x2Vl+x2

令则y=t+-^2口^=2(当且仅当t=；即t=l,即

t7tt

x=0时,取等号)，因此函数的最小值为2.函数无最大值，即函数的值

域是2+8).

答案：［2,+8)

啜考点三函数单调性的应用

口角度一利用单调性比较大小

CMO已知函数y=f(x)关于直线x=l对称，当l<xi<x2

时，[f(x2)-f(xj](x2-X1)>0恒成立,设a=f(-1),b=f(2),c=f(3),则

a,b,c大小关系为()

A.b<a<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<b<c

解析：因为函数f(X)的图象关于直线x=l对称,又因为当1<X,<X2

时，[f(X2)-f(Xl)](X2-X1)>0恒成立,所以函数f(x)在(1,+8)上单调

递增，

因此f⑶>f(|)=f(-1)>f(2),即b<a<c.故选A.

["解题策略I

利用单调性比较函数值大小时,应根据函数的性质(如对称性等)将自

变量转化到函数的同一个单调区间上,利用单调性比较大小.

摘度二利用函数的单调性解不等式

(例2二2已知函数f(x)=-x|x|,xG(-1,1),则不等式f(1-m)<f(m2-l)的

解集为•

解析：函数f<"工)则f(x)在(-1,1)上单调递减,不等

I-%2,0<%<1,

-1<1-m<1,

式f(l-m)<f5-1)可转化为卜1<式-1<1,解得0<m<l.

.m2-l<1-m,

答案：{m|O〈m〈l}

>解题策略I

解决与抽象函数有关的变量的取值范围问题的关键是利用函数的单

调性“脱去”函数符号“f”，从而转化为关于自变量的不等式，常见

的转化方法为:若函数y=f(x)在区间D上是增函数,对任意X”X2^D,

且f(X1)<f(x2),则有X《X2；若函数y=f(x)在区间D上是减函数,对任

意XbX2$D，且f(X,)<f(X2),则有X〉X2.但需要注意的是不要忘记函数

的定义域.

。角度三含参数的分段函数的单调性

华已知函数f(x)4XX>.<D'在xER上单调递减，则

实数a的取值范围是()

A.(0,1)B.(0,|)

C.［f］D.(0,U⑵3)

283

解析：由函数f(x)=9%2-8产｝3(X<1)，在x£R上单调递减可知函

2

数y=2x-8ax+3在区间(-8,1)上是减函数，函数y=lOgax在区间［1,+

8)上是减函数,且左边函数的最小值大于等于紧挨着它的右边函数

的最大值，因此

,2a>1,

0<a<l,解得LWaWS.故选C.

、2-8a+3>logal,~

.解题策略I

对于分段函数在实数集R上的单调递增(减)的问题，除了保证在定义

域的每一个区间上单调性相同之外，还要考虑在分界点处的函数值的

大小关系.

［针对训练］

1.已知函数f(x)的图象关于y轴对称,且函数在区间［0,+8)上单调

递增，则下列关系式成立的是()

A.f(-^)<f(-3)<f(4)

B.f(-3)<f(-1)<f(4)

C.f(-3)<f(4)<f(-^)

D.f(4)<f(-|)<f(-3)

解析：因为函数f(x)的图象关于y轴对称，

所以f(-3)=f⑶，f(-辨f(,，

又因为3<|<4且f(x)在[0,+8)上单调递增,所以f(3)<f(，<f(4),

所以f(-3)〈f(1)<f(4).故选B.

2.(2021•山东济南模拟)若函数产2，在R上

单调递增，则