基本不等式教案

§基本不等式第1课时【学习目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解它的几何意义，并能应用其解决简单的最值问题2．过程与方法：主要利用数形结合的思想，通过实例探究基本不等式。3．情态与价值：激发学生的民族自豪感；通过基本不等式在求最值上的应用，体会数学来源于生活，反馈于生活，提高学生学习数学的兴趣。【能力培养】培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。【教学重点】应用数形结合的思想，从不同角度探索基本不等式的证明。并应用不等式解决简单的求最值的问题。【教学难点】基本不等式几何意义的探究。【教学过程】一.课题导入基本不等式的几何背景：从风车到国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。希望我们一起怀揣着强烈的民族自豪感逆风而上追求卓越。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。二.讲授新课（探究一）重要不等式1.将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。问1：不等式两边可以相等吗？（借助几何画板）问2：这个不等式对于任意实数a，b都成立吗？2．总结结论：一般的，如果结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导。3．思考证明：你能给出它的证明吗？4．用化归转化思想由重要不等式得到基本不等式特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b，可得，通常我们把上式写作：（探究二）从不等式的性质推导基本不等式用分析法证明：要证(1)只要证a+b(2)要证（2），只要证a+b-0（3）要证（3），只要证（-）（4）显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。（探究三）理解基本不等式的几何意义在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝.这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.因此：基本不等式几何意义是“半弦不大于半径”评述：1.基本不等式几何意义是“半弦不大于半径”2.在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.三学以致用当x取什么值时，的值最小？最小值是多少？（学生自主探究）总结基本不等式的应用原则：一正二定三相等例2．(1)用篱笆围一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少?四课堂小结（思维导图）1.重要不等式：重要不等式成立的条件等号成立的条件2.基本不等式：基本不等式成立的条件等号成立的条件3.基本不等式的意义基本不等式的代数意义基本不等式的几何意义4.本节课用到的数学思想方法有哪些：五布置作业（1）预习作业（课本例2）（2）书面作业（课本P100习题3.4A组2、3）（3）弹性作业（课本P100习题B组1）【板书设计】课题:§基本不等式（第1课时）1.课题导入重要不等式基本不等式成立条件：例1例2学生板书【教学反思】整个一节课，学生先通过自主分析、观察，然后再与小组其他同学交流探讨，老师只是课堂的参与者或指导者，为学生创造一个个问题情境，在这个过程中，不限制学生的思维，要重视学生获取知识的体验和感悟。把发现、体