不等式版块三均值不等式的应用教师版

均值不等式均值不等式的应用知识内容知识内容版块一．不等式的性质1．用不等号表示不等关系的式子叫做不等式．2．对于任意两个实数和，在三种关系中，有且仅有一种关系成立．3．两个实数的大小比较：对于任意两个实数，对应数轴上的两点，右边的点对应的实数比左边点对应的实数大．作差比较法：；；．其中符号表示它的左边与右边能够互相推出．4．不等式的性质：性质1：（对称性）如果，那么；如果，那么．性质2：（传递性）如果，且，则．性质3：如果，则．推论1：（移项法则）不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．推论2：如果，则．我们把和（或和）这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式．推论2说明：同向不等式的两边可以分别相加，所得的不等式与原不等式同向．推广：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．性质4：如果，，则；如果，，则．实数大小的作商比较法：当时，若，且，则；若，且，则．推论1：如果，则．推广：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．推论2：如果，则．推论3：如果，则<教师备案>1．对于任意两个实数，有；；，这几个等价符号的左边反映的是实数的运算性质，右边反映的是实数的大小顺序．由此知：比较两个实数的大小，可以归结为判断它们的差的符号．这是不等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明，证明不等式和解不等式的主要依据．在学习了不等式的性质后，比较两个实数的大小还可以用作商法，与比较，但这时要注意分母的正负情况．2．比较两个代数式的大小关系，实际上是比较它们的值的大小，又归结为判断它们的差的符号，要引导学生意识到比较法是不等式证明的基本方法．它有两个基本步骤：先作差，再变形判断正负号，难点是后者．这里的代数式的字母是有范围的，省略不写时就表示取值范围是实数集，它的主要变形方法有两种，一是因式分解法，二是配方法，变形时要尽量避免讨论，让依据尽量简便．3．可以介绍异向不等式，并提醒学生注意什么样的不等式可以相加相减．对于不等式的性质与推论，可以根据学生的情况适当进行推导（比如性质４的推论３可以用反证法证明），让学生知道这些定理的来龙去脉，在不等式的证明中减少想当然，对数学证明的严格化有一定的认识．版块二．均值不等式1．均值定理：如果（表示正实数），那么，当且仅当时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．2．对于任意两个实数，叫做的算术平均值，叫做的几何平均值．均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．3．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．<教师备案>1．在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几点：⑴函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；⑵函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；⑶只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值．运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等．2．均值不等式的几何解释：半径不小于半弦．⑴对于任意正实数，作线段，使；⑵以为直径作半圆，并过点作于，且交半圆于点；⑶连结，则，∵∴，当时，在中，有．当且仅当时，两点重合，有．3．已知：（其中表示正实数），有以下不等式：其中称为平方平均数，称为算术平均数，称为几何平均数，称为调和平均数．证明：∴∵，∴，当且仅当“”时等号成立．∴，当且仅当“”时等号成立．∵∴，当且仅当“”时等号成立．∴∴，当且仅当“”时等号成立．了解这组不等式对解决一些不等式的证明题会有帮助，可选择性介绍．板块三．解不等式1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式不等式，叫做一元二次不等式．有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解．2．解不等式⑴解一元二次不等式通常先将不等式化为或的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于时两根之外，小于时两根之间；⑵分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理；⑶高次不等式主要利用“序轴标根法”解．典例分析典例分析若，则的最小值是___________．【考点】均值不等式的应用【难度】1星【题型】填空【关键字】2022年，北京市海淀一模【解析】，当且仅当，即时取等号．【答案】4;设，则的最小值是（）A．2B．4C．D．5【考点】均值不等式的应用【难度】3星【题型】选择【关键字】2022年，四川高考【解析】【答案】B；若为的三个内角，则的最小值为．【考点】均值不等式的应用【难度】2星【题型】填空【关键字】2022年，北京宣武1模【解析】，且，因此，当且仅当，即时等号成立．【答案】设，则（）A．有最大值B．有最小值C．有最大值D．有最小值【考点】均值不等式的应用【难度】2星【题型】选择【关键字】2022年，北京丰台1模【解析】∵∴；而．【答案】B；已知：（其中表示正实数），求证：【考点】均值不等式的应用【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】要证明的这一串平均值不等式可以看成是均值不等式的变形，掌握好这一串不等式可以对我们计算和证明提供方便．其中，称为反调和平均值，称为平方平均值，称为形心平均值，称为算术平均值，称为希罗平均值，称为几何平均值，称为调和平均值．下面采用直接作差或平方后作差比较法证明这一串平均数不等式．证明：∵∴，当且仅当“”时等号成立．∵∴，当且仅当“”时等号成立．∵，∴，当且仅当“”时等号成立．∵∴，当且仅当“”时等号成立．又由易得:，当且仅当“”时等号成立．综上有：，当且仅当“”时各等号成立．设，求证：，当且仅当时等号成立，进一步证明：，当且仅当时各等号成立．【考点】均值不等式的应用【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】∵，且，∴，当且仅当时取到等号，故原不等式成立，当且仅当时等号成立．由此不等式知：，即，当且仅当，即时取到等号；又，∴，当且仅当，即时取到等号；，当且仅当时取到等号，∴，又∵，∴，当且仅当时取到等号．综上知：，当且仅当时各等号成立．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：．⑴在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到千辆/小时）⑵【考点】均值不等式的应用【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】⑴依题意，，当且仅当，即时，上式等号成立．所以（千辆／小时）⑵由条件得，∵，故可整理得，即，解得.答：当千米/小时时，车流量最大，最大车流量约为千辆/小时．如果要求在该时段内车流量超过千辆/小时，则汽车的平均速度应大于千米/小时且小于千米/小时．某种汽车购车费用是万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费和约为万元，年维修费第一年是万元，以后逐年递增万元．问这种汽车使用多少年报废最合算?(最佳报废时间也就是年平均费用最低的时间)【考点】均值不等式的应用【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】设使用年平均费用最少，由于“年维修费用第一年是万元，以后逐年递增万元”，可知汽车每年维修费构成以万元为首项，万元为公差的等差数列，因此，汽车使用年总维修费用为万元．设汽车的年平均费用为万元，则有，当，即（负值直接舍去）时取到等号，即当汽车使用年报废，年平均费用最小.答：这种汽车使用年报废最合算．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：），能使矩形广告面积最小？【考点】均值不等式的应用【难度】3星【题型】解答【关键字】2022年，湖北高考【解析】略【答案】法一：设矩形栏目的高为，宽为，则． ①广告的高为，宽为，其中，．广告的面积．当且仅当时等号成立，此时，代入①式得，从而．即当，时，取得最小值．故广告的高为，宽为时，可使广告的面积最小．法二：设广告的高为宽分别为，，则每栏的高和宽分别为，，（其中，）两栏面积之和为，由此得，广告的面积，整理得．因，所以．当且仅当时等号成立，此时有，解得，代入，得，即当，时，取得最小值，故当广告的高为，宽为时，可使广告的面积最小．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为米的无盖长方体沉淀箱．污水从孔流入，经沉淀后从孔流出．设箱体长度为米，高度为米．已知流出的水中，杂质的质量分数与的乘积成反比．现有制箱材料平方米，问当各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(孔的面积忽略不计)【考点】均值不等式的应用【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】法一：设为流出的水中，杂质的质量分数，则，其中为比例系数，依题意，即要求对应的的值，使得的值最小．根据题设，有，得 ①于是，当时取等号，此时取到最小值，这时或（舍去），将代入①式得．故当为米，为米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.法二：依题意，即要求对应的的值，使得最大.由题设知即∵∴当且仅当时，上式取等号．由，解得．即当时，取得最大值，其最大值为.∴，解得.故当为米，为米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.设计一幅宣传画，要求画面面积为，画面的宽与高的比为，画面的上下各留的空白，左右各留的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？【考点】均值不等式的应用【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】设画面的高为，宽为，则，故，设纸张面积为，则有，当且仅当时，即时，取最小值，此时，高，宽.如果，则上述等号不能成立．现证函数在上单调递增．设，则，因为，又，所以，故在上单调递增，因此对，当时，取得最小值.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为(单位：)的矩形．上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积.问分别为多少(精确到时用料最省?【考点】均值不等式的应用【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】由题意得∴于是，框架用料的长度为：，当，即时等号成立.此时，，．答：当为，为时，用料最省．某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留宽的通道，沿前侧内墙保留宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大．最大种植面积是多少？【考点】均值不等式的应用【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】设矩形温室的左侧边长为，后侧边长为，则.蔬菜的种植面积．所以当，即时，．答：当矩形温室的左侧边长为，后侧边长为时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为.对个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：为，要求清洗完后的清洁度为．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为．设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是，用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度．⑴分别求出方案甲以及时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；⑵若采用方案乙，当时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小?【考点】均值不等式的应用【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】⑴设方案甲与方案乙的用水量分别为与，由题设有，解得．由得方案乙初次用水量为，第二次用水量满足方程，解得，故．即两种方案的用水量分别为与．因为当时，，即，故方案乙的用水量较少．⑵设初次与第二次清洗的用水量分别为与，由，由（*），于是，当为定值时，，当且仅当时等号成立．此时（不合题意，舍去）或将代入（*）式得．故时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为：与，最少总用水量是．按照某学者的理论，假设一个人生产某产品的单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为．现假设甲生产、两种产品的单件成本分别为元和元，乙生产、两种产品的单件成本分别为元和元，设产品、的单价分别为元和元，甲买进与卖出的综合满意度为，乙卖出与买进的综合满意度为；⑴求和关于、的表达式；当时，求证：=；⑵设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综