五年(2018-2022)全国高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷北京天津卷等)专题20立体几何多选、填空(解析版)

2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编

专题20立体几何多选、填空

一、多选题

1.（2022新高考全国II卷•第11题）如图，四边形ABC。为正方形，平面A8CD，

==记三棱锥E-ACD,F-ABC,/一ACE的体积分别为匕,匕,匕，则

)

设AB=ED=2FB=2a,因为E£）J_平面ABC。，FB\\ED,则

乂=；皿山8=；・叫。心#,

j]I2

%./.（2。『连接3。交AC于点“，连接易得B£）_LAC,

又E£>_L平面ABCD,ACu平面ABCD，则ED，AC,又D8。=。，E。,B。u平面BDEF,

则AC,平面BDEF，又BM=DM=LBD=ga,过F作FG工DE于G,易得四边形BDGF为

2

矩形，则FG=8D=2缶,EG=a,

则EM=42a『+（伍y=痘,FM="+（亚a『=&a，EF=相+（26aj=3。，

2222

EM+FM=EF^则£^_1根，SEFM=-EM-FM=^a,AC=2®，

⑷22

则匕=%.上视+匕一0”=（4。£".用=2。3,则2匕=3匕，匕=3%,%=%+%,故A、B错误；

C、D正确.故选：CD.

【题目栏目】立体几何'简单几何体的表面积和体积'空间几何体的体积

【题目来源】2022新高考全国II卷•第11题

2.（2022新高考全国I卷•第9题）已知正方体48co-ABCQ,则（）

A.直线BG与所成的角为90。B.直线BG与CA所成的角为90。

C.直线与平面BBQ。所成角为45°D.直线8c与平面A8CD所成的角为45°

【答案】ABD

解析：如图，连接gC、BC、,因为QAJ/BC，所以直线BG与瓦。所成的角即为直线BG与。A所

成的角，因为四边形BgCC为正方形，则耳CJ.BC，故直线BG与DA所成的角为90°,A正确;

连接AC，因为4瓦_L平面B4GC,

4与J.BQ,

因为4CL8G，4404。=片，所以80，平面Age,

又4。u平面44c，所以BG^CA，故B正确；

连接4G，设AGngQ=。，连接8。，

因为BB11平面45G。，G。U平面4耳GA,则G。lBtB,因为C。18,0,,B,D,cBXB=B},

所以G。，平面88QQ,

所以ZC.BO为直线BG与平面BBQQ所成的角,

设正方体棱长为1，则CQ=白，BC、=母,sinZC,56）=-1^=i

所以，直线与平面8片口。所成的角为30。，故C错误;

因为平面ABCO,所以NGBC为直线8G与平面ABCD所成的角，易得NGBC=45。,故D

正确.故选：ABD

【题目栏目】立体几何'空间角\直线与平面所成的角

【题目来源】2022新高考全国I卷•第9题

3.（2021年新高考全国H卷•第10题）如图，在正方体中，。为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为

正方体的顶点.则满足的是（）

【答案】BC

解析:设正方体的棱长为2,对于A,如图（1）所示,连接AC,则MN〃AC,

故NPOC（或其补角）为异面直线OP,MW所成的角，在直角三角形OPC,OC=&，CP=1,故

1_y/2

tanZ.POC=，故MNJ_。尸不成立，故A错误.

对于B,如图（2）所示，取NT的中点为Q,连接尸Q,OQ,则OQLNT,PQLMN,

由正方体SB。/-N4DT可得SNL平面4VDT,而OQu平面4VDT,故SNLOQ,而SNnM7V=N,

故OQ1平面SN7M,又Wu平面SN7M,OQ1MN,而（9。口尸。=。,

所以MV_L平面OPQ,而POu平面OPQ,故MN工OP,故B正确.

对于C,如图⑶，连接BD,则BDHMN,由B的判断可得OPVBD,

故OP_LMV,故C正确.

对于D,如图（4）,取4）的中点Q,的中点K,连接

AC,PQQQ,PK,OK,则AC//MN,

因为OP=PC,故PQ//AC,故PQ//MN,所以NQP。或其补角为异面直线PQ,MN所成的角,

yf

图（4）

因为正方体的棱长为2,故PQ=；AC=夜，OQ=ylAO2+AQ1=>/1+2=>73,

P0=4PK2+OK-="R=后，QO-<PQ2+0P2,故NQPO不是直角，故PO,MN不垂直，故D错

误.故选BC

【题目栏目】立体几何'空间点、直线、平面之间的位置关系'空间中点线面的位置关系

【题目来源】2021年新高考全国II卷•第10题

4.（2021年新高考I卷•第12题）在正三棱柱ABC-A耳G中，A8=A4,=1,点P满足而=4配+〃西，

其中0』］,则（）

A.当4=1时，△AB/的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥P-ABC的体积为定值

C.当；1=；时，有且仅有一个点P,使得8尸

D.当〃=；时，有且仅有一个点P,使得A3,平面A87

【答案】BD

易知，点尸在矩形BCG4内部(含边界).

对于A,当4=1时，弗=前+〃瓯=而+〃%,即此时Pe线段CC1,△Agp周长不是定值，故A

错误；

对于B,当〃=1时，丽=2配+西=瓯+彳瓯，故此时P点轨迹为线段,而4G〃8C,B,C,//

平面ABC,则有P到平面A8C的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确.

对于C,当2时，8户〃期；取BC,8C中点分别为。，H,则丽=项+〃函，所以

p点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，41号,0,1,P(O,O,〃),q0,；,()),

贝|」乖=一冬(),〃一1,丽=(0,-g,“，"("-1)=0,所以〃=o或〃=1.故均满足，故c错

误；

对于D,当〃=；时，BA=4B(j+：BB；,取BB-CQ中点为”,N.丽=丽+义丽，所以P点轨

乙乙

(1A(上、—(白一一(有1、

迹为线段MN.设P0,为,不，因为A—A0,所以AP=-宁,%，5,AB=，万，-1，所

3111

以]+]%-5=0=%=-万，此时P与N重合，故D正确，故选BD.

三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

【题目栏目】立体几何'空间向量及其运算'空间向量的运算

【题目来源】2021年新高考I卷•第12题

二、填空题5.（2021年高考全国甲卷文科•第14题）已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30〃则该圆

锥的侧面积为

【答案】39乃

解析：•.•！/=工乃6?7=30万

3

故答案为：39万.

【题目栏目】立体几何'简单几何体的表面积和体积,空间几何

体的体积

【题目来源】2021年高考全国甲卷文科•第14题

6.（2021年全国高考乙卷文科•第16题）以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和

俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一

【答案】③④

解析：选择侧视图为③，俯视图为④,

如图所示，长方体ABC。—44GA中，

AB=BC=2,BB]=1,

分别为棱B©,BC的中点，

则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥E—

故答案为：③④.

【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数

量关系.

【题目栏目】立体几何'空间几何体的结构特征及其直观图、三视图'空间几何体的三视图

【题目来源】2021年全国高考乙卷文科•第16题7.（2021高考天津•第17题）如图，在棱长为2正

方体ABC。一中，E为棱8c的中点，F为棱CD的中点.

⑴求证：。尸//平面AEG；

（II）求直线AG与平面AEG所成角的正弦值.

（川）求二面角4-AG-E的正弦值.

【答案】⑴证明见解析；（II）也；（III）-.

93

解析：⑴以A为原点，A2,AZ）,例分别为x,y,z轴，建立如图空间直角坐标系，

则A（0,0,0）,A（0,0,2）,8（2,0,0）,C（2,2,0）,£>（0,2,0）,C,（2,2,2）,£>.（0,2,2）,

因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以E（2,l,0）,F（l,2,0）,

所以方=（1,0,-2）,后=（2,2,0）,平=（2,1,-2）,

设平面AgG的一个法向量为石=（M，X，zJ,

m-AC=2x,+2y.=0一/、

则一L，令与=2，则加=（2,—2,1）,

m-A1E=2芯+%—2Z[=0

因为印•而=2—2=0,所以*_L而，因为。尸且平面AEG，所以。///平面AEG；

（II）由⑴得，福=（2,2,2）,设直线AG与平面AEG所成角为6,则]

2_

3x2百一9；

（III）由正方体的特征可得，平面441G的一个法向量为丽=（2,—2,0）,

8__2>/2

3x272~3

所以二面角A-AG-E的正弦值为Jl-cos2（而中=1.

【题目栏目】立体几何'空间角'二面角

【题目来源】2021高考天津•第17题

8.（2020年高考课标II卷文科•第16题）设有下列四个命题：

Pi：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

P2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

P3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

P4：若直线/U平面a,直线平面a,则mJJ

则下述命题中所有真命题的序号是.

①Pl人P4②P|人P2③VP3④V「P4

【答案】①③④

【解析】对于命题P-可设4与4相交，这两条直线确定的平面为a；

若4与4相交，则交点A在平面a内，

同理，4与4的交点B也在平面a内,

所以，ABua，即^ua,命题P1为真命题;

对于命题〃2,若三点共线，则过这三个点的平面有无数个,

命题P］为假命题;

对于命题小，空间中两条直线相交、平行或异面，

命题P3为假命题；

对于命题p4,若直线m_L平面a,

则团垂直于平面a内所有直线，

•••直线/u平面，直线加_L直线/,

命题P4为真命题.

综上可知，马，R为真命题，尸2，打为假命题，

。1人。4为真命题，。1人。2为假命题，

-1^2VP3为真命题,—'PyV—1P4为真命题.

故答案为：①③④.

【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能

力，属于中等题.

【题目栏目】立体几何'空间点、直线、平面之间的位置关系、空间中点线面的位置关系

【题目来源】2020年高考课标H卷文科•第16题

9.（2020年高考课标IH卷文科•第16题）已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球

的体积为.

【答案】也乃

3

【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，

其中8c=2,A3=AC=3,且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为。，

由于AM=\/32—I2=2V2,故^AABC=5X2X2夜=2夜,

BMC

设内切圆半径为r,则:

=SaAOB+SaBoc+SaAoc=gxABxr+gxBCxr+；xACxr=gx(3+3+2)xr=2V2,

切出V2«...m43正

解得：r=-——，其体积：V--7rr3--——7t-

233

故答案为：.

3

【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接

点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各

个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体

对角线长等于球的直径.

【题目栏目】立体几何'球的问题'球的其它问题

【题目来源】2020年高考课标HI卷文科•第16题

10.（2020年新高考全国I卷（山东）•第16题）已知直四棱柱A8CD-481GD1的棱长均为2,ZBAD=60°.以

Q为球心，亚为半径的球面与侧面BCCIBI的交线长为

【答案】也》.

2

解析：如图:

取gG的中点为E，的中点为E，C0的中点为G,

因为445=60。，直四棱柱ABC。—AgG。的棱长均为2,所以△24G为等边三角形，所以

=>/3>RE工B|C|,

又四棱柱ABC。—44GA为直四棱柱，所以84，平面A4G2,所以Bq_LB|C|,

因为6瓦ngG=g,所以RE_L侧面4GCB,

设P为侧面BgCB与球面的交线上的点，则D,E1EP,

因为球的半径为6，*=6,所以|£P|=_田初2=拒,

所以侧面B^CB与球面的交线上的点到E的距离为V2，

因为|EF|=|EG\=C，所以侧面B£CB与球面的交线是扇形EFG的弧FG，

7171

因为N4EF=NGEG=i，所以NFEG=z，

所以根据弧长公式可得FG=-xV2=—

22

【题目栏目】立体几何、空间距离

【题目来源】2020年新高考全国I卷（山东）•第16题

11.（2020年新高考全国I卷（山东）•第15题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面

如图所示.。为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧A8与直

3

线BC的切点，四边形OEFG为矩形，BCLDG,垂足为C,tanZODC=1,BH//DG,EF=12cm,DE=2

cm,A到直线OE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为：Lem,则图中阴影部分的面积为

【答案】4+算

2

解析：设OB=OA=r,由题意AM=AN=7,EF=12,所以N/=5,

因为AP=5,所以NAGP=45°，

因为BHUDG,所以44"0=45°，

因为AG与圆弧AB相切于A点，所以OALAG,

即4H为等腰直角三角形；

在直角△。。。中，OQ=5一与r，DQ=1一号r，

因为tan“DC=,=|'所以2「哈=25-聆,

解得r=2V2；

等腰直角△。4〃的面积为£=1x272x272=4；

2

扇形AQB的面积邑=Jx?%x（2及『=3万，

157r

所以阴影部分的面积为Si+S?—耳乃=4+：.

【题目栏目】立体几何'简单儿何体的表面积和体积'空间几何体的表面积

【题目来源】2020年新高考全国I卷（山东）•第15题

12.（2020年新高考全国卷H数学（海南）•第16题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面

如图所示.。为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧48与直线AG的切点，B是圆弧A8与直

3

线8c的切点，四边形DEFG为矩形，BC±DG,垂足为C,tanZODC=1,BH//DG,EF=12cm,DE=2cm,

A到直线DE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为cm2.

解析：设O3=Q4=r,由题意AA/=AN=7,EF=12,所以Nr=5,

因为AP=5,所以NAGP=45°，

因为BH//DG,所以NA”O=45°，

因为AG与圆弧AB相切于A点，所以。A,AG,

即△QAH为等腰直角三角形；

在直角△0Q。中，OQ=5—Y2「，Z）2=7--r.因为tanNOOC=gg=』，所以

22DQ5

30572

21------r-25------r，

22

解得尸=2正;

等腰直角△Q4H的面积为，=工x2&x2&=4；

2

扇形A08的面积邑=；x网x（2及『=3万，

所以阴影部分的面积为Si+S2—耳1乃=4+彳57-r.

57r

故答案为：44---.

2

【题目栏目】立体几何'简单几何体的表面积和

体积'空间几何体的表面积

【题目来源】2020年新高考全国卷II数学（海南）•第16题

13.（2020年新高考全国卷H数学（海南）•第13题）已知正方体A8CD-4B1QD1的棱长为2,M、N分别为

881、A8的中点，则三棱锥4/VMDi的体积为

【答案】-

3

解析：因为正方体ABCD-481GD1的棱长为2,M.N分别为BBi、AB的中点

lxlxlxlx2=-

所以匕-“岫=

323

故答案为：?

3

【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积,空间几何体的体积

【题目来源】2020年新高考全国卷H数学（海南）•第13题

14.（2020天津高考•第15题）如图，在四边形A8CD中，ZB=60°,AB=3,BC=6,且

AD=ABC,ADAB=~,则实数九的值为,若是线段BC上的动点，且|丽|=1,

则丽•丽的最小值为

113

【答案】【答案】（1）.-⑵.万

【解析】•.•AZ5=/IB3，・・・仞〃BC,../84。=180-/5=120,

ABAD=/1BCAB=2|BC|-|XB|COS120=2x6x3x[—1-|=-92=--,解得义」,

以点B为坐标原点，BC所在直线为％轴建立如下图所示的平面直角坐标系xB.y,

•;BC=6,C（6,0）,|AB|=3,NABC=60°,r.A的坐标为

3至、

A

2,~

又人力:,有3，则。,设M（x,0）,则N（x+l,0）（其中04x45）,

6

所以，当x=2时，丽___・_丽_取得最小值1：3.故答案为：:1；13

262

三、解答题

【题目栏目】立体几何'线面、面面垂直的判定与性质'线线垂直的问题

【题目来源】2020天津高考•第15题

15.（2020江苏高考•第9题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺

帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半轻为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是

【答案】【答案】12^-5

2

［解析】正六棱柱体积为6x3x22x2=126,圆柱体积为%（与.2=£

422

所求几何体体积为故答案为：1273-^

【题目栏目】立体几何'简单几何体的表面积和体积'空间几何体的体积

【题目来源】2020江苏高考•第9题

16.（2019年高考天津文•第12题）已知四棱锥的底面是边长为&的正方形，侧棱长均为百.若圆柱的

一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体

积为,

【答案】【答案】v

【思路分析】求出正四棱锥的底面对角线长度和正四棱锥的高度，根据题意得圆柱上底面的直径就在

相对中点连线，有线段成比例求圆柱的直径和高，求出答案即可.

【解析工由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2,且垂直相交平分，

由勾股定理得：正四棱锥的高为2,由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，

有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1,即半径等于;；

由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1,

2

则该圆柱的体积为：V=5/2=^（1）X1=^;故答案为f

244

【归纳与总结】本题考查正四棱锥与圆柱内接的情况，考查立体几何的体积公式，属基础题.

【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积'空间几何体的体积

【题目来源】2019年高考天津文•第12题

17.（2019年高考全国HI文•第15题）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为

长方体ABCD-挖去四棱锥。-EFGH后所得的几何体，其中。为长方体的中心，E,F,G,H

分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,A4,=4cm.3D打印所用的原料密度为0.9g/cn?,不考虑打印

损耗，制作该模型所需原料的质量为g.

【答案】【答案】118.8

【解析】该模型为长方体ABCO-4BCR，挖去四棱锥O-E尸G”后所得的几何体，其中。为长方体

的中心,E,F,G,H,分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,A4,=4cm,

,该模型体积为：

3

XASCD-AS,C.D,-VO-EFGH=6x6x4-1x（4x6-4x1x3x2）x3=144-12=132（c/n）,

••・3。打印所用原料密度为0.9g/，不考虑打印损耗，

.•.制作该模型所需原料的质量为：132x0.9=118.8（g）.故答案为：118.8.

【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积,空间几何体的体积

【题目来源】2019年高考全国HI文•第15题

18.（2019年高考全国H文•第16题）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多

为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是"半正多面体"（图1）.半正多面体

是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48

的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共

有个面，其棱长为.（本题第一空2分，第二空3分.）

图1图2【答案】【答案】26,V2-1

【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共

有18+8=26个面.

解法一：如图，设该半正多面体的棱长为x,则4B=8E=x,延长CB与EE交于点G,延长3C交

历

正方体棱于H，由半正多面体对称性可知，A5GE为等腰直角三角形，.•.BG=GE=C"=—x,

2

G〃=2x也x+x=（啦+l）x=l，二元=7^=亚—1,即该半正多面体棱长为五—1.

解法二：设棱长为。，如图做

出该几何体的截面，CD=1,CE=1,又ACDE为等腰直角三角形，则及xL兰=。，解得

6Z=V2-1>则棱长为血一1.

【点评】本题考察数学文化，立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原关键，遇到新题别慌

乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键.立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快

速还原图形.

【题目栏目】立体几何'空间几何体的结构特征及其直观图、三视图,空间几何体的直观图

【题目来源】2019年高考全国II文•第16题

19.（2019年高考全国I文•第16题）己知NAC8=90。，P为平面ABC外一点，PC=2,点尸到NAC8两

边AC,的距离均为百，那么P到平面ABC的距离为.

【答案】【答案】V2

【解析】如图，过P点做平面ABC的垂线段，垂足为O,则PO的长度即为所求，再做

PE工CB,PFLCA,由线面的垂直判定及性质定理可得出尸_LCA,在mAPCE中，由

PC=2,PF=£,可得出CE=1,同理在RfAPCE中可得出CE=1,结合NACB=90°,

0后，。8,0尸，04可得出。£=。尸=1,OC=BPO^>JPC2-OC2

【题目栏目】立体几何'空间距离

【题目来源】2019年高考全国I文•第16题

20.（2019年高考江苏•第9题）如图，长方体48a>-A8CA的体积是120,E是CQ的中点，则三棱椎

E-BCD的体积是.

【答案】【答案】10

VE-BCD5sABCDEC_1SgcD1x1=1

【解析】因为生」X

腺方体S矩形A8CDC[C3S矩形ABC。GC32212

所以%-BCO='上方体=，xl20=10.【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积、空间几何体

的体积

【题目来源】2019年高考江苏•第9题

21.（2019年高考北京文♦第13题）已知/,加是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断：

①/_!_，“；②〃z//a；③/J_a.

以其中的