2017年中国女子数学奥林匹克试题图片版

1.（I）求所有正整数心使用对任意的哥数%均有求所有正整数和使用对任意的奇数1.（I）求所有正整数心使用对任意的哥数%均有求所有正整数和使用对任意的奇数d均有丸如图】，在凸四 A边形AtiCJ）中r/HAD 水十2/RCC=网\K\~~-J-\jY乙以d的平分嶷与线 \a4v^段小0交于点场线段 \/ME的中垂姚分别与 Y直绕面、功交于点 回17氏明T4八CJ四点共0h―—a*o岛eRgjwf）.硬明；（（】■酊…门卜喏样川,喈j，，将16个%愿公而，…号;而分成刈如,怦WI八个数.壮其中一期的八个数之10为"另i朗的八个数之和为"清雄出一秒分甥方案也得|小削艮小侪说明弹由.5.求最大的实数心使得财任盘的正帙数Ji和满足o=Xo<1,<iit=I的数列僮』『均君,H5Thl>c九班巴为莅鹏敬鹏为有限集合•映时力JrTX1M是对住■的de/看了岫（GfH中,尸穴公=/1/"”（幻】3。2）.淌足t,II/，/*"・■11.2.…M.对鼻可ti如下榛作：捻里也F同一记题为集合以£加/5（常旧城的元素个蠹时于任意的整数七证明：⑴叫煎n^^=0：C*冬fg誉为非负整政3如图2,民心为四边肥RBC。的外接前,直线A。与即交于点M直埃"与网交于点F.HH门分别与缝段EB.EC切于点旦与阑门丈于点QJL宜线配、4D分别与电线地V交于点S.E证明:Q、Mf、Tpq点其圈一工蛤定正整改取，盘慢方格衣B-**■》行或同一列的两个依■交换它。;的拉博.匕余『-2个败保持不效ii种操作魅力一次就快.米最小正整数/使得射任意的孔氏可以理过不加过m次对换.把A交成H.参考琴案1“1）雪■为偈效时./■1《n«Uh当样为哥数时.a'*I・（・l），】《mnri4）.国此，所求的品为所宥正偶融.（2｝先证明.当2imh时遇满足条杵.设外■*%/■八网■产・1■1BT）（重加叫.其中，第・个票第为g的佶为.箕余工M4个款数均为偶数.故通唐魁条件.下KW明：当laWin时.不一是条件，诜如（2i+l*QENj«2014）.著M（Uk.・3jUh*-I-3-l-2（n»d4，n不漕足条件、声tEWZ川4阳口H3冲41・3F■（八1）位叫■僚承⑴（金叫册」-1个乘数各有，个？的用子3-1才三个2的因子.■揩一个兼收为奇ft故--1仅料1+2C2O语个2的因子小不清足条件.象岷心裨川分则为点4到直发CA的甑足」/甘分别为点片美于宣维AC,切的时施累.取证明4jr、c、v四点共觑，由西螂松定》的逆定理.知只需证嗝E,盟JV三点共蝇M然/押力分别为线段乂£/5乂1的中点.收只需证即三点共级山独一曲」九艺由近而亚-施，Zt/M¥4ZKBD+Zmr*ZlDfY如.ISO、/SCD）/血*340a+ZffCO-ZABC-ZADC=1BO\/WdBCD西点U5在直缠的的的《L且Z（/at»Zn>£ftA诞5匕I现n/fi£V=/g.站含点心V在总线的曲■*却取队V三点失坡.3,若则命噩成工黄1-£鸣N0国（「[aj叩4叫】4口曲%），（】4~,『叩-[,）（，»%卜故伸喏g『“哈*/『叫7切川1喑j4•换个描述方式;记*=2皿I把票包r・IQJ.-J3I分底川个互冲妈八元干集机京圮小喝小F%对寿班整数小记集ft41的元*的E次方之加分期为I嚏LM.唱「其中4:1・日力元’素代艮注危到.2/6上34产£1*14400.上34产£1*14400.n向孙R喈），以’31于是,I，二歹I的大小与也一尻1,以7/「・.凡.81，…的大小有美.且存在雕-的正整败上使得一,凡人■—「*人・■%广祖凡~匹若找到一r#+i次苜♦多项式q⑴=产、£“满足对每个工e肩c；・m）fc；.其中，下界q〈露上界q汪5且上下界之差0=c；-c*不是很大，就灯以附I#■万：做如F嵇让下置者愿多即式4（。除以一次筮项式"时的玷果.鹿读得到余式为常收多项式凡=c.gm）,ia及陶式为k次苜一塞项式*《，”*-%x® 1~一…出…其中国黑*“/「电.口为固定的系数，此时.14M1 1*M JM缶降务上式分别对于集育儿3中的八个元索求和得**和.球+普。」**用出,**X》.以上两式和峨*芥曲已知乐・物（»口队—U用一gXjjC（4.口1）*无.（』*-*）

若*=d.4*Ht.由奇日性坦I4-坎1至少为2眼家项式G（*》=*G-15）清足财任毒的i€丁.衮-56餐GU）wo,其上下界之4fH^1=JW（W+15）=2002m2017.差比较大若上口2乂工・风,由奇理性知14■昆I至少为2,取髻翔式GUIH・一|j/濡是对住意的fET.有网■其上下鼻之第G=3W.余数用--*«朋+1”上--200Zs2OJJ1.则/、*点认・町■册里It比较大.若±=3人~%,注宜巩6H7-D0制。-1）小川）.于是।片"、空”埼为整起物两者OQ之和为偈败做网看之墓也力偈也乂A产R㈠从而.岛-也必知此的侪ft,以至今为I2取霎理式GG）・，U・7）«-3）（r-l5）演足时任意的■巨r/-%G30.其上下界之翦G=744.余数瑞=粗制+7“川”）（,八13）*25Q3x2OIO*2Oilwtn.周内・修■苧）3/613'8xf।途--叫j 上差还是比较大,由的蝴只有4=2出=%4=舄.才可能使差I小■用1变得更可、考虑0」,…」5的二进制表示中含奇数个1还是偶数个I来箝出一个分组：一.|%3”,叫电⑶.B="口内 ①这个分第满足4l=fl,血044n%，同时,从1t■"a=15心取多项式或3=皿-5）"13）口-14）褥足对任意的，£兀有。＜&（1）导300。,其上下界之差蜀:3000.余数用=—M（解+5〉«**13“盟+14》=-2（XJ2m200f73x2t）15a2Q16，恻11-*1＜；］：精「%W号）1536+8xyW ——-＜50x10uT报差比较小了.量后证明:当分组耦足/由&…4=里时,分般①是唯一的方式理将立方数模9的余数的特点，即当f模3命614时/模3的余数分别为0,1、三1«*1m模9的余数分噩为1-1Q由⑨产■Q［mtti9L知",■We用9）『由£cfiM.Mmod幻.知***a=gd（w心秘中穗；余ujM的元索个敦分刷力,、叫,叫,日蛆中模3命。」、工的元ft专数分别为小、瓦内,嬲*-叼«0（mftd9）网-a,«5（n»d9）.瓦.与eQ（nKd91・比一M・8dkk19）.由于叱四、%、%离心均为。至6的整数,于是必已卬卜尸瓦.且事，与4-瓦只能为S或一4X（A＞一.）+（与-%）曰1,剜4瓦一％性有一个*&T为—4.不妨设4一%=工从而.■=6*%=%=1.即集合M包含了集合7中的六个3的倍装2r3声*12,15.此时.可算得集合同申其他两个数之和为K,平方和为L然,它＜］为|5」。|.故集合』=母,九工如九1。』2,15|.因此赭足/=BeA=%的分置方式是唯一的I在两期可文覆的意更下J.国+点币（时-力A£（匕♦・产事1T）4/6lflf(nJ)'色以集合x中的元素为顶点，按如下方式构造有向图电对于丘治当且仅当大工)=/时，连“条从/指向y的有向边.注意到，时于/的不动点3图6中有一条从工指向自身的环边.朝:其是长度为I的轨道由条件,知对任彘的工有尸叫H)=N.则f为双射.故删去了的所有不动点及对应的环论之后,我下的图中短个点的出度和入度均为1.由图抡中幕S1的结诙.怎期下的图可以分拆成若干个不相交的有向・解用”将每个这样的有向网称为一个帆it对于一个长度为1的蜕道L射轨道上的任何II点々易知J51W三工的充分必嬖条件是f",特别地」为「的约数,旦轨道*中的5(点到的不动点的充分必要条件为『小设图G中共有p个瓢道(包括长度为I的就道),氏度分剧为《4,…，&由前述，时正处敷心有叫退。常叫户4恪4}U?)分册号瞰式①的虚部、支解.般例钏原H中所要匿明的曲个站地.九注戏期.ZFF5m/£UV口/E、H-Z励T=/EWV-NWES=£0i.£FST.于是，二值由正弦定理知AT«inZ45THS«dZ触悟AW"titt/AmHH一如ZWGS__/ISDT_am£DHf.-.由lin/CSV*而=sinNATM,少^z^rv=zww=z<w-ZAxv.IWT-NAMS-NIWT=£AiW不上然工於Y献认则结ife①中妁痹个等式右边好分子和分母均相同^ATBSCSDTM,

故丽'而不击"两仙由41丁,知存在圆小与F§J丁分则切于点乳工设做心,4,门的舞心分别不外./、心，半程分别为外"..%时平面上任意一点巴定义人用，(肥7)(股-3)「也呵・也♦(同・肩・

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