线性代数(本)习题册行列式-习题详解

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

行列式的概念logflft1

1logZ?«

一、选择题

1,,,„

1.下列选项中错误的是（）解析：=logflfc\ogba—1=1—1=0.

1logb”

abdcibdb

(A)(B)

dbda

a+3cb+3dabh—a-b

(C)

dcdd-c—d

答案：D

2.行列式。不为零，利用行列式的性质对。进行变换后，行

nn2x13

列式的值（）.

3.函数/(x)=x-X1中，尤3的系数为_______

（A）保持不变；（B）可以变成任何值；21x

（C）保持不为零；（D）保持相同的正负号.

2x1—1

答案：Cg(%)=-X一XX中，％3的系数为_______

二、填空题12X

答案：-2；-2.

1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

4.〃阶行列式。中的〃最小值是ab0

n

-ha0=0.

答案：1.—10—1

123

ab0

5.三阶行列式024中第2行第1列元素的代数余子式ab

解析：-ba0(-1)=一(。2+。2)=0

31-1-ba

-10

等于.

故。=0,b=0.

答案:5.

三、解答题

2%81.用行列式的定义计算.

6.若与=0，则足.

12--------0101

1010

答案：2.(1)

0100

7.在〃阶行列式。=卜」中，当i<*h==

1tj'u0011

则D=.110101

解：原式=lx(-1)1+2000+lx(-1)1+4010

答案：aaa.

1122nn010001

8.设a,b为实数，则当a=,b=时，

2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

于是入=—1或1.

四、证明题

1.(略)

行列式的性质

一、选择题

X01232

设行列式q=0x-10，D=153，若°=D

212

(ef0fy0f10X311

ac-d+bd

则X的取值为().

(A)2,-1；(B)l,-1；(C)0,2；(D)0,1

=adfh-bdfg

答案：B

X01311

aaa

2.设行列式。।0X-l0D232，若…，111213

22.若。=aaa=3,

10X153212223

aaa

313233

求入的值.

2a5a+aa

解：由对角线法则，得。=0ii131213

12

贝屹=2a5a+aa

若q=£),,则6+1)6—=o121232223

2a5a+Cla

31333233

3文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

(A)30；(B)-30；(C)6；(D)-6.5x123

21x3

答案：C4.行列式D—的展开式中，型的系数

4xx23

二、填空题

121--3x

1.若三阶行列式。的第一行元素分别是1,2,0,第三行元素的余

子式分别是8,x,19,则工=.为______.；%3的系数为——

解析：1X8—2X+0X19=0,X=4.5x1235x123

21x3xx23

11201620181解析：D=——

2。(201420161=-------4Xx2321x3

121-3x121-3x

112016

解析：以42018_2222

==4.含X4,X3的项仅有主对角线上元素之积项，故X4,X3的

2016~2014201602

系数分别为15,-3.

abc

三、解答题

3.行列式。=bac，则4+A+A

ii21311.计算下列行列式.

dbc

1234

1b2341

(1)

解析：A+A+A-1ac-Q.3412

II2131

1b4123

解：各行加到第一行，得

4文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

1010101011111491614916

2341234135793579

原式==10原式=—=0.

34123412579112222

412341237911132222

111111110y0X

012-1012-1X0y0

=10=10=160

01-2-100-400X0y

0—3—2—1000-4y0X0

ii111Xy0X0y

i2345原式=一丁00y-X0X0

224252

⑵i32yX0y0X

i23334353

xyz

i24344454=>2-X2=_(X2_y2)、2.

yX

解:原式=(5-4)(5-3)(5-2)(5T)(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1)

=288.1Xyz

14916⑸1y*；

4916251zxy

9162536

16253649

5文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

1xyz1+X111

1

1

原式=。)，一九-z(y-x)11+X11

2

⑺；

0z-x-y(z-x)111+X1

3

1111+X

1z4

=—(y-x)(z—x),=(x-y)(y—z)(z—x).1+X-X-X-X

1y1111

1X00

10100解!：原式=2

10X0

02—1003

100X

(6)310004

KXX

000211+X+--4-+—U+-4--X一X-X

JCXX111

0000-2•

2034X00

2

101000X0

1011013

02-10000X

原式=一23—402—1=-402—14

100

31001-3

=XXXX+XXX+XXX+XXX-{-XXX,

00021234234134124123

2—11-513

=­4=20.

1-31134

2.设计算A+A+4+A的值.

112341424344

2234

6文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

其中狐（厂123,4）是D的代数余子式.21­••1

1-513

113411•••2

解:A+A+A+A=6.

414243441123

1111n+11111…1

2112…1

3-521解:原式=..=(〃+1).

110-1n+11•••21…2

3.已知。=，求M+M+M+M

-131111213141

2—4—1—1111

010

=(7?+1)=7?+1.

解：M+M+M+M

II213141

001

\M+1-M

II213141

Xyy•,y

1-521

yXy•,y

-110-1⑵x-,y

,=0.yy

1311

—1—4-1-1yyy•,X

4.计算下列〃阶行列式.

7文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

111­-1

Z—011…1

y*y­1yx

1+(〃-l)y.“'X

解：原式=yx-0•••0

y1y解：原式=1

00x­••0

2

yyy-■X

000•••x

ii1...i

0x-y00

~-xx•■•X(X—).

=00x012«X

-y<=1i

四、证明题

000x-y

111

[r+(〃-l)y]

=1.设是互异的实数，证明abC=。的充分必要条

hiC3

011…

1X0・・・0件是a+b+c=0.

1

⑶10x•••0(xw0,i=1,2,-

：2.i111100

证明：abcab-ac-a

100•••x

nQ3b3C343bi-a3C3-as

b-a

加一Q3C3—Q3

8文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

=右边

=(h-a)(c-a)

b2+ab+a2c2+ac+a2克莱姆法则

=(b-a)(c-a)(c2-/72+ac-ab)一、选择题

版+x+x=1,

=(b-a)(c-a)(c-b)(a+h+c)=o,123

1.方程组〈九+标+X=1,有唯一解，则().

123

由于a,b,c是互异的实数，故要上式成立，当且仅当a+b+c=0.x+x+A，x=1

123

(1bcd(A)入彳一1且入。一2；(B)入H1且九H—2；

(1a+ha+b+ca+b+c+d(C)九w1且入w2；(D)九。一1且九W2.

2.证明=Q4

2a+h3a+2b+c4。+3。+2c+d

a11

a3a+b6a+3。+c10。+6。+3c+d

解析：由克莱姆法则，当1X1=(2+九X九-1)2。0,即

11X

abcd

r-r

430aa+ba+b+c入。1且入。-2,选B.

证明：左边r-r

320a2a+b3a+2b+car+Z=0,

r-r

◊-------L0n-\-h6/7++/、

2.当aw()时，方程组＜2x+ax+z=0,只有零解.

ax-2y+z=0

abcdabcd

r-r0aa+ba+b+c0aa+ba+b+c(A)-1；(B)0；(C)-2；(D)2.

43r-r=Q4

r—『00a2a+b4400a2a+b解析：由克莱姆法则，

_3____J4.

00a3a+b000a

9文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

a0100112-1122

当2a1—2—cia1=2(a-2)w00=132=6,D133=9,

23

a-210-21231233

即2,选D.因此方程组的解为

三、解答题

DD.

1.用克莱姆法则下列解方程组.y=君=2,z=,=3.

x+2y-z=2,

x+2x+x-x-1,

⑴<x—2y+2z=3,1234

2x-y+z=3;2x+3x-x+2x-3,

⑵《1234

x+3x+2x+x=2,

12-11234

2x+4x+3x-3x=2

v

解：。=1-22=3。0,1234

121

2-11

23-12

由克莱姆法则知，此方程组有唯一解,解：0=]=4w0

321

22-1

243-3

D=3-22=3,

1

1由克莱姆法则知，此方程组有唯一解,

3-11

10文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

121—1111—11-241-24

33—1223—12=—06_9—06_9=一30。0,

D二=8,D二=-2

1232121221()18一22005

243-3223-3

所以，方程组只有零解.

121-11211x+kx-x-0,

123

233223-133.已知齐次线性方程组〈kx+x+x=0,有非零解，求上的值.

D==2D==2123

3132141322lx~X+X=0

123

242-32432

解：因为齐次线性方程组有非零解，所以该方程组的系数行列式

因此方程组的解为必为零，即

D八D1D1D1七3(1—A2)+(l+A)(l+2左)

x=―L=2xX=—3--X=—X.——

1D23。24D2

=(1+〃)(4一外=0

2x+2x-x=0,

123解得，上=-1或右4.

2.判断线性方程组〈％-2x+4x=0,是否有非零解?

I232x+4x+(|ii-l)x=0

5x+8x-2x=0123

,I23

4.当日取何值时，齐次线性方程组〈(|i-3)x+x-2x=0有非

123

22—11-24—X4~(1—|J)X—X=0

123

解：因为系数行列式。=1-24——22-1

零解？

58-258-2

解：由齐次线性方程组有非零解的条件可知，

11文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

日-

241(A)。＜D；(B)。＞D；(C)。=D；(D)随x值变化而变化.

I21212

口-31-2=0,解得g=0,2,3.

答案：c

—11-日—1

2.行列式“?(a,Ac,deLu,2)的所有可能值