湖北省襄阳市重点高中2021届高三下学期2月调考 数学试题

2021届高三2月调研考试数学考试时间：150分钟卷面总分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．若集合A=，B=，则=()A.B．C．D．2．已知命题，，则是（）A．，B．，C．，D．，3.复数，，则（）A．1B．2C．3D．44．某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5．现从这45名同学中按两项测试分别是否合格分层抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有（）A．1人B．2人C．5人D．6人5．如图，将地球近似看作球体，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），为该地的纬度值．已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即[﹣23°26′，23°26′]．北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬39°54′27″，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为（）A．北纬5°5′33″B．南纬5°5′33″C．北纬5°54′27″D．南纬5°54′27″6．若函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A． B． C．D．7．已知F1、F2分别是双曲线(a＞0，b＞0)的上、下焦点，过点F2的直线与双曲线的上支交于点P，若过原点O作直线PF2的垂线，垂足为M，，，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．8.已知，，，则A．n＞m＞p B．p＞n＞m C．m＞n＞p D．n＞p＞m二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．）9.在△ABC中，，，，则下列结论正确的是A．B．C．D．10.已知函数，给出下列四个命题：（）A.的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．在区间上单调递增D．的值域为11．在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（）A.点可以是棱的中点B.线段的最大值为C.点的轨迹是正方形D.点轨迹的长度为12.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n(n)次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是（）A．，B．数列是等比数列C．的数学期望(n)D．数列的通项公式为(n)三、填空题（本大题共4小题，

每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13.展开式中含的项的系数为_______．（用数字填写答案）14.一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是______；若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的数学期望______．15.如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形的斜边、直角边、，为的中点，点在以为直径的半圆上.已知以直角边，为直径的两个半圆的面积之比为3，，则______．16.已知正方形的棱长为1，以顶点为球心，为半经作一个球，则球面与正方体的表面相交所得的曲线的长等于______________.四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知的面积为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）和的值；（Ⅱ）的值．条件①:,；条件②:,.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题满分12分）已知数列的前n项和满足(n)，且．（1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式；（2）设，为数列的前n项和，求使成立的最小正整数n的值．19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，，，，交于点，为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.20．（本小题满分12分）红铃虫（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．根据收集到的数据，计算得到如下值：252.8964616842268848.4870308表中；；；；（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（计算过程中四舍五入保留两位小数），并求温度为34℃时，产卵数y的预报值．参考数据：，，．附：对于一组数据(，)，(，)，…，(，)，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．21.（本小题满分12分）已知椭圆.（1）求椭圆的离心率和长轴长；（2）已知直线与椭圆有两个不同的交点，为轴上一点.是否存在实数，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，说明理由.22．（本小题满分12分）已知函数．（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；（2）当时，证明：函数有且仅有3个零点．第第页高三年级2月调考数学试卷参考答案及评分标准一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.题号123456789101112答案CDACBCADBCDCDBDBC二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.13.14.,15.16.三．解答题：本大题共6小题，共70分.17．（本题10分）若选择条件①：解：（Ⅰ）在中，因为，所以，. ……………2分因为，，所以. ……………4分由余弦定理，， 所以. ……………5分（Ⅱ）由正弦定理，可得.所以，. 因为，所以，. ……………8分所以. ……………10分若选择条件②：解：（Ⅰ）在中，因为，所以.因为，所以，. ………2分因为，所以. ……………4分由余弦定理，，所以. ……………5分（Ⅱ）由正弦定理得，所以. 因为，所以. ……………8分所以. ……………10分18．（本题12分）解：（1）由①可得，当时，②，①－②得，，……………2分所以当时，，所以，整理得，所以为等差数列．……………4分又，所以，又，所以，所以．……………6分（2）由（1）可得，，……………9分所以．要使，只需，……………11分解得，又，所以n的最小值为8．……………12分19．（本题12分）解：（Ⅰ）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，所以. ……………1分因为，，所以平面.……………3分因为平面，所以.……………4分因为，，所以平面.……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知两两垂直，如图建立空间直角坐标系．则,,,.……………7分设，所以，因为，所以，即. 所以平面的一个法向量为． ……………8分设平面的法向量为，所以所以即 令，则，所以平面的一个法向量为. ……………10分所以. 由已知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. ……………12分20．（本题12分）（1）应该选择模型①．由于模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适．……………3分（2）令，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则.，……………6分所以，……………8分则z关于x的线性回归方程为.于是有，所以产卵数y关于温度x的回归方程为……………10分当时，（个）所以，在气温在34℃时，一个红铃虫的产卵数的预报值为245个．……………12分21．（本题12分）解：（Ⅰ）由题意：，，所以. ……………1分因为，所以，. ……………2分所以. ……………3分所以椭圆离心率为，长轴长为. ……………4分（Ⅱ）联立消整理得：. 因为直线与椭圆交于两点，故，解得. 设，，则，.……………6分设中点，则，，故. ……………7分假设存在和点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，故，所以，解得，故.…………8分又因为，所以.所以，即.整理得.……………10分所以， 代入，整理得，即. ……………11分当时，点坐标为；当时，点坐标为.此时，是以为直角顶点的等腰直角三角形. ……………12分22.（1）因为，……………1分由函数在上为增函数，则在上恒成立.令，，……………3分当时，，所以恒成立.所以在为增函数．所以所以．……………4分（2）由，则所以，是的两个零点．……………5分因为，