人教B版选择性必修第二册3.1.1基本计数原理学案

3.1排列与组合3.1.1基本计数原理学习目标通过实例,了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义,达成数学抽象和逻辑推理等核心素养.完成一件事,如果有n类办法,且第一类办法中有m1种不同的方法,第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.完成一件事,如果需要分成n个步骤,且做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.思考:如何区分“分类”还是“分步”?提示:如果完成这件事,可以分几种情况,每种情况中任何一种方法都能完成任务,则是分类;而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务,且只有依次完成各种情况,才能完成这件事,则是分步.[做一做]一个三层的花架上,第一层放有4盆花,第二层放有5盆花,第三层放有3盆花,现从中任取一盆花,有种不同取法.?提示:12分类加法计数原理[例1](1)一个三层书架,分别放置语文书12本,数学书14本,英语书11本,从中任取1本,则不同的取法共有() B.1848种(2)已知A={-3,-2,-1,0,1,2,3},a,b∈A,则|a|<|b|的情况有种.?解析:(1)取法分为三类.第一类:从语文书中取1本,有12种取法;第二类:从数学书中取1本,有14种取法;第三类:从英语书中取1本,有11种取法.所以共有12+14+11=37(种)取法.故选A.(2)当a=-3时,0种;当a=-2时,2种;当a=-1时,4种;当a=0时,6种;当a=1时,4种;当a=2时,2种;当a=3时,0种.故共有2+4+6+4+2=18(种).答案:(1)A(2)18针对训练:小王有70元钱,现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡.若他至少买一张,则不同的买法共有()解析:要完成的一件事是“至少买一张IC电话卡”,分三类完成:买1张IC卡,买2张IC卡,买3张IC卡.而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事.买1张IC卡有2种方法,即买一张20元面值的或买一张30元面值的;买2张IC卡有3种方法,即买两张20元面值的或买两张30元面值的或20元面值的和30元面值的各买一张;买3张IC卡有2种方法,即买两张20元面值的和一张30元面值的或3张20元面值的.故共有2+3+2=7(种)不同的买法.故选A.分类加法计数原理中的核心是“类”,即完成一件事情的办法有“几类”,每类中的方法都可以把这件事情完成.分类时要做到不重复也不遗漏.分步乘法计数原理[例2](1)(2021·江西南昌高二月考)将3封信投入2个邮箱,则不同的投法共有()(2)从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数的个数是()解析:(1)第一步:投递第一封信,有2种投递方式.第二步:投递第二封信,有2种投递方式.第三步:投递第三封信,有2种投递方式.所以一共有8种投法.故选C.(2)因为a+bi为虚数,所以b≠0,即b有6种取法,a有6种取法,由分步乘法计数原理知,可以组成6×6=36(个)虚数.故选C.针对训练:已知函数y=ax2+bx+c,其中a,b,c∈{0,1,2,3,4},则不同的二次函数共有() 解析:由题意得,a≠0,a的选择一共有4种,b的选择一共有5种,c的选择共5种,根据分步乘法计数原理,不同的二次函数共有N=4×5×5=100(个).故选C.分步乘法计数原理适用于一件事情需要“分步”完成的情况,这些步骤是连续不重复且逐次完成后这件事情即可完成.解题中注意每个步骤的方法数.两个原理的综合运用[例3](1)用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()(2)某单位有4位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是0,1,2,5,为遵守所在城市1月15日至18日4天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),4人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车(车牌尾数为2)最多只能用一天,则不同的用车方案种数是()解析:(1)若个位数字为0,前两位的排法种数为9×8=72;若个位数字不为0,则确定个位数字有4种方法,确定百位数字有8种方法,确定十位数字有8种方法,所以排法种数为4×8×8=256.256+72=328,所以可以组成328个没有重复数字的三位偶数.故选B.(2)15日至18日,有2天奇数日和2天偶数日,车牌尾数中有2个奇数和2个偶数.第一步安排奇数日出行,每天都有2种选择,共有22=4(种).第二步安排偶数日出行,分两类:第一类,有1天安排甲的车,另外一天安排其他车,有2种;第二类,不安排甲的车,只有1种选择,共计1+2=3(种).根据分步乘法计数原理,不同的用车方案种数是4×3=12,故选B.针对训练:(1)有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有() (2)如图,将一个四棱锥的每一个面染上一种颜色,使每两个具有公共棱的面染成不同颜色,如果只有4种颜色可供使用,则不同的染色方法总数为()解析:(1)由题意,选一本语文书一本数学书有9×7=63(种),选一本数学书一本英语书有5×7=35(种),选一本语文书一本英语书有9×5=45(种),所以共有63+45+35=143(种)选法.故选D.(2)当面SAB与面SDC同色时,面ABCD有4种方法,面SDC有3种方法,面SAD有2种方法,面SAB有1种方法,面SBC有2种方法,即4×3×2×1×2=48(种),当面SAB与面SDC不同色时,面ABCD有4种方法,面SDC有3种方法,面SAD有2种方法,面SAB有1种方法,面SBC有1种方法,即4×3×2×1×1=24(种),即不同的染色方法总数为48+24=72(种).故选C.解计数问题的一个基本思想是“先分类,再分步”,即把完成一件事情分为几类办法,再把每类中完成这件事情的方法进行分步,使用分步乘法计数原理得出该类办法中的方法数,最后根据分类加法计数原理得出完成这件事情的总的方法数.1.从5个甲国人、4个乙国人、3个丙国人中各选1人的选法有(D)解析:根据分步乘法计数原理,一共有5×4×3=60(种)选法.故选D.2.十字路口来往的车辆,如果不允许回头,则不同的行车路线有(C)A.24种 B.16种 C.12种解析:完成该任务可分为四类,从每一个方向的入口进入都可作为一类,如图,从第1个入口进入时,有3种行车路线;同理,从第2个、第3个、第4个入口进入时,都分别有3种行车路线,由分类加法计数原理可得共有3+3+3+3=12(种)不同的行车路线.故选C.3.从2,3,4,5这四个数中选两个数作y=logab的底数和真数,则y>1的情况有(B)解析:若a=2,则b=3,4,5,共3种;若a=3,则b=4,5,共2种;若a=4,则b=5,共1种.则y>1的情况有6种.故选B.4.(2021·河北石家庄高二月考)从A地到B地,每天有直达班车4班;从A地到C地,每天有5班车;从C地到B地,每天有3班车,则从A地到B地,每天共有种不同的乘车方法.?解析:分两类.第一类:直接到达,A地到B地,每天有直达班车4班,共有4种方法.第二类:间接到达,从A地到C地,每天有5班车,从C地到B地,每天有3班车,共有5×3=15(种)方法,根据分类加法计数原理可得4+15=19.答案:195.现有3名医生、5名护士、2名麻醉师.(1)从中选派1名去外出学习,有多少种不同的选法?(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组,有多少种不同的选法?解:(1)分三类.