高三优质精准培优专练 数学（理）（学生版）

数学（理）培优点十等差、等比数列40培优点九线性规划36培优点八平面向量33培优点七解三角形29培优点六三角数学（理）培优点十等差、等比数列40培优点九线性规划36培优点八平面向量33培优点七解三角形29培优点六三角函数23培优点五导数的应用18培优点四恒成立问题14培优点三含导函数的抽象函数的构造10培优点二函数零点06培优点一函数的图象与性质01目录Contents培优点二十几何概型93培优点十九圆锥曲线综合86培优点十八离心率81培优点十七圆锥培优点二十几何概型93培优点十九圆锥曲线综合86培优点十八离心率81培优点十七圆锥曲线的几何性质76培优点十六利用空间向量求夹角67培优点十五平行垂直关系的证明59培优点十四外接球56培优点十三三视图与体积、表面积51培优点十二数列求和47培优点十一数列求通项公式43届高三精准培优专练培优点一函数的图象培优点一函数的图象与性质1．单调性的判断例１：（1）函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．（2）的单调递增区间为________．2．利用单调性求最值例2：函数的最小值为________．3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式例3：（1）已知函数的图象向左平移1个单位后关于轴对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．（2）定义在R上的奇函数在上递增，且，则满足的的集合为________________．４．奇偶性例４：已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（）A． B． C． D．５．轴对称例５：已知定义域为的函数在上只有1和3两个零点，且与都是偶函数，则函数在上的零点个数为（）A．404 B．804 C．806 D．402６．中心对称例６：函数的定义域为，若与都是奇函数，则（）A．是偶函数 B．是奇函数C． D．是奇函数７．周期性的应用例７：已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则的值为（）A． B．1 C．0 D．无法计算对点增分集训对点增分集训一、选择题1．若函数的单调递增区间是，则的值为（）A． B．2 C． D．62．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．设函数，则是（）A．奇函数，且在内是增函数B．奇函数，且在内是减函数C．偶函数，且在内是增函数D．偶函数，且在内是减函数4．已知函数的图象关于对称，且在上单调递增，设，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．5．已知是奇函数，是偶函数，且，，则等于（）A．4 B．3 C．2 D．16．函数的图象可能为（）7．奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则的值为（）A．2 B．1 C． D．8．函数的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线关于轴对称，则的解析式为（）A． B． C． D．9．使成立的的取值范围是（）A． B． C． D．10．已知偶函数对于任意都有，且在区间上是单调递增的，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．11．对任意的实数都有，若的图象关于对称，且，则（）A．0 B．2 C．3 D．412．已知函数，，若存在，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．二、填空题13．设函数，，则函数的递减区间是_______．14．若函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则________．15．设函数，，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．16．设定义在上的函数同时满足以下条件：①；②；③当时，，则________．三、解答题17．已知函数，其中是大于0的常数．（1）求函数的定义域；（2）当时，求函数在上的最小值；（3）若对任意恒有，试确定的取值范围．18．设是定义域为的周期函数，最小正周期为2，且，当时，．（1）判定的奇偶性；（2）试求出函数在区间上的表达式．培优点二函数零点培优点二函数零点1．零点的判断与证明例1：已知定义在上的函数，求证：存在唯一的零点，且零点属于．2．零点的个数问题例2：已知函数满足，当，，若在区间内，函数有三个不同零点，则实数的取值范围是（）3．零点的性质例3：已知定义在上的函数满足：，且，，则方程在区间上的所有实根之和为（）A． B． C． D．4．复合函数的零点例4：已知函数，若方程恰有七个不相同的实根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．对点增分集训对点增分集训一、选择题1．设，则函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．2．已知是函数的零点，若，则的值满足（）A． B．C． D．的符号不确定3．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．若，则函数的两个零点分别位于区间（）A．和内 B．和内C．和内 D．和内5．设函数是定义在上的奇函数，当时，，则的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．函数的零点个数为（）A．3 B．2 C．7 D．07．已知函数，则使方程有解的实数的取值范围是（）A． B．C． D．8．若函数在区间内存在一个零点，则的取值范围是（）A． B．C． D．9．已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是（）A． B．C． D．10．已知是奇函数且是上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数的值是（）A． B． C． D．11．已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（）A． B．C． D．12．已知函数和在的图像如下，给出下列四个命题：（1）方程有且只有6个根（2）方程有且只有3个根（3）方程有且只有5个根（4）方程有且只有4个根则正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题13．函数的零点个数为________．14．设函数与的图象的交点为，若，，则所在的区间是______．15．函数的零点个数是________．16．已知函数，，若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围是________________．三、解答题17．关于的二次方程在区间上有解，求实数的取值范围．18．设函数．（1）作出函数的图象；（2）当且时，求的值；（3）若方程有两个不相等的正根，求的取值范围．培优点三含导函数的抽象函数的构造培优点三含导函数的抽象函数的构造1．对于，可构造例1：函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（）A． B． C． D．2．对于，构造；对于，构造例2：已知函数的图象关于轴对称，且当，成立，，，，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．3．对于，构造；对于或，构造例3：已知为上的可导函数，且，均有，则有（）A．，B．，C．，D．，4．与，构造例4：已知函数对任意的满足，则（）A． B．C． D．对点增分集训对点增分集训一、选择题1．若函数在上可导且满足不等式恒成立，对任意正数、，若，则必有（）A． B． C． D．2．已知函数满足，且，则的解集为（）A． B． C． D．3．已知函数的定义域为，为的导函数，且，则（）A． B． C． D．4．设函数是函数的导函数，已知，且，，则使得成立的的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知函数的图象关于点对称，函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．6．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为（）A． B． C． D．7．已知函数是偶函数，且当时满足，则（）A． B．C． D．8．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系正确的是（）A． B． C． D．9．已知定义在上的函数的导函数为，（为自然对数的底数），且当时，，则（）A． B． C． D．10．定义在上的函数的导函数为，若对任意，都有，则使得成立的的取值范围为（）A． B． C． D．11．已知函数是定义在区间上的可导函数，满足且（为函数的导函数），若且，则下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．12．定义在上的奇函数满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题13．设是上的可导函数，且，，．则的值为________．14．已知，为奇函数，，则不等式的解集为_________．15．已知定义在实数集的函数满足，且导函数，则不等式的解集为__________．16．已知函数是定义在上的奇函数，且．若时，，则不等式的解集为__________．培优点四恒成立问题培优点四恒成立问题1．参变分离法例1：已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是_________．2．数形结合法例2：若不等式对于任意的都成立，则实数的取值范围是___________．3．最值分析法例3：已知函数，在区间上，恒成立，求的取值范围___________．对点增分集训对点增分集训一、选择题1．已知函数，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．2．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知对任意不等式恒成立（其中，是自然对数的底数），则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．7．函数，若存在使得成立，则实数的范围是（）A． B． C． D．8．设函数，若存在，使，则的取值范围是（）A． B． C． D．9．若对于任意实数，函数恒大于零，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．10．已知函数，，若对任意，总有或成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．11．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．12．设函数，其中，若有且只有一个整数使得，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题13．设函数，，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．14．函数，其中，若对任意正数都有，则实数的取值范围为____________．15．已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________．16．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________．三、解答题17．设函数，其中，（1）讨论函数极值点的个数，并说明理由；（2）若，成立，求的取值范围．18．设函数，（1）证明：在单调递减，在单调递增；（2）若对于任意，，都有，求的取值范围．培优点五导数的应用培优点五导数的应用1．利用导数判断单调性例1：求函数的单调区间2．函数的极值例2：求函数的极值．3．利用导数判断函数的最值例3：已知函数在区间上取得最小值4，则___________．对点增分集训对点增分集训一、单选题1．函数的单调递减区间为（）A． B．C． D．2．若是函数的极值点，则（）A．有极大值 B．有极小值C．有极大值0 D．有极小值03．已知函数在上单调递减，且在区间上既有最大值，又有最小值，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．函数是上的单调函数，则的范围是（）A． B． C． D．5．遇见你的那一刻，我的心电图就如函数的图象大致为（）A． B． C． D．6．函数在内存在极值点，则（）A． B．C．或 D．或7．已知，，若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A．或 B．或 C．或 D．或8．函数在定义域内可导，其图像如图所示．记的导函数为，则不等式的解集为（）A． B．C． D．9．设函数，则（）A．在区间，内均有零点B．在区间，内均无零点C．在区间内有零点，在区间内无零点D．在区间内无零点，在区间内有零点10．若函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围为（）A． B． C．或 D．或11．已知函数的两个极值点分别在与内，则的取值范围是（）A． B． C． D．12．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”，已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题13．函数在区间上的最大值是___________．14．若函数在，上都是单调增函数，则实数的取值集合是______．15．函数在内不存在极值点，则的取值范围是___________．16．已知函数，①当时，有最大值；②对于任意的，函数是上的增函数；③对于任意的，函数一定存在最小值；④对于任意的，都有．其中正确结论的序号是_________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题17．已知函数（1）讨论函数在上的单调性；（2）证明：恒成立．18．已知函数，其导函数为．（1）当时，若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围；（2）设，点是曲线上的一个定点，是否存在实数使得成立？并证明你的结论．培优点六三角函数培优点六三角函数1．求三角函数值例1：已知，，，求的值．2．三角函数的值域与最值例2：已知函数，（1）求函数的最小正周期和图像的对称轴方程；（2）求函数在区间的值域．3．三角函数的性质例3：函数（）A．在上单调递减 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递增对点增分集训对点增分集训一、单选题1．若，则的值为（）A． B． C． D．2．函数的一个单调递增区间是（）A． B． C． D．3．已知，则（）A． B． C． D．4．关于函数，下列命题正确的是（）A．由可得是的整数倍B．的表达式可改写成C．的图象关于点对称D．的图象关于直线对称5．函数的最大值是（）A．1 B． C． D．6．函数的部分图象如图所示，则，的值分别可以是（）A．， B．， C．， D．，7．已知函数，和分别是函数取得零点和最小值点横坐标，且在单调，则的最大值是（）A．3 B．5 C．7 D．98．已知函数，给出下列四个说法：；函数的周期为；在区间上单调递增；的图象关于点中心对称其中正确说法的序号是（）A． B． C． D．9．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．同时具有性质：①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数的一个函数是（）A． B．C． D．11．关于函数的图像或性质的说法中，正确的个数为（）①函数的图像关于直线对称；②将函数的图像向右平移个单位所得图像的函数为；③函数在区间上单调递增；④若，则．A．1 B．2 C．3 D．412．函数的图象关于直线对称，它的最小正周期为，则函数图象的一个对称中心是（）A． B． C． D．二、填空题13．函数的单调递减区间是_________．14．已知，且，则_________________．15．函数在的值域为_________．16．关于，有下列命题①由可得是的整数倍；②的表达式可改写成；③图象关于对称；④图象关于对称．其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．三、解答题17．已知，其图象在取得最大值．（1）求函数的解析式；（2）当，且，求值．18．已知函数的最小正周期为．（1）求的值；（2）求函数在区间上的取值范围．培优点七解三角形培优点七解三角形1．解三角形中的要素例1：的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则_____．2．恒等式背景例2：已知，，分别为三个内角，，的对边，且有．（1）求；（2）若，且的面积为，求，．对点增分集训对点增分集训一、单选题1．在中，，，，则（）A． B． C． D．2．在中，三边长，，，则等于（）A．19 B． C．18 D．3．在中，角，，所对应的边分别是，，，若，则三角形一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形4．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（）A． B． C． D．5．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则（）A． B． C． D．6．设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（）A．1 B． C．2 D．47．在中，角，，所对的边分别为，，，且，若，则的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形8．的内角，，的对边分别是，，且满足，则是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形9．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，，，则的值为（）A．8 B．16 C．32 D．6410．在中，，，分别为角，，所对的边．若，则（）A． B． C． D．11．在中，内角，，的对边分别是，，，若，则是（）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形12．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（）A． B． C．或 D．二、填空题13．在中，角，，的对边分别为，，，，，则角的最大值为_____；14．已知的三边，，成等比数列，，，所对的角分别为，，，则的取值范围是_________．15．在中三个内角，，，所对的边分别是，，，若，且，则面积的最大值是________16．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，，成等差数列，，则面积的取值范围是__________．三、解答题17．己知，，分别为三个内角，，的对边，且．（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求的值．18．如图，在中，点在边上，，，．．（1）求的面积．（2）若，求的长．培优点八平面向量培优点八平面向量1．代数法例1：已知向量，满足，，且，则在方向上的投影为（）A．3 B． C． D．2．几何法例2：设，是两个非零向量，且，则_______．3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形中，设，，则__________．对点增分集训对点增分集训一、单选题1．已知向量，满足，，且向量，的夹角为，若与垂直，则实数的值为（）A． B． C． D．2．已知向量，满足，，，则（）A．1 B． C． D．23．如图，平行四边形中，，，，点在边上，且，则（）A． B．1 C． D．4．如图，在中，是边的中线，是边的中点，若，，则（）A． B． C． D．5．在梯形中，，，，，动点和分别在线段和上，且，，则的最大值为（）A． B． C． D．6．已知中，，，，为线段上任意一点，则的范围是（）A． B． C． D．7．已知非零向量，，满足且，则与的夹角为（）A． B． C． D．8．在中斜边，以为中点的线段，则的最大值为（）A． B．0 C．2 D．9．设向量，，，满足，，，则的最大值等于（）A．1 B． C． D．210．已知与为单位向量，且，向量满足，则的取值范围为（）A． B．C． D．11．平行四边形中，，在上投影的数量分别为，，则在上的投影的取值范围是（）A． B． C． D．12．如图，在等腰直角三角形中，，，是线段上的点，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题13．已知向量，，，若，则________．14．若向量，满足，，且，则与的夹角为__________．15．已知正方形的边长为2，是上的一个动点，则求的最大值为________．16．在中，，，，为线段上一点，则的取值范围为____．培优点九线性规划培优点九线性规划1．简单的线性规划问题应注意取点是否取得到例1：已知实数，满足，则的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．72．目标函数为二次式例2：若变量，满足，则的最大值为（）A． B． C． D．3．目标函数为分式例3：设变量，满足约束条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．4．面积问题例4：若不等式组所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分，则的值为（）A． B． C． D．对点增分集训对点增分集训一、单选题1．若实数，满足，则的最大值为（）A． B．1 C．0 D．2．已知实数，满足线性约束条件，则其表示的平面区域的面积为（）A． B． C． D．3．已知实数，满足，若只在点处取得最大值，则的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知实数，满足约束条件，则的取值范围为（）A． B．C． D．5．若实数，满足约束条件，则的最大值是（）A． B． C． D．6．已知点，若动点的坐标满足，则的最小值为（）A． B． C． D．7．，满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（）A．或 B．2或 C．2或1 D．2或8．若，满足不等式组，则成立的概率为（）A． B． C． D．9．若，满足不等式组，则的最小值为（）A．7 B．6 C． D．410．已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定．若为上动点，点的坐标为．则的最大值为（）A． B． C．4 D．311．若不等式组所表示的平面区域内存在点，使成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．12．已知圆，平面区域，若圆心，且圆与轴相切，则圆心与点连线斜率的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题13．设，满足，则的最大值为____________．14．若变量，满足约束条件，则的最小值为_________．15．已知实数，满足，则的最小值为______．16．某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队．经过对本地养鱼场年利润率的调研，其结果是：年利润亏损的概率为，年利润获利的概率为，年利润获利的概率为，对远洋捕捞队的调研结果是：年利润获利为的概率为，持平的概率为，年利润亏损的可能性为．为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对远洋捕捞队的投资不得高于本地养鱼场的投资的2倍．根据调研数据，该公司如何分配投资金额，明年两个项目的利润之和最大值为_________千万．培优点十等差、等比数列培优点十等差、等比数列1．等差数列的性质例1：已知数列，为等差数列，若，，则_______．2．等比数列的性质例2：已知数列为等比数列，若，则的值为（）A． B． C． D．3．等差、等比综合例3：设是等差数列，为等比数列，其公比，且，若，，则有（）A． B． C． D．或对点增分集训对点增分集训一、单选题1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（）A．6斤 B．7斤 C．8斤 D．9斤2．设为等差数列的前项和，若，，则（）A．66 B．68 C．77 D．843．已知等比数列的前项和为，且满足，则的值为（）A．4 B．2 C． D．4．已知等差数列的前项和为，，则（）A．140 B．70 C．154 D．775．已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则公比的值为（）A． B． C．1或 D．或6．公比不为1的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（）A． B．0 C．5 D．77．等比数列的各项均为正数，且，则（）A．12 B．10 C．8 D．8．设公差为的等差数列，如果，那么等于（）A． B． C． D．9．已知等差数列的前项和为，且，则数列的第三项为（）A．3 B． C． D．610．等差数列的前项和为，若，则（）A．27 B．36 C．45 D．6611．设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论错误的是（）A． B．C． D．与均为的最大值12．定义函数如下表，数列满足，，若，则（）A．7042 B．7058 C．7063 D．7262二、填空题13．已知等差数列，若，则________．14．已知等比数列的前项和为，若公比，且，则的值是___________．15．设是等差数列的前项和，若，则_______．16．在等差数列中，，则的值是_______．三、解答题17．已知数列中，，．（1）求；（2）若，求数列的前5项的和．18．设是等差数列，其前项和为；是等比数列，公比大于0，其前项和为．已知，，，．（1）求和；（2）若，求正整数的值．培优点十一数列求通项公式培优点十一数列求通项公式1．累加、累乘法例1：数列满足：，且，求．2．与的关系的应用例2：在数列中，，，则的通项公式为_________．3．构造法例3：数列中，，，求数列的通项公式．对点增分集训对点增分集训一、单选题1．由，给出的数列的第34项是（）A． B．100 C． D．2．数列满足，，则等于（）A． B． C．2 D．33．在数列中，若，且对任意正整数、，总有，则的前项和为（）A． B． C． D．4．数列的前项和为，若，则的值为（）A．2 B．3 C．2017 D．30335．已知数列是递增数列，且对，都有，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．在数列中，已知，，，则等于（）A． B． C． D．7．已知数列的前项和，若，，则（）A． B． C． D．8．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（）A． B． C． D．9．在数列中，若，，则的值（）A． B． C． D．10．已知数列的首项，且满足，如果存在正整数，使得成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．11．已知数列满足，，是数列的前项和，则（）A． B．C．数列是等差数列 D．数列是等比数列12．已知数列满足：，．设，，且数列是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题13．已知数列的前项和为，且，则___________．14．数列中，若，，则______．15．设数列满足，，___________．16．已知数列满足，，则_______．三、解答题17．已知各项均为正数的数列的前项和为，且．（1）求；（2）设，求数列的前项和．18．在数列中，，．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前项和．培优点十二数列求和培优点十二数列求和1．错位相减法例1：已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，．（1）求数列与的通项公式；（2）记，，求证：．2．裂项相消法例2：设数列，其前项和，为单调递增的等比数列，，．（1）求数列，的通项公式；（2）若，求数列的前项和．对点增分集训对点增分集训一、单选题1．已知等差数列中，，，则项数为（）A．10 B．14 C．15 D．172．在等差数列中，满足，且，是前项的和，若取得最大值，则（）A．7 B．8 C．9 D．103．对于函数，部分与的对应关系如下表：123456789375961824数列满足：，且对于任意，点都在函数的图象上，则（）A．7554 B．7549 C．7546 D．75394．设等差数列的前项和，，，若数列的前项和为，则（）A．8 B．9 C．10 D．115．在等差数列中，其前项和是，若，，则在，，，中最大的是（）A． B． C． D．6．设数列的前项和为，则对任意正整数，（）A． B． C． D．7．已知数列满足，，，，若恒成立，则的最小值为（）A．0 B．1 C．2 D．8．数列的前项和为，若，则（）A．2018 B．1009 C．2019 D．10109．已知数列中，，则等于（）A． B． C． D．10．已知函数，且，则（）A．20100 B．20500 C．40100 D．1005011．已知数列满足：，，则的整数部分为（）A．0 B．1 C．2 D．312．对于任意实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，．已知数列满足，其前项和为，若是满足的最小整数，则的值为（）A．305 B．306 C．315 D．316二、填空题13．已知数列满足，记为的前项和，则__________．14．表示不超过的最大整数．若，，，，则__________．15．已知函数，则________．16．定义为个正整数，，，的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则_________．三、解答题17．正项等差数列中，已知，，且，，构成等比数列的前三项．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和．18．已知为数列的前项和，且，，，．（1）求数列的通项公式；（2）若对，，求数列的前项的和．培优点十三三视图与体积、表面积培优点十三三视图与体积、表面积1．由三视图求面积例1：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________．2．由三视图求体积例2：某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．4 B． C． D．8对点增分集训对点增分集训一、单选题1．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为16+π，则俯视图中圆的半径为（）A．1 B．2 C．3 D．42．正方体中，为棱的中点（如图）用过点的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）A． B． C． D．3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．44．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为（）A． B．C． D．5．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于（）A． B． C． D．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为（）A． B． C． D．7．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．8．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，，，且，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（）A． B． C． D．9．在四棱锥中，底面，底面为正方形，，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A． B． C． D．10．如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A．15 B．16 C． D．11．某几何体的三视图如图（虚线刻画的小正方形边长为1）所示，则这个几何体的体积为（）A． B． C．12 D．12．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A． B．7 C． D．二、填空题13．网格纸上小正方形的边长为1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的几何图形的三视图，则该被挖去的几何体的体积为__________．14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为_______与_______．15．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_________．16．已知某几何体的三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的体积为__________．培优点十四外接球培优点十四外接球1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（）A． B． C． D．2．补形法（补成长方体）例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是．3．依据垂直关系找球心例3：已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（）A． B． C． D．对点增分集训对点增分集训一、单选题1．棱长分别为2、、的长方体的外接球的表面积为（）A． B． C． D．2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．12π B．28π C．44π D．60π3．把边长为3的正方形沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（）A． B． C． D．5．三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，，则球的表面积为（）A． B． C． D．6．如图是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点，，，，在同一个球面上，则该球的表面积为（）A． B． C． D．7．已知球的半径为，，，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，，则球的表面积为（）A． B． C． D．8．已知正四棱锥(底面四边形是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为，则此球的体积为（）A． B． C． D．9．如图，在中，，，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A． B． C． D．10．四面体中，，，，则此四面体外接球的表面积为（）A． B． C． D．11．将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后四点都在球的表面上，则球的表面积为（）A． B． C． D．12．在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．二、填空题13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为，则该正四棱锥内切球的表面积为________．15．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积等于______．16．在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积的最小值为_____．培优点十五平行垂直关系的证明×培优点十五平行垂直关系的证明××1．平行关系的证明例1：如图，，，，分别是正方体的棱，，，的中点．求证：（1）平面；（2）平面平面．2．垂直关系的证明例2：如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，，．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由．对点增分集训对点增分集训一、单选题1．平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：①；②；③与相交与相交或重合；④与平行与平行或重合；其中不正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若，，且，则B．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则C．若，，则D．若，，则3．给出下列四种说法：①若平面，直线，则；②若直线，直线，直线，则；③若平面，直线，则；④若直线，，则．其中正确说法的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个4．已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（）（1），，，（2），（3），，（4），A．0个 B．1个 C．2个 D．35．如图，在正方体中，分别是的中点，则下列命题正确的是（）A． B．C． D．6．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若垂直于同一平面，则平行B．若平行于同一平面，则平行C．若不平行，则在内不存在与平行的直线D．若不平行，则不可能垂直于同一平面7．已知是两条不重合的直线，，，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若是异面直线，，则．其中真命题是（）A．①和② B．①和③ C．③和④ D．①和④8．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且；则下列结论错误的是（）．A． B．C．三棱锥的体积为定值 D．的面积与的面积相等9．如图所示，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，点是圆周上不同于的任意一点，分别为的中点，则下列结论正确的是（）A． B．与所成的角为C．平面 D．平面平面10．如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（）A．与是异面直线 B．平面C．，为异面直线且 D．平面11．设分别是正方体的棱上两点，且，给出下列四个命题：①三棱锥的体积为定值；②异面直线与所成的角为；③平面；④直线与平面所成的角为．其中正确的命题为（）A．①② B．②③ C．①②④ D．①④12．如下图，梯形中，，，将沿对角线折起．设折起后点的位置为，并且平面平面．给出下面四个命题：①；②三棱锥的体积为；③平面；④平面平面．其中正确命题的序号是（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④二、填空题13．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是________．(填序号)①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．14．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论①；②与所成的角为；③与是异面直线；④．以上四个命题中，正确命题的序号是_________．15．若四面体的三组对棱分别相等，即，给出下列结论：①四面体每组对棱相互垂直；②四面体每个面的面积相等；③从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大而小于；④连接四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分．其中正确结论的序号是__________．(写出所有正确结论的序号）16．如图，一张矩形白纸，，，分别为的中点，现分别将，沿折起，且在平面同侧，下列命题正确的是____________（写出所有正确命题的序号）．①当平面平面时，平面②当平面平面时，③当重合于点时，④当重合于点时，三棱锥的外接球的表面积为三、解答题17．如图，四棱锥中，，，，为正三角形．且．（1）证明：平面平面；（2）若点到底面的距离为2，是线段上一点，且平面，求四面体的体积．18．如图，四边形为正方形，平面，，，，．（1）求证：；（2）若点在线段上，且满足，求证：平面；（3）求证：平面．培优点十六利用空间向量求夹角×培优点十六利用空间向量求夹角××1．利用面面垂直建系例1：在如图所示的多面体中，平面平面，四边形为边长为2的菱形，为直角梯形，四边形为平行四边形，且，，．（1）若，分别为，的中点，求证：平面；（2）若，与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．2．线段上的动点问题例2：如图，在中，，，，沿将翻折到的位置，使平面平面．（1）求证：平面；（2）若在线段上有一点满足，且二面角的大小为，求的值．3．翻折类问题例3：如图1，在边长为2的正方形中，为中点，分别将，沿，所在直线折叠，使点与点重合于点，如图2．在三棱锥中，为中点．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的大小．对点增分集训对点增分集训一、单选题1．如图，在所有棱长均为的直三棱柱中，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（）A． B． C． D．2．在三棱柱中，底面是边长为1的正三角形，侧棱底面，点在棱上，且，若与平面所成的角为，则的值是（）A． B． C． D．3．如图，圆锥的底面直径，高，为底面圆周上的一点，，则空间中两条直线与所成的角为（）A． B． C． D．4．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，，平面平面，是的中点，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（）A． B． C． D．5．如图，在直三棱柱中，，，点与分别是和的中点，点与分别是和上的动点．若，则线段长度的最小值为（）A． B． C． D．6．如图，点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为，则（）A． B． C． D．7．如图所示，五面体中，正的边长为1，平面，，且．设与平面所成的角为，，若，则当取最大值时，平面与平面所成角的正切值为（）A． B．1 C． D．8．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．9．如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，点在棱上，且，则平面与平面的夹角的余弦值为（）A． B． C． D．10．在正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（）A． B． C． D．11．已知四边形，，，现将沿折起，使二面角的大小在内，则直线与所成角的余弦值取值范围是（）A． B． C． D．12．正方体中，点在上运动（包括端点），则与AD1所成角的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题13．如图，在直三棱柱中，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________．14．已知四棱锥的底面是菱形，，平面，且，点是棱的中点，在棱上，若，则直线与平面所成角的正弦值为__________．15．设，是直线，，是平面，，，向量在上，向量在上，，，则，所成二面角中较小的一个的余弦值为________．16．在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，，，，则当变化时，直线与平面所成角的取值范围是__________．三、解答题17．如图所示：四棱锥，底面为四边形，，，，平面平面，，，，（1）求证：平面；（2）若四边形中，，是否在上存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．18．如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正弦值．培优点十七圆锥曲线的几何性质×培优点十七圆锥曲线的几何性质××1．椭圆的几何性质例1：如图，椭圆的上顶点、左顶点、左焦点分别为、、，中心为，其离心率为，则（）A． B． C． D．2．抛物线的几何性质例2：已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在直线上的射影为，且直线的斜率为，则的面积为（）A． B． C． D．3．双曲线的几何性质例3：已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为_________．对点增分集训对点增分集训一、单选题1．抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值为1，则（）A． B．1 C．2 D．42．设点，是双曲线的两个焦点，点是双曲线上一点，若，则的面积等于（）A． B． C． D．3．经过椭圆的一个焦点作倾斜角为的直线l，交椭圆于，两点，设为坐标原点，则等于（）A． B． C． D．4．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若线段中点的横坐标为3，，则（）A．4 B．6 C．8 D．105．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（）A． B．C． D．6．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道绕月飞行．已知椭圆轨道和的中心与F在同一直线上，设椭圆轨道和的长半轴长分别为，，半焦距分别为，，则有（）A． B． C． D．7．已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，且双曲线，的离心率相同，则双曲线的实轴长是（）A．32 B．4 C．8 D．168．已知是抛物线的焦点，是轴上一点，线段与抛物线相交于点，若，则（）A．1 B． C． D．9．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是曲线与的一个公共点，，分别是和的离心率，若，则的最小值为（）A． B．4 C． D．910．已知为抛物线的焦点，，，为抛物线上三点，当时，称为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（）A．0个 B．1个 C．3个 D．无数个11．已知双曲线的左右焦点分别为，，椭圆的离心率为，直线过点与双曲线交于，两点，若，且，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（）A．， B．， C．， D．，12．已知为椭圆上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别是，，则的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题13．已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线与抛物线交于、两点，则__________．14．已知椭圆的左、右焦点为、，点关于直线的对称点仍在椭圆上，则的周长为__________．15．为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，且，直线交轴于点，则的内切圆半径为__________．16．已知直线与椭圆相切于第一象限的点，且直线与轴、轴分别交于点、，当(为坐标原点)的面积最小时，(、是椭圆的两个焦点)，若此时在中，的平分线的长度为，则实数的值是__________．三、解答题17．设常数．在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：．与轴交于点、与交于点．、分别是曲线与线段上的动点．（1）用表示点到点距离；（2）设，，线段的中点在直线，求的面积；（3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．18．与椭圆相交于、两点，关于直线的对称点在椭圆上．斜率为的直线与线段相交于点，与椭圆相交于、两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形面积的取值范围．培优点十八离心率培优点十八离心率1．离心率的值例1：设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．2．离心率的取值范围例2：已知是双曲线的左焦点，是该双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A． B． C． D．对点增分集训对点增分集训一、单选题1．若双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．2．倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设、分别是双曲线，的左、右焦点，是该双曲线右支上的一点，若，分别是的“勾”“股”，且，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．4．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，它们交于，两点，且直线过点，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．25．已知点在椭圆上，若点为椭圆的右顶点，且（为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知椭圆，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的最小值为（）A． B． C． D．7．已知双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为（）A． B． C．2 D．8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，为坐标原点，若，且，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．9．若直线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（）A． B． C． D．10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知，是一对相关曲线的焦点，，分别是椭圆和双曲线的离心率，若P为它们在第一象限的交点，，则双曲线的离心率（）A． B．2 C． D．311．又到了大家最喜（tao）爱（yan）的圆锥曲线了．已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．12．已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题13．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为______．14．已知双曲线，其左右焦点分别为，，若是该双曲线右支上一点，满足，则离心率的取值范围是__________．15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，的两点，且轴，若为椭圆上异于，的动点且，则该椭圆的离心率为_______．16．在平面直角坐标系中，记椭圆的左右焦点分别为，，若该椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________．三、解答题17．已知双曲线的的离心率为，则（1）求双曲线的渐进线方程．（2）当时，已知直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，求的值．18．已知椭圆的左焦点为，离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线交椭圆于，两点．①若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足，．求证：为定值；②若，求面积的取值范围．培优点十九圆锥曲线综合培优点十九圆锥曲线综合1．直线过定点例1：已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，过左焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且．（1）求的方程；（2）若直线是圆上的点处的切线，点是直线上任一点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，设切线的斜率都存在．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．2．面积问题例2：已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为4，直线与椭圆相交于、两点，关于直线的对称点在椭圆上．斜率为的直线与线段相交于点，与椭圆相交于、两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形面积的取值范围．3．参数的值与范围例3：已知抛物线的焦点，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于，两点．（1）求抛物线的方程以及的值；（2）记抛物线的准线与轴交于点，若，，求的值．4．弦长类问题例4：已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与相交于，两点，与相交于，两点，且，求的取值范围．5．存在性问题例5：已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．（1）求椭圆的标