专题4.7平行四边形的性质与判定大题专练(重难点培优)(解析版)【浙教版】

#/29【分析】(1)由4AOF/△EOB，推出AF=BE，由AF//BE，可得四边形ABEF是平行四边形，再证明AB=BE即可解决问题；(2)分NCBF不为直角和/BFC=90°两种情况求得周长即可.【解析】(1)四边形ABEF是菱形；理由：•・•四边形ABCD是平行四边形，•・AF/BE,•・/FAO=NBEO,VZAOF=NEOB,OA=OE,•・△AOF必EOB,•・AF=BE,•・四边形ABEF是平行四边形；AE平分ZBAD,AZFAE=ZBAE,VZFAE=ZAEB,AZBAE=ZAEB,ABA=BE,A四边形ABEF是菱形.(2)VZBAE=ZB=60°,AZCBF不可能为直角；当ZBCF=90°时，BF=2OB=2，3,CF=V3,BC=3,此时△BFC的周长为3+3，3；当ZBFC=90°时，BC=4,CF=2,BF=2，3,此时△BFC的周长为6+2百；所以△BFC的周长为6+2行或3+3V3.(2020•秦淮区二模)图，点E、F分别在团ABCD的边AB、CD的延长线上，且BE=DF,连接AC、EF、AF、CE,AC与EF交于点O.(1)求证：AC、EF互相平分；(2)若EF平分ZAEC,判断四边形AECF的形状并证明.【分析】（1）要证明线段AC与EF互相平分，可以把这两条线段作为一个四边形的对角线，然后证明这个四边形是平行四边形即可；（2）要证四边形AECF是菱形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可.【解析】（1）证明：二•四边形ABCD是平行四边形，•・AB=DC,AB〃DC.又：BE=DF,•・AB+BE=DC+DF,即AE=CF.・•AE=CF,AE〃CF,•・四边形AECF是平行四边形.•・AC、EF互相平分.（2）四边形AECF是菱形.证明：,・"〃DC,AZAEO=ZCFO.・•EF平分/AEC,AZAEO=ZCEO.AZCEO=ZCFO.ACE=CF.・•四边形AECF是平行四边形，A四边形AECF是菱形.（2020春•赣榆区期中）如图，在团ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE.（1）求证：△ABC/△EAD；（2）若ZB=65°,ZEAC=25°,求ZAED的度数.A DBEC【分析】(1)先证明NB=Z£/。，然后利用SAS可进行全等的证明；(2)先根据等腰三角形的性质可得/BAE=50°,求出/BAC的度数，即可得/AED的度数.【解析】(1)证明：•・•在平行四边形ABCD中，AD〃BC,BC=AD,•・/EAD=NAEB,又：AB=AE,.•・/B=NAEB,•・/B=NEAD,在^ABC和^EAD中，AB=AE2ABe=^EAD,BC=AD.△ABC必EAD(SAS).(2)解：：AB=AE,.NB=NAEB,.NBAE=50°,.NBAC=NBAE+NEAC=50°+25°=75°,・,△ABC必EAD,.NAED=NBAC=75°.(2018春•鄂城区期中)如图，在△ABC中，NBAC=90°,NB=45°,BC=10,过点A作AD//BC,且点D在点A的右侧.点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE=2,连结PE，设点P的运动时间为t秒.(1)若PE±BC,求BQ的长；(2)请问是否存在t的值，使以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.APDSOEC【分析】(1)作AMLBC于/，由已知条件得出AB=AC,由等腰三角形的性质得出BM=CM,由直角1三角形斜边上的中线性质得出AM=2BC=5,证出△APN和^CEN是等腰直角二角形，得出PN=AP=t,CE=NE=5-t,由CE=CQ-QE=21-2得出方程，解方程即可；(2)由平行四边形的判定得出AP=BE，得出方程，解方程即可.【解析】(1)作AMLBC于M,设AC交PE于N.如图所示：VZBAC=90°,NB=45°,AZC=45°=ZB,・•・AB=AC,ABM=CM,1..AM==2BC=5,AD〃BC,AZPAN=ZC=45°,PELBC,APE=AM=5,PELAD,・•.△APN和^CEN是等腰直角三角形，APN=AP=t,CE=NE=5-t,VCE=CQ-QE=2t-2,A5-t=2t-2,解得：t=3所以BQ=BC-CQ=10-2X7=学；(2)存在，t=4或12；理由如下：若以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形，贝UAP=BE,At=10-21+2或t=21-2-10解得：t=4或12A存在t的值，使以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形，t=4或12.

(2020•岱岳区三模)如图，在四边形ABCD中，AD//BC,AD=BC=2AB,F是AD的中点，作CE±AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF.(1)若/ADC=80°,求NECF；(2)求证：NECF=NCEF.【分析】(1)根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形，由线段中点的定义得到AF=FD,根据等腰三角形的性质得到NDFC=NDCF=1(180°-80°)=50°,于是得到结论;(2)如图，延长EF,交CD延长线于/,根据平行线的性质得到NA=NMDF,根据全等三角形的性一. . . . 1质得到FE=MF,NAEF=NM,根据直角三角形的性质得到FC=qEM=FE,由等腰二角形的性质得到.【解析】(1)：AD/BC,AD=BC,・•・四边形ABCD是平行四边形，:F是AD的中点，・•・AF=FD,•・•在团ABCD中，AD=2AB,・•・AF=FD=CD,ANDFC=NDCF=2(180°-80°)=50°,•:CE±AB,ANDCE=90°,

AZECFAZECF=90-50°=40(2)如图，延长EF,交CD延长线于M,・•四边形ABCD是平行四边形，AAB〃CD,AZA=ZMDF,:F为AD中点，AAF=FD,24=4FDM在^AEF和^DFM中，卜尸=D尸 ，ZAFE=4DFM•・△AEF/△DMF(ASA),AFE=MF,ZAEF=ZM,:CE±AB,AZAEC=90°,:・/AEC=/ECD=90 °,・•FM=EF,AFC=2EM=FE,AZECFAZECF=ZCEF.15.（2017•南充模拟）如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,ZC=90°,BC=CD,点E,F分别在边BC,CD上，且BE=DF=AD,AF与DE交于点G.(1)求证：AB=BF.(2)当AB=5V2,AD=2«,求DG的长.【分析】(1)先证△BCF/△DCE，再证四边形ABED是平行四边形，从而得AB=DE=BF.(2)延长AF交BC延长线于点/，设EC=FC=x，在Rt△DEC中，由勾股定理可得x的值，再证明点G是DE的中点即可求出DG的长.【解析】(1)证明：・•BC=CD,BE=DF,:.CF=CE,在^BCF与^DCE中，'CF=CEZC=LC=90°,EC=DC.△BCF必DCE,.BF=DE,・•AD//BC,BE=AD,•・四边形ABED是平行四边形；.AB=DE,.AB=BF.(2)由(1)可得AB=DE=572,设EC=FC=x,在Rt△DEC中，由勾股定理可得x2+(x+275)2=(572)2,解得：x=75，延长AF交BC延长线于点H,・•AD/BC,AZ1=ZH,・•AD=DF,AZ1=Z2,Z2=Z3,AZ3=ZH,•・FC=CH,・,EH=2x=2V5,•・AD=EH,・•AD//BC,：.DG=EG,・•・DG=1DE=挈6.(2020春•丛台区校级期末)已知：如图，在RtAACB中，/ACB=90°,点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF/AB交AE的延长线于点F.(1)求证：△ADE/△FCE；(2)求证：四边形ACFD是平行四边形.(3)若NDCF=120°,DE=2,求BC的长.A D B【分析】(1)根据点E是CD的中点，可得DE=CE，根据CF/AB，可得NADE=NFCE，/DAE=NCFE，进而利用AAS可以证明^ADE/△FCE；(2)结合(1)的CF=AD,再由CF/AB,即可证明四边形ACFD是平行四边形；(3)结合(1)先证明四边形DCFB是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=DB，得平行四边形DCFB是菱形，由NDCF=120°,可得△CDB是等边三角形，由DE=2,即可求BC的长.【解析】(1)二•点E是CD的中点，・•・DE=CE,■:CF/AB,AZADE=ZFCE，/DAE=ZCFE,在^ADE和^FCE中，24DE=乙FCE乙DAE=乙CFE,力E=CE:.△ADE必FCE(AAS)；(2)证明：•・•△ADE/△FCE,AAD=CF,又CF〃AB,A四边形ACFD是平行四边形；(3)\•点D是AB的中点，AAD=BD,・•AD=CF,ABD=CF,又CF〃AB,A四边形DCFB是平行四边形，ZACB=90°,点D是AB的中点，ADC=AD=BD,A平行四边形DCFB是菱形，AZDCF=120°,AZCDB=60°,•・△CDB是等边三角形，ABC=CD=2DE=4,答：BC的长为4.(2020春•青羊区期末)如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE，且DF//BE.(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若ZCEB=2ZEBA,BE=3,EF=2,求AC的长.【分析】（1）证4ADF/△CBE（SAS）,得到AD=CB,ZDAF=ZBCE,证出AD//CB,即可得到结论;（2）证NEAB=ZEBA,得出AE=BE=3,则CF=AE=3,即可得出答案.【解析】（1）证明：：AE=CF,•・AE+EF=CF+EF,即AF=CE,・•DF/BE,AZDFA=ZBEC,ZF=CE在^ADF和^CBE中，\^DFA=ABEC,DF=BE•・△ADF/△CBE(SAS),AAD=CB,ZDAF=ZBCE,AAD/CB,A四边形ABCD是平行四边形；(2)解：•・•/CEB=ZEBA+ZEAB=2ZEBA,AZEAB=ZEBA,AAE=BE=3,ACF=AE=3,AAC=AE+EF+CF=3+2+3=8.(2020春•莲湖区期末)如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是平行四边形ABCD的对角线，AG/BD交CB的延长线于点G.(1)求证：四边形BEDF是平行四边形.(2)若AE=DE，求ZG的度数.【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD/BC,DC/AB,DC=AB，推出DF=BE,DF/BE，根据平行四边形的判定推出即可；

，得到四边形AGBD为矩形，即可得出(2)先证明四边形AGBD是平行四边形，再证出/ADB=，得到四边形AGBD为矩形，即可得出【解析】(1)证明：二•四边形ABCD是平行四边形，•・AB=CD,AB〃CD,:E、F分别为边AB、CD的中点，：.BE=1AB,DF=1CD,•・BE=DF.・•BE〃DF,•・四边形BEDF是平行四边形.(2)解：二•四边形ABCD是平行四边形，•・AD〃BG,・•AG〃BD,•・四边形AGBD是平行四边形，・•点E是AB的中点，，.AE=BE=2AB,・•AE=DE,•・AE=DE=BE，即DE=|AB,•・△ABD是直角三角形，NADB=90°,•・平行四边形AGBD是矩形.•・/G=90°.(2020•扬州)如图，团ABCD的对角线AC、BD相交于点。，过点。作EF±AC,分别交AB、DC于点E、F,连接AF、CE.若OE=2，求EF的长；DF/ DF/ E【分析】判定△AOE/△COF(ASA)，即可得OE=OF=3,进而得出EF的长;【解析】•・•四边形ABCD是平行四边形，•・AB//CD,AO=CO,：.ZFCO=ZEAO,又,：/AOE=ZCOF,:.△AOE必COF(ASA),•・OE=OF=|,•・EF=2OE=3；(2020春•龙岗区校级期末)如图，四边形ABCD中，BE±AC交AD于点G,DF±AC于点£已知AF=CE,AB=CD.(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)如果/GBC=ZBCD,AG=6,GE=2,求AB的长.A GDB C【分析】(1)证RtAABE^RtACDF(HL)，得/BAE=ZDCF,证出AB/CD,由AB=CD,即可证出四边形ABCD是平行四边形；(2)证四边形BCDG是等腰梯形，得BG=CD=AB，由勾股定理得AE=471,设AB=BG=x，则BE=x-2,在RtAABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可.【解析】(1)证明：•・•BE±AC,DF±AC,AZAEB=ZCFD=90°,•・•AF=CE,AAF-EF=CE-EF,即AE=CF,在RtAABE和RtACDF中，Hg=£2,Ah=CrARtAABE0RtACDF(HL),AZBAE=ZDCF,AAB/CD,

•・四边形ABCD是平行四边形；(2)解：由(1)得：四边形ABCD是平行四边形，•・AD〃BC,•・DG〃BC,VZGBC=ZBCD,•・四边形BCDG是等腰梯形，•・BG=CD=AB,.*AE=、AG2—GE2=弋62-22=4V2,设AB=BG=x，贝UBE=x-2,在RtAABE中，由勾股定理得：(4V2)2+(x-2)2=x2,解得：x=9,•・AB=9.1.(2020•两江新区模拟)如图，在平行四边形ABCD中，F,G分别是CD,AB上的点，且AG=CF,连接FG,BD交于点O.(1)求证：OB=OD；(2)若ZA=45°,DB±BC,当CD=2应时，求OC的长.A GB【分析】(1)依据平行四边形的性质，得出ZODF=ZOBG,BG=DF,判定△DOF/△BOG，即可得至UOB=OD；(2)依据平行四边形的性质，得出△BCD是等腰直角三角形，进而得到BC,BO的长，再根据勾股定理即可得到OC的长.【解析】(1)V四边形ABCD是平行四边形，・•・AB〃CD,AB=CD,AZODF=ZOBG,VAG=CF,ABG=DF,

在^DOF和^BOG中，2D0F=乙BOG■AODF=乙OBG,、DF=BG:.△DOFSBOG(AAS),・•・OB=OD；(2)二•四边形ABCD是平行四边形，AZBCD=ZA=45°,•・•BD±BC,AZDBC=90°,AZBDC=ZBCD=45°,ADB=CB,又,：CD=2V2,ACB=DB=2,AOB=1,A.RtABCO中，OC=7BC2+BO2=.22+12=氐(2020秋•朝阳区校级月考)如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE,AB//ED,AC//FD,AD交BE于点O.(1)求证：AD与BE互相平分；(2)若AB±AC,AC=BF,BE=8,FC=2,求AB的长.D【分析】(1)先证△ABC/△DEF(ASA)，得AB=DE，再证四边形ABDE是平行四边形，即可得出结论；(2)先求出BF=3,则AC=BF=3,BC=BF+FC=5,然后由勾股定理即可得出答案.【解析】(1)证明：如图，连接BD、AE,・•FB=CE,

・•・BC=EF,又•：AB〃ED,AC//FD,AZABC=ZDEF,/ACB=ZDFE,在^ABC和^DEF中，2BAC=4DEFBC=EF,/ACB=乙DFE・•・△ABC/△DEF(ASA),・•・AB=DE,又•：AB/DE,A四边形ABDE是平行四边形，•・AD与BE互相平分;(2)解：：FB=CE,•・BE=2BF+FC,・•・BF=BE-FC8-2・•・BF=BE-FC8-2=3,•・AC=BF=3,BC=BF+FC=3+2=5,・••由勾股定理得：・••由勾股定理得：AB=7BC2-AC2=752-32=4.(2020秋•九龙坡区校级期中)如图，平行四边形ABCD中，分别过A,C两点作AE±BD,CF±BD,垂足分别为E,F,连接CE,AF.(1)求证：BE=DF；(2)若AB=4,EF=73,ZAFE=45°,求4ABD的面积.【分析】(1)证4ABE/△CDF(AAS)，即可得出结论；(2)先证△AEF是等腰直角三角形，得AE=EF=V3,再由勾股定理得BE=旧，则BD=BE+EF+DF=2而+V3,然后由三角形面积公式即可得出答案.【解析】(1)证明：二•四边形ABCD是平行四边形，•・AB=CD,AB〃CD,AZABE=ZCDF,又：AE±BD,CF±BD,AZAEB=ZCFD=90°,在^ABE和^CDF中，2ABE=乙CDFZEB=乙CFD,AB=CD•・△ABESCDF(AAS),ABE=DF；(2)解：：AE±BD,ZAFE=45°,•.△AEF是等腰直角三角形，AAE=EF=V3,ABE=7AB2-AE2=V42-(73)2=V13,由(1)得：DF=BE=713,ABD=BE+EF+DF=2713+73,•.△ABD的面积=1BDXAE=1X(2713+73)x73=739+|.(2020秋•锦江区期末)如图1,在平行四边形ABCD中，过点A作AE±BC交BC于点E，连接ED,且ED平分ZAEC.(1)求证：AE=BC；(2)如图2,过点C作CF±DE交DE于点F,连接AF,BF,猜想△ABF的形状并证明.图1 图2【分析】(1)依据平行四边形的性质即可得到AD=3C,依据/AED=ZADE，即可得出AE=AD,进而得至1」AE=BC；(2)判定△AEF/△BCF(SAS),即可得到AF=BF,ZAFE=ZBFC,进而得出/AFB=ZEFC=90°,即可得到^ABF是等腰直角三角形.【解析】(1)证明：二•四边形ABCD是平行四边形，・•・AD〃BC,AD=BC,又：AE±BC,AZAEC=90°,又：ED平分ZAEC,AZADE=ZCED=45°,AZAED=ZADE,AAE=AD,AAE=BC；(2)^ABF是等腰直角三角形，证明：•;CF±DE,AZCFE=90°,又•・•/CEF=45°,AZECF=45°,AZFEC=ZFCE=ZAEF,AEF=CF,在^AEF和^BCF中，AE=BC■^AEF=乙BCF,EF=CF・•・△AEF/△BCF(SAS),AAF=BF,ZAFE=ZBFC,AZAFE-ZBFE=ZBFC-ZBFE,即ZAFB=ZEFC=90°,・•.△ABF是等腰直角三角形.图1 图225.(2020秋•南关区校级期中)如图，在四边形ABCD中，/A=ZB=ZBCD=90°,AB=DC=4,AD=BC=8.延长BC到E，使CE=3,连接DE，由直角三角形的性质可知DE=5.动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒.(t>0)(1)当t=3时，BP=6；(2)当t=8时，点P运动到NB的角平分线上；(3)请用含t的代数式表示△ABP的面积S；(4)当0Vt<6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值.【分析】(1)根据题意可得BP=21，进而可得结果；(2)根据/A=NB=NBCD=90°,可得四边形ABCD是矩形，根据角平分线定义可得AF=AB=4,得DF=4,进而可得t的值；(3)根据题意分3种情况讨论：①当点P在BC上运动时，②当点P在CD上运动时，③当点P在AD上运