历年上海高考题(立体几何)

11111111122ABC1111112111AM1111111111111111111122ABC1111112111AM1111111111111117）如图，直三棱柱ABC的底面为直角三角形，两直角ABAC的长分别为和2，侧棱AA的长为5．（1）求三棱柱ABC-AB的体积；（2）设M中，求直线AM与平面ABC所成角的大小．17.【解析）∵直三棱柱BC的底面为直角三角形，两直角边ABAC的长分别为42，侧棱AA的长为5．11∴三棱柱ABCAB的体积·AA=·AC·=××2×5=20.（2）连接AM.∵直三棱柱ABC-ABC，∴AA⊥底面ABC.∴∠AMA直线AM与平面ABC所成角.11∵△ABC是直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，M的中点，1∴AM=BC=×5.由AA⊥底面ABC，可得AA⊥AM,AA5∴tanAMA==5∴直线AM与平面ABC所成角的大小为5．）将边长为1的方形AAO（及内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，AC长为πAB长为，中B与C在面AA的侧．（1求三棱锥﹣OAB的体积（2求异面直线BC与AA所的角的小．完整版学习资料分享----

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题；转化思想；综法；空间位置关系与距离．【分析）结B，推导OAB为正三角形，从而

=

，由此能求出三棱锥C﹣OAB的体积．（2设点B在下底面圆周的射影为B，连结BB，则BB∥，∠BBC为线BC与AA所成角（或补角此求出直C与AA所成角大小．【解答】解）连结OB，则OABAB=∴eq\o\ac(△,O)eq\o\ac(△,)AB为正三角形，

，∴

=

，=

=

．（2设点B在下底面圆周的射影为B，连结BB，则BB∥，∴∠为线BC与AA所成角（或补角BB=1，连结BC、BOOC∠AOB=∠AB

，，∴∠

，∴△为正三角形，∴BC=BO=1∴∠C=45°∴直线C与AA所角大小．【点评本考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要真审题，注意空间思维能力的培养．、（2015.上海）如图。在长方体

A11

中，

AD2,,1

分别是,BC

的中点，证明：

CF,E1

四点共面，并求直线与面ACFE1

所成角的大小。

1

D

CFA完整版学习资料分享----

111111111111111111111式--可编辑--专业资料-----111111111111111111111（本满分）底面边长为正三棱锥ABC面开图是三角形PP如图，求1213本题分12分）

的各边长及此三棱锥的体V．解在

PPP2

中，

P3

，

3

所

是中位线，故

2

．同理，

PP．所P3112

是等边三角形，各边长均为4．设Q是的心，则平面ABC，以

23

3

2

AQ

2

263

．从而，

V

2S

．（题满分分如图，长方体BD中，AB=2,AD=1,A，明直线BC平行于平面，并求直线到面DAC的离

D

C【解答】因为BD为长方体，故

//C,D11

，

A

故ABCD为行四边形，故//AD1于是直线BC平行于平面C；

，显然在平面DAC上

A

D

C直线BC到平面DAC的离即为点到面DAC距离设为

考虑三棱锥ABCD的体积，以ABC为底面，可得

1132而

ADC1

中，

DC5,AD1

，故

C

32所以，

12323

2，即直线BC到平面DAC的距离为．3如，在四棱锥－ABCD中底面ABCD是形PAABCDEAD=

PA=三角形PCD的积；(6分)异面直线BC与AE所的角的大小(6分

PEA

DB

C[解](1)为CDADCDCDPADPD.

3因为PD=

2

2

3

，CD，z完整版学习资料分享----

PEA

D

y

A式--可编辑--专业资料-----A所以三角形PCD的积为132解一]如图所示，建立空间直角坐标系则(2,0,，C22，E(1,，

61)，BC22,0)与的角为

8

422

22

，

由此可知，异面直线BC与所成的角的大小是[]EFBCBC与所的角

AEF

=

、AF

、=2知

AEF

AEF=因此异面直线BCAE成的角的大小是

……12分．(2011)（14分）已知

A111

是底面边长为1的四棱柱，O是和11

的交点。（1设

1

与底面

CD11

所成的角的大小为，面角

DA11

的大小为

。求证：

tan

；（2若点到面1

的距离为

43

，求正四棱柱

AD1

的高。A．解：设正四棱柱的高为

。

⑴连AO，AA面A于A，111∴与底面A所的为，11111∵

1

，

O1

为

11

中点，∴

AO111

，又

AO11

，1

1∴

是二面角D11

的平面角，即

AO11

1

O1

1∴

tan

B1

，

tan

11

h2

。

A

⑵建如图空间直角坐标系，有

h),C(1,1,1

CAD(0,1,AC(1,1,0)1设平面

1

的一个法向量为

xy,z)，完整版学习资料分享----

A

1

C

11111式--可编辑--专业资料-----11111∵

nABnAD

，取

z

得

hh∴点

到平面

1

的距离为

nh4n|23

，则

h

。、(2010)（大满13分）题有2个题第1小题分5分第2小满8分.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全的矩形骨架，总计耗用9.6米铁，骨架把圆柱底面8等，再用S平米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面.(1)当圆柱底面半径r取值，取最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平米;（2在灯笼内，以矩形骨架的点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中根直线

13

与

3

所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）19(2009)（题满分分）BC如图，在直三棱柱中，111的大小。AB求二面角111

1

C

1】如图，建立空间直角坐标系则A2，，C（0，0

（2，0

（，，2）、（，，2…2分

C设AC的点为M，∵BM⊥AC,⊥∴⊥平面即是平面A1C1C的个法向量。……5分

设平面

C1

的一个法向量是

yz)

（x，y，z完整版学习资料分享----

111式--可编辑--专业资料-----111=（，2，-2=（，0，0……7分11z令得y(0,1,1)...................10设法向量与BM的角为，二面角AC的小为显11为锐角

x

BABAM

CC

1

ycos

nn

1解得23

….14分面角B的大小为1

316.(2008)(12，在棱长为2正方体ABCD-ABCD中E是BC的中点，1111求直线DE与平ABCD所成角的小（结果用反三角函数表示）A【析过E作EF，BC于F，接DF．

D

1

B

1

C

1∵EF平面，

E∴EDF

是直线DE

与平面

ABCD

所成的角．

D

C由题意，得1∵CF2

1EF．2CB，5．

A

1

D

1

AB

1

C

1

BEF5∵DF，DF

．

D

E

C故直线DE

与平面

ABCD

所成角的大小是

．

A

B

F．(2007)本题满分分如图体积为直三棱柱

AB

中90

BC

求直线

B与平面

BBCC1

所成角的大小（结果用反三角函数值表示C

A完整版学习资料分享----

CA

11式--可编辑--专业资料-----11．解法一：由题意，可得体积CC

eq\o\ac(△,)

CC

1CC，2

AA2

．连接

BC

．

ACBC，ACCC，面11

，A是直线与面CC111

所成的角．BCBC21

，1BC1BC1

，则

1

＝

arctan

55

．即直线

AB

与平面

BBCC

所成角的大小为

arctan

55

．

解法二：由题意，可得体积VCCBC，，如图，建立空间直角坐标系．点B(0，

A

CC

B

C(0，A．则B1

A平面

的法向量为．设直线

AB

与平面

BBCC成的角为，1

B

与

的夹角为

，则cos

BB

，

cos

6,arcsin66

，即直线

AB

与平面

BBCC1

所成角的大小为

66

．．(2006--19)本题满分）本题共有个小题，第小题满分6分，第题满分8分）在四棱锥－中底面是边长为的菱形，＝，角线AC与BD相于点OPO平面ABCDPB与面ABCD所成的角为．（1求四棱锥P－的积；完整版学习资料分享----

E

D

式--可编辑--专业资料-----（2若是的点，求异面直线DE与PA所角的大小（果用反三角函数值表示[解（）四棱锥P-ABCD中由PO⊥平面ABCD,∠是与面ABCD所的∠PBO=60°.在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)AOB中由PO⊥于是PO=BOtg60°=

而底面菱形的面积为2

∴四棱锥的体积

13

×3（）法：O为标原点射OB、、分为轴、y轴、z的正半轴建立空间直角坐标系在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)AOB中OA=,于是点A、B、D、P的标分别是A(0,－

,0),BD(P

).E是PB的点则E(

13,0,)于2

DE

3=(,0,2

32

),

AP

=(0,

).设

DE

的夹角为有cosθ=

34

2,θ=arccos4∴异面直线DEPA成角的大小是arccos解二取AB的中点连接EF、DF.由是PB的点得∥，∴∠FED是面直线DE与成角(或它的补角)，

24

；在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)AOB中于是在腰eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)POA中

=OP

，则

在正和eq\o\ac(△,)PBD,

，∠

16EF24DE3

=

24∴异面直线DEPA成角的大小是

24

．(2005-22-17)（题满分12分）已知直四棱柱

ABCD111

中，

AA

，底面ABCD完整版学习资料分享----

11111111111式--可编辑--专业资料-----11111111111是直角梯形，∠A是角AB||CD，AD=2，异面直线与DC所角的大小（结果用反三角函数值表示）．[解]由题意AB//CDBA

是异面直线与DC所的角连结AC与AC在ADC中可得

，又在eq\o\ac(△,Rt)ACC中可得AC在梯形ABCD中过C作CH//ADABH，得

CHBHB13又在

Rt

中，可得

BC

，BC2AC217在ABC,ABC1.2AB171∴异而直线BC与DC所角的大小为

317.17[解法二]如图，以为标原点分别以AD、、所直线为x、y、轴立直角坐标系.则C（0，1，2B（，4，）

1(0,设C成的角为1则

BC1||||1

∴异面直线BC与DC所角的大小为

31717

.、本满分16分)第题满分4分第2小满分分第3小题满分6分如图-是面边长为正三棱锥D、、分为棱长PA、、PC上点截∥底面且台DEF棱锥P-的棱长和相.棱长和是指多面体中所有棱的长度之)证：P-为正四面体；若PD=

12

PA求面DBCA的大小；(结果用反三角函数值表示设台-ABC的积为,是否存在体积为V各棱长均相等的直平行六面体,得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和若在请具体构造出这样的一个直平行六面并给出证明；若不存请说明理由.完整版学习资料分享----

111111111111111式--可编辑--专业资111111111111111明(1)∵台与棱锥-棱长和相等∴DE++FD+.又∵截面DEF∥底面,∴DE==FD=,DPE∠=∴P-是四面.【解】(2)取BC的中点M连接PMDM.AM.∵BC⊥PMBCAM,∴BC平面,BCDM则∠DMA为面角DA的平面.由1)知P-各棱长均为1,∴==

32

由是的中点得sin

AD3∴DMAarcsinAM3

(3)存在满足条件的直平行六面棱台-棱长和为定值6,积为V.设直平行六面体的棱长均为

12

底面相邻两边夹角为,则该六面体棱长和为6,体为

18

∵正四面体P体积是

212

∴

20,12

可

V)故构造棱长均为

12

底面相邻两边夹角为)的直平行六面体即满足要．(2003-22-18)（题满分分已知平行六面体ABCDABD中AA⊥平面ABCD，AD=2.若D⊥BC直线BD与面ABCD所的角等于30°，求平行面体ABCDABD的.．[解]连结BD，因为BB⊥面ABCD，BD⊥，⊥BD.

所

以在△BCD中BC=2，，所以BD=

3

又因为直线BD与平面ABCD所的角等于30°，

所以∠DB=30°，于是BB

故平行六面体ABCDABD的体积完整版学习资料分享----

ABCD式--可编辑--专业资料-----ABCD·BB

．(2002-22-17)（题满分分如图，在直三棱柱ABOA///中OO/=4，OA=4，，∠D是段A/

B/的点是棱BB上的一点.⊥求与面AOB成角的大小（结果用反三角函数值表示）17.∠

38

．(2001-22-19)（题满分分本题有个小题，第小题满分6分，第题满分8分．在棱长为的方体

OABC

中，F分别是棱,BC

上的动点，且BF．（Ⅰ）求证：

A

F

；（Ⅱ）当三棱锥

的体积取得最大值时，求二面角

的大小果反三角函数表示）【解）证明：如图，以

为原点建立空间直角坐标系．设

AEBFx，Aa(,a,a

，(,0)

．∴

A,,

．......（分∵

)

，∴

A

F

．......（6分（II）记

,

，则

x

，三棱锥

的体积

1ax1xya()26224

3

，当且仅当

x

a2

时，等号成立．因此，三棱锥

的体积取得最大值时，

BE

a2

．......（10分）过B作BDEF交EF于连B可EF

．∴

是二面角

的平面角．在直角三角形

中，直角边

BF