命题与证明三点通

“题错剖【1下列命题改写成“如果„„，那么„„”的形式(1)同角的余角相等；(2)直角都相等．［解(1)常有以下几种错误改写：如果是同角，那么余角相等；如果两个角是同角，那么它们的余角相等；如果同一个角是余角，那么余角相等．(2)常有以下几种错误改写：如果是直角，那么相等；如果直角等于°那么直角都相等；如果两条直线互相垂直，那么直角都相等．正解(1)如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等；(2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等．错因析解指]产生写错误的主要原因是在题的题设和结论不很分明时辨清哪是题设，哪是结论；不能正确地解一些概念名称，如同角、余角、直角等在叙述命题的语句中的位和意义：(3)缺乏把简单句变换成复合句语法知识．命题的改写是命题教学的基础命题学习中首先要掌握命题的构造分命题的题设是什么？结论是什么？然后才能在这个基础上进行命题的改写．对于命题的改写，特别是题设和结论不很分明的命题的改写，应注意以下几点：(1)命题的“缩句”练习．命题是判断一件事情的语句．为明确语句中各词语的含义及地位确定语句中的“主词”和“宾词”，可以进行类似于小学语文中的“缩句”练习．如把命题“同角的余角相”缩写成“余角相等”，由此知道主词是“余角”，宾词是“相等”；又命题“两条平行线被第三条直线所截同位角的平分线平行”可以缩为：“两个角的平分线平行”，由此得主词为“两个角的平分线”．宾词为“平”．(2)主词的数量表达方法．当主词的对象在数量上包含有“无数个”时，一般在主词前面加上“意两个”或就写“两个”来表达这“无数个”．如同角的余角可以有无数个，在改写时一般只需写成“角的任意两个余角”，或写成“同角的两个余角”．又如直角也有无数个，在改写时只需写成“任意两个直角或“两个直角”．(3)改写方法．把命题的主词连同它的修饰部分．经过重新组织或添加一些词语．写成“如果„„”部分，宾词写成“那么„„”部分，把它们连接成一个完整的句子，就得到改写成的命题．-1-

【2对命题：“角的补角相等”．画图，并写出已知、求证(不证明[误解]如1已知：与∠COD是同角，∠BOE是∠AOB的补角，∠DOF是∠COD的补角．求证：∠BOE=∠DOF．[正解]如图已知：是∠AOB的补角，是∠AOB补角．求证：∠CPD=∠EQF．错因析解指]这题目不仅要求分清命题的题设和结论，而且要求能够把文字叙述的命题正确地“翻译”为图形和符号语言．这两方面都是困难的．尤其是“翻译---图形化、符号化，更是练习中的主要障碍．但这也正是继续学习几何的基础和必备的技能．对于把文字命题“翻译”成图形，与前面所提及的“读句画图”问题是一致的．把文字命题“译”成符号语言表示，即用已知、求证表示出来，一般分为两个步骤完成按题意，画出图形(2)分命题的题设和结论，然后结合图形，用符号语言写成已知、求证．在“已知”项中写出题设，在“求证”中写出结论．[误解]中的错误主要是在画图时“同角”理解成等角，并且把一个角的补角画成邻补角，变成了与原命题意义不同的“新”命题了．【3明下列命题是假命题：(1)不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变；(2)一个锐角与一个钝角的和等于一个平角．误解(1)如果不等式两边乘以同一个正数，那么命题是真命题；如果不等式两边都乘以一个负数，那么命题是假命题．(2)因为°＋°°所两个直角的和也等于平角，不一定是一个锐角与一个钝角的和才是等于一个平角，所以原命题是假命题．正解(1)对于不等式3＞，边同乘(-1)3＜-2，使不等号的方向改变了所以原命题是假命题．(2)如一个锐角为50°，一个钝角为120°，它们的和是170的一个钝角，并不等于一个平角，以原命题是假命题．-2-

错因析解指]一个题的真假性只有两种情况，要么是真命题，要么是假命题．没有既真又，半真半假的命题[误解中第(小题的判定，没有给出命题究竟是真命题还是假命题的最终判断在对不等式两边乘以同一个数的两种情况讨论时，得出相应的结论，什么时候命题为真，什么时候命题为，但不知道对一个命题而言，只有真或假两种情形中的一种．这里必须对真命题的概念加深理解：只要题设成，那么结论一定成立．这样的命题叫做真命题．(小题的题设为：“不等式的两边都乘以同一个数”，结论是“不等号的方向不变”．就要求两边同时乘以的数无论是正数、负数还是零，结论一定成立，即不等号方都不改变时命题才是真命题，否则就是假命题[解的推理中没理解这一点，产生了错误．要证明一个命题是真命题时，必须要经过推理，证明它的正确(公理除外)；要判定一个命题是假命题时，只要能找出一个例子来说明这个命题不成立就可以了个例子要符合命题的题设出与命题结论不一致的结论．所举的例子只需要是具体的，不必从理论上一般性地说明命题是假，或何时为真误解]中第2)小题的错误在于举出的实例不符合题设，据此不能对原命题作出真假判断。命题与明点通一定、题公和理含．定义：定义是揭示一个事物区别于其他事物特征的句子．如有两条边相等的三角形叫等腰三角”这个句子反映了等腰三角形与其他三角形的不同之处，它“两边相”个特征．定义具有双重性，它既是特征，又可作为识别之用．组对边分别平行的四边形叫平行四边，既是平行四边形的特征，又可作为识别一个四边形是否为平行四边形的一个方法．在给事物下定义时要注意：（1）定义必须是严密的，在表述时，一般不“大约、大”、差多、左等含糊不清的词语；（2）要有利于人们把被定义的事物或名词与他事物或名词区别开来．．命题：可以判断正确或错误的句子叫命题．其中正确的命题称为真命题，错误的命题称为假题．命题由题设（或条件）和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，种命题可以写成如果…，那…”的形式．其“如果部是题设“么部分是结论．对于不具有这种形式的命题它的题设和结论往往不明显，为了指出它的题设和结论，我们可以先把命题改写如果…，那么的形式，这样命题的题设和结论就显而易见了．．公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断他命题真假的原始依据，这样的真命题叫公理，如两之间，线段最”．．定理：如果一个命题可从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据的命题叫定理两及其一角的对边分别对应相等的两个三角形全．二定、题公和理间联与别定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过公理是最始的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其他命题真假的依据．--

三证．证明：根据题设、定义以及公理、定理等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否确，这样的推理过程叫做证明．．证明真命题的一般步骤（1）根据题设，画出图形；（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知求证；（3）经过分析