纪博元用函数观点看方程(组)与不等式

用函数观点看方程（组）与不等式教学过程知点1一函与元次方由于任何一元一次方程都可以化为＋b＝0（a、b为数，）的形式，所以解一元一方程可以转化为：当某个一次函数的值为，求相应的自变量的值图上这相当于已知直线y＝ax＋b，确定它与x轴交点的横坐标的值。【例】利用函数图像解出x（1－2＋；（2－3＋1；分：将方程化为ax＋＝0的形式再坐标系中画函数＝＋的像，然后观察出直线y＝ax＋b与轴的交点坐标，从而取定所求x值。图【答）由－＝x＋4得2x－6由图看出直线y＝－与x轴交点3，）所以x＝3（2由5x－37x，得－2x－＝0由图看出直线y＝－－的交点为（2，）所以x＝－2图【后悟利用函数图像解一元一次程，一般需将方程变形为axb＝0的式，然后通过观察直线y＝ax＋x轴交点坐标确定方程的解。【例】如图3将个边长为正方形纸片，剪成四个大小一样的正方形，然后将其中的一个在按同样的方法剪成四个正方形此循环下去察下列图形和所给表格中的数据后回答问题：操作的次数正方形个数

25…71016…当所操作的次数为多少时，得到的正方形的个数为个图/

【析可设未知数列方程解答。【答解法：设经过x次的操后能得到的正方形的个数为个，则依题意：3x＋1解得x＝8解法：设经过x次作后，得到y个正方形，依题意得：y＝＋令y＝25则有＝，即－24由图可看出直线y＝－与x轴的交点为，0x＝图【法究虽然像这样用一次函数图像来解方程未必简单是从函数的角度看问题能发现一次函数与一元一次方程的联系种函数的观点认识问题的方法于续学习数学很重要。知点2一函与元次等式由于任何一元一次不等式都可以转化为axb>0或ax＋b<0（常数a0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）时，求自变量相应的取值范围。【例】画出函数y＝＋图像，利用图像求：（1方程2x＋＝0的；（2不等式2x＋的集；（3当时求x的值范围；（4当－时，求的值范围；【析此题必须先画出图像根据图像求解通过解方程或不等式也能得到准确案，但不符合题意要求，本题主要考察观察函数图像的能力。【答函数＝2x＋一次函数，取点x

12y

1连结A，1（2，0两点，如图，直线AB就是函数y＝2x图像。图1（1直线与x轴交点是B（，）/

1从图像可以看出当x＝－2时y＝＋＝1－就方程2x1解。（2从图像上可以看到，射线BA在轴的上方，它上面的点的纵坐标都不小于零，即y＝2x1射线BA上的横坐标满足x，不等式2x＋解集是

x

12（3过点，3）引平行于x轴直线线AB于C，的标为（1，线CC点纵坐标y均于3直线下方的点的纵坐标y均于3射线CD上的横坐标满足xy

时，x的取值范围为x（4过（，－3）点作平行于x轴直线，交直线于D（－2，－3从图像中可见，线段DC上的点的纵坐标满足

，而横坐标满足

x

。【后悟本例（）可将＝＋代入

y3,3

中求相应的x的值与取值范围这事实说明当定函数值的一个取值范围求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式。知点3一函与元次程（）一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。【例】利用函数图像解方程组

y2

【析由于二元一次方程的解可以看作是y关一次函数图像上的点的坐标以方程组的解为两个一次函数图像的交点坐标而可通过画出两个一次函数图像图上观察出交点坐标，得到方程组的解。【答由x＋2y＝－3得

1yx22

；由－＝－

2x

在同一直角坐标系内作出一次函数所示：

y

1x2的像l1和y＝2x＋1的像l如图观察图像

ll12

的交点为P（－1－）.所以方程组

xy

的解是

xy

。/

llllllll【法巧准确地将方程整理为函数解析式是基础两点确定直线的方法一次函数图像，方程组的解直观地体现在图像上是关键。【类式】图所示直

l、l

在直角坐标系内的交点坐标（2（0，）的横、纵坐标可看作是怎样的方程组的解中x、y的？【析用待定系数法求出直线

l、l

的函数解析式，即可知道是怎样的方程组。【答如图所示1经过点02和，02经点0，）和（，0而由一次函数解析式的求解方法得解析式为y＝－x＋2，的解析式为

2y2.3

所以（02）的横、纵坐标可看作方程组

xyxy

的解中x、y的。【类式】一次函数＝x＋与别为、A.试ABC的积。

的交点为，它们与x轴交点分【析由于方程组的解与一次函数交点的坐标只是形式上不同质上是一样的故可以由二元一次方程组的解来确定两个一次函数交点坐标，再结合三角形的性质可求出

ABC的积。【答点坐标为方程组

y1yx2

的解，解得

xy/

yyyyyyyyyyy如图所示，一次函数

1x2

与x轴于A（，0线y＝x＋1与x轴交于B（－，所以AB4－（－）＝，过点PC⊥AB于C，＝＝5.所以

APB

1AB22【例】某中学的校长准备在暑假带领该校的一些“市级三好学生”去北京旅游。甲旅行社说果长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠旅行社说括长在内，全体人员均按全票的6折惠苏州到北京的全票单价为1000元（1设学生人数x人甲行社收费为

甲

元，乙旅行社收费为

乙

元，分别写出两家旅行社的收费表达式；（2就学生人数x，讨论哪家旅行社更优惠【析先求出

甲与乙的表达，在分别令

甲＝乙，

甲

<

乙

，

甲>乙三情况讨论甲、乙两旅行社哪家更优惠。【答1

甲

＝1000，＝600x＋1中x是整数。（2令甲＝乙，＋＝600＋得x＝令

乙

，得＋（＋1得x>4.令乙，1000（x＋1得x<4.答：若学生人数为4人两家优惠程度相同；若学生人数超过，甲旅行社更优惠；若学生人数不足4人乙旅行社更优惠。【模拟题】、直线y＝kx＋与x轴交于点（3）则k的值为；、在y＝kx中当＝时y＝－1，则当x＝－1，y；、已知y＝－mx＋图像经过点A－，3（9点横坐标被墨水污染了，被污染处是；、如果y＝2x－3那么当x时，y>0；x时，；、已知直线、已知直线＝；

y12y12

交于点A则点A的坐标为；，当x时；，；x时，

/

33x