导数专题导数的几何意义【】

/导数专题导数的几何意义1导数的几何意义函数y=f(x)在点x=x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0切线l的方程为y-f(x2"过点x=x0”与"在点x=曲线C：y=f(x)在点P(x过点P(x0,y0)【题型1】在某点处的切线【典题1】(多选)若函数f(x)的图象上存在两个不同的点A,B，使得曲线y=f(x)在这两点处的切线重合，称函数f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的有()A．y=ex-x B．y=x4-x2解析由题意可得，性质T指函数f(x)图象上有两个不同点的切线是重合的，即两个不同点所对应的导数值相等，且该点处函数的切线方程也相同．对于A选项，y=ex-x，则y'=对于B选项，y'设两切点分别为x1,x1取x1=-22，x2两切点连线的直线斜率为k=y符合性质T，所以B选项符合；对于C选项，设两切点分别为x1,x则两切点处的导数值相等有：3x12令x1=a，则x2=-a，两切点处的导数y'=3a2，两切点连线的斜率为对于D选项，y'=1+cos?x，设两切点的横坐标分别为x1和x2，则1+cos?x1=1+两切点处的导数值为y'=1，两切点连线的直线斜率为所以两切点处的导数值等于两切点连线的斜率，符合性质T，所以D选项符合．故选：BD．【典题2】已知函数f(x)=12sin?2x+π3的图像在xA．π4 B．π2 C．π D解析由函数f(x)=12sin显然若图象在x1,fx只需f'x1f'x2=-1，不妨设显然x1-x2=(n-m)π-π2故选：B．【巩固练习】1.若函数f(x)=2lnx+4x2+bx+5的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则b的取值范围是A．(-∞,-8) B．(-8,+∞) C．(-∞,8) D．(8,+∞)答案B解析根据题意，函数f(x)=2lnx+4x2+bx+5其导数f'(x)=2若函数f(x)的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则有f'(x)=2x+8x+b>0变形可得b>-(2x+8x)又由2x+8x≥2×2x×8x=8，当且仅当若b>-(2x+8x)在(0,+∞)上恒成立，必有b>-8，即b的取值范围为故选：B．2.(多选)若以曲线y=f(x)上任意一点M(x,y)为切点作切线l，曲线上总存在异于点M的点N(x',y')，使得以点N为切点的切线l'满足l∥l'，则称曲线y=f(x)具有“可平行性”．下列曲线具有“可平行性”的是()A．y=x+1xB．y=x3-xC答案AC解析设f'(x)的值域为Q，由题意，曲线y=f(x)具有“可平行性”等价于对任意的a∈Q方程y'=a至少有两个根，对于A，由y'=1-1x2=a(x≠0且对于B，由y'=-1时，x的取值唯一，只有对于C，由y'=cosx和三角函数的周期性可知，cosx=a(-1≤a≤1)的解有无穷多个，符合题意；对于D，y'=2x－4+1x，令当△=0时解唯一，不合题意．故选：AC．3.设对于曲线f(x)=-ex-x上任一点处的切线l1，总存在曲线g(x)=kx+cos?x上一点处的切线l2答案[0,1]解析f(x)=-ex-x有f'(x)<-1，则-f由g(x)=kx+cos?x，得∵-sin?x∈[-1,1]，要使过曲线f(x)=-ex-x上任一点处的切线l1，总存在曲线g(x)=kx+cos则有：&-1+k?0&1+k?1，解得0?k?1∴实数k的取值范围是[0,1]．4.若函数f(x)=ax+sinx的图象上存在互相垂直的切线，则实数a的值为．答案0解析∵f(x)=ax+sinx，∴f'(x)=a+cosx，假设函数f(x)=ax+sinx的图象上存在互相垂直的切线，不妨设在x=m与x=n处的切线互相垂直则a+cosm∴a2因为a的值必然存在，即方程(*)必然有解，所以判别式△=所以cos解得cosm-cosn≥2或cosm-cosn≤-2由于|cosx|≤1，所以有cosm=1，cosn=-1或cosm=-1,cosn=1，且△=0所以(*)变为：a2=0所以故答案为：0【题型2】过某点处的切线【典题1】已知函数f(x)=2x3-ax，若a=1时，直线y=k(x-1)+1与曲线y=f(x)相切，则k的所有可能的取值为；若a∈R时，直线y=k(x-2)与曲线y=f(x)相切，且满足条件的k的值有且只有3个，则a的取值范围为解析当a=1时，f(x)=2x3-x设直线y=k1(x-1)+1与曲线y=f(x)则k1=f即2x整理得x0-122x则k1=f所以k1的所有可能的取值为12，由f(x)=2x3-ax设直线y=k(x-2)与曲线y=f(x)相切的切点为t,2t于是得k=f'(t)=6t2显然函数y=2t3因直线y=k(x-2)与曲线y=f(x)相切的k的值有且只有3个，则有直线y=k(x-2)与曲线y=f(x)相切的切点横坐标值有且只有3个，即方程a=6t2-2令g(t)=2t3-6当t<0或t>2时，g'(t)>0，当0<t<2时，即函数g(t)在(-∞,0),(2,+∞当t=0时，g(t)取得极大值g(0)=a，当t=2时，g(t)取得极小值g(2)=a-8，方程a=6t2-2t3有3因此&a>0&a-8<0，解得0<a<8所以a的取值范围为(0,8)．故答案为：12，5；(0,8)【典题2】已知函数f(x)=x+1x，过点P(1,0)作函数y=f(x)图像的两条切线，切点分别为M,NA．PM⊥PN B．直线MN的方程为2x-y+1=0 C．|MN|=210 D．△PMN解析因为f(1)=1+1=2，所以P(1,0)没有在函数的图象上，f'(x)=1-1当a=1时，f(1)=2，x=1不与f(x)=x+1x相切，所以f'又因为a+1a=b，解得a=-1±所以kPM×kkNM=22+2222=2|MN|=(-1+2+1+P(1,0)到直线MN的距离为d=|2-0+2|所以△PMN的面积为12|MN|d=故选：C．【巩固练习】1.已知曲线y=lnx的切线过原点，则此切线的斜率为()A．e B．-e C．1e D．答案C解析设切点坐标为(a,lna)，∵y=lnx，∴y'=1x，切线的斜率是切线的方程为y-lna=1a(x-a)，将(0,0)代入可得lna=1∴切线的斜率是1a故选：C．2.过直线y=x-1上一点P可以作曲线f(x)=x-ln?x的两条切线，则点P横坐标t的取值范围为A．0<t<1 B．1<t<e C．0<t<e D．1答案C解析设切点为(m,m-ln?m)，由f(x)=x-ln?x的导数为可得切线的斜率为1-1m，又P(t,t-1)，可得化为t=2m-mlnm，设g(x)=2x-xln?x，可得当x>e时，g'(x)<0，g(x)递减；当0<x<e时，g'可得g(x)在x=e处取得最大值e，可得当0<t<e时，方程t=2m-mlnm有两解，故选：C．3.(多选)若过点(1,a)可以作出曲线y=(x-1)ex的切线l，且l最多有n条，n∈A．a≤0 B．当n=2时，a值唯一 C．当n=1时，a<-4e D．na答案ABD解析y'=ex+(x-1)ex=xe又y0故由点斜式方程可知切线l的方程为y-x∴x0e对于A，由于a=-ex0x0-12对于B，令g(x)=-ex(x-1易知g(x)在(-∞,-1),(1,+∞且g(-1)=-4e，g(1)=0，当x→-∞，时，g(x)→0，当x→+作出函数g(x)的草图如下，当n=2时，即x0的值有两个，由图象可知，当且仅当a=g(-1)=-4e时，x对于C，由图象可知，当a=0或a<-4e时，x0的值唯一，此时n=1对于D，由图象可知，n=1或2或3，若na=-4，则当n=1时，a=-4，由选项C可知，此时a=0或a<-4e，而-4<-4e，故na可能取到故选：ABD．【题型3】两曲线的公切线【典题1】若直线y=kx+b是曲线y=ex-2的切线，也是曲线y=ex-1的切线，则b=解析设直线y=kx+b与y=ex-2和y=ex-1的切点分别为(x1则切线分别为y-ex1化简得：y=ex1依题意有：ex∴x则b=e故答案为：12ln2-【典题2】若曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=A．[e28,+∞) B．(0,e2解析由y=ax2(a>0)由y=ex，得∵曲线C1:y=ax设公切线与曲线C1切于点(x1,ax12)，与曲线则2ax1=ex2=∴a=ex1则f'(x)=ex2+1(x-2)∴当x=2时，f(x)∴a的范围是[e24故选：C．【巩固练习】1.若曲线y=x-ln?x与曲线y=ax3+x+1A．e23 B．-e23 C．答案B解析设公共点的横坐标为t，由y'=1-1则&t-ln?t=at①再代入第一个方程ln?t=-23，结合①故选：B．2.若二次函数f(x)=x2+1的图象与曲线C:g(x)=aex+1(a>0)存在公共切线，则实数a答案(0,4解析f(x)=x2+1的导数为f'(x)=2x，g(x)=a设公切线与f(x)=x2+1与曲线C:g(x)=aex+1∴2x化简可得，2x1=2x∵2x1=aex2，且a>0，由2x1=a设h(x)=4(x-1)ex∴h(x)在(1,2)上递增，在(2,+∞)上递减，∴h(x)∴实数a的取值范围为(0,4故答案为：(0,4e2【题型4】综合运用【典题1】对任意的x>0，总有f(x)=a-x-|lg?x|≤0，则a的取值范围是.解析原问题即lgx≥-x+a在区间(0,+∞即函数g(x)=|lg?x|与h(x)=-x+a相切时的情形，很明显切点横坐标位于区间(0,1)内，此时，g(x)=-lg?x,g'则切点坐标为:(-lg切线方程为：y+lg令x=0可得纵截距为：lg?e-结合如图所示的函数图象可得则a的取值范围是(-∞【典题2】直线y=m分别与曲线y=2(x+1)，与y=x+ln?x交于点A,B，则|AB|的最小值为解析作出曲线y=2(x+1)过B作BC⊥要使|AB|取到最小值，只需|BC|取到最小值即可，为此对y=x+ln?x进行求导得y令y'=2，解得x=1，代入y=x+ln?x所以当|BC|取到最小值时，m=1，易知|AB|=1-【巩固练习】1.已知M(1,0)，N是曲线y=ex上一点，则|MN|的最小值为(A．1 B．2 C．e D．e答案B解析y=ex的导数为y'=ex．设N(m,e当MN垂直于切线时，|MN|取得最小值，可得emm-1=-因为f(x)=e2x+x单调递增，且f(0)=1所以|MN|的最小值为12故选：B．2.已知定义在1π,π上的函数f(x)，满足f(x)=f1x，且当x∈[1,π]时f(x)=ln?x，若函数g(x)=f(x)-ax在答案1e解析∵fx=f1∴x∈-1π,1时，f(x)=-ln?x,g(x)零点，就是y=f(x)与画出两函数图象，如图，由图知，kOA=πln?π，过原点与y=所有直线与曲线有一个交点的a的范围是1e【A组基础题】1.若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sin?xB.y=ln?xC.答案A解析当y=sin?x时，y'所以在函数y=sin?x图象存在两点故A正确；函数y=ln?x,y=ex,y=2.若过点P(－1,m)可以作三条直线与曲线C:y=xex相切，则m的取值范围是A．(-3e2,+∞)B．(-1e,0) C答案D解析设切点为(x0,y0代入点P坐标化简为m=(-x令f(x)=(-x2函数在(-∞,-2)上单调递减，在(-2,-1)上单调递增，在(-1,+∞)上单调递减，故得到f(-2)<m<f(-1)，即(故选：D．3.曲线y=ex上的点到直线x-y-3=0的距离的最小值为A．2 B．2 C．22 D．答案C解析由y=ex，得设曲线在Px0,则ex0=1，所以x所以与已知直线平行且与曲线相切的直线为x-y+1=0，所以曲线y=ex上的点到直线x-y-3=0的距离的最小值为故选：C．4.已知函数fx=sinx-cosx,x∈0,+∞，直线L过原点且与曲线A.fxn=1B.数列C.xn=tan?答案D解析设直线L的方程为y=knx由导数的几何意义可得&y∴xn=作出y=x与由图象可知xn不是等差数列．故B由&yn=sin?xn∴yn2∴k∴fxn2=故选：D．5.过平面内一点P作曲线y=|ln?x|两条互相垂直的切线l1,l2，切点为P1,P2P1①P1P2两点的横坐标之积为定值；②③线段AB的长度为定值；④三角形ABP面积的取值范围为(0,1]．A．1 B．2 C．3 D．4答案C解析作出曲线y=|ln过平面内一点P作曲线y=|ln?x|两条互相垂直的切线l1,l则切点P1的横坐标在x2∈(0,1)，P当x∈(0,1)，y=-ln?x，y'当x∈(1,+∞)，y=ln?x，∴-1x2×1直线P1P2的斜率为y过P1的切线方程为y-令x=0，∴y=y1-1即同理可得B0,∴|AB|=y2-由切线l1,l2联立解得交点又因为P1，P∴P的横坐标xP∈(0,1)，故S故选：C．6.已知函数f(x)=ln?x-x+t，直线l:y=-12x+lnA．若直线l是曲线y=f(x)的切线，则t=-3 B．若直线l与曲线y=f(x)无公共点，则t>-3 C．若t=-2，则点P到直线l的最短距离为5 D．若t=-2，当点P到直线l的距离最短时，x答案D解析f'A选项：因为直线为f(x)的切线，故k=-12，故1x又f(2)=ln?2-2+t，故将(2,ln?2-2+t)代入直线计算可得B选项：因为f'(x)=1x-1故f(x)在(0,1)递增，(1,+∞故f(x)的最大值为f(1)=t，又因为直线y=-12x+当x=1时，y=ln?2+32，故要使得直线与f(x)无公共点，仅需C选项：当t=-2时，f(x)=ln即f'(x)=1故P(2,ln?2-4)，故P点到直线的距离d=-D选项：由C选项可知距离最小时，P横坐标为2，故D选项正确．故选：D．7.(多选)若过点P(-1,t)最多可以作出nn∈N*条直线与函数A．th可以等于2022 B．n不可以等于3 C．te+n>3 D．n=1时，t∈{0}?答案AD解析设过点P(-1,t)的直线与函数f(x)=x+1ex的图像相切时的切点为(a,b)因为f(x)=x+1ex所以切线方程为y-a+1ea所以t-a+1ea令g(a)=(a+1)2ea，则过点P(-1,t)的直线与函数f(x)=因为g'令g'(a)=0，得所以，当a<-1时，g'(a)<0，g(a)单调递减，当-1<a<1时，g'a>0，g(a)单调递增，当因为g(-1)=0,g(1)=4所以函数g(a)的图像大致如图：由图可知当t<0时，直线y=t与曲线g(a)=(a+1)2当t=0或t>4e时，直线y=t与曲线g(a)=(a+1)2当t=4e时，直线y=t与曲线g(a)=(a+1)2当0<t<4e时，直线y=t与曲线g(a)=(a+1)对于A，当t=2022>4e，此时n=1，则tn=2022符合题意，故对于B，当0<t<4e时，n=3对于C，当t=0时，n=1，则te+n=1<3，故C错误；对于D，当t=0或t>4e时，n=1，则当n=1时，t∈{0}?4故选：AD．8.已知曲线y=x2+54在点12,32处的切线为l，数列an的首项为1，点a答案n(n+1)解析由y=x2+54∴切线l:y-32∵点an,a∴an+1=an+1，则数列∴数列an的前n项和为S9.若直线y=kx+b是曲线y=ln?x+2的切线，也是曲线y=ln?(x+2)答案1解析设y=kx+b与y=ln?x+2和y=ln?(x+2)的切点分别为由导数的几何意义可得k=1r=切线方程分别为y-ln?x或y-ln?x∴2-x1x1故答案为1．10.曲线y=ln?(2x-1)上的点到直线2x-y+8=0的最短距离是答案2解析∵曲线y=ln(2x-1)，∴分析知直线2x-y+8=0与曲线y=ln2x-1相切的点到直线y'=22x-1=2，解得x=1∴y=0,∴点(1,0)到直线2x-y+8=0的距离最短，∴d11.设函数y=2x2-2(0?x?1)的图象为曲线C，Rx0,y0为曲线C上任意一点过点R的直线PQ与曲线C相切，且与x轴交于点P，与y轴交于点答案3解析由y=2x2-2则切线PQ的方程为y-2化简得4x0x-y-2x0所以三角形POQ的面积为12令v=x03令x02=t∈[0,1]令u=0，解得t=13或-1(舍去所以当t∈0,13时，u<0当t∈13,1时，u>0又x0所以当且仅当x0=3【B组提高题】1.若直线y=k1(x+1)-1与曲线y=ex相切，直线y=k2A．12 B．1 C．e