数学北师大版选修2-2学案第三章导数应用2-

/09/9/2.1实际问题中导数的意义学习目标1.了解导数在实际问题中的意义.2.能用导数解释一些实际问题．知识点实际问题中导数的意义思考1实际问题中平均变化率的意义是什么？答案实际问题中的平均变化率指的是：在一个区间[x1，x2]内一个量变化的平均速度．思考2在实际问题中，导数有什么作用？答案导数可以刻画事物变化快慢的程度．梳理用导数处理实际问题的流程类型一导数在物理学中的应用例1物体作自由落体运动，其方程为s(t)＝eq\f(1,2)gt2.(其中位移单位：m，时间单位：s，g＝9.8m/s2)(1)计算当t从2s变到4s时位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的意义；(2)求当t＝2s时的瞬时速度，并解释它的意义．解(1)当t从2s变到4s时，位移s从s(2)变到s(4)，此时，位移s关于时间t的平均变化率为eq\f(s?4?－s?2?,4－2)＝eq\f(\f(1,2)g×42－\f(1,2)g×22,4－2)＝9.8×3＝29.4(m/s)．它表示物体从2s到4s这段时间平均每秒下落29.4m.(2)∵s′(t)＝gt，∴s′(2)＝2g＝19.6(m/s)．它表示物体在t＝2s时的瞬时速度为19.6m/s.反思与感悟(1)函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)就是导函数在x0处的函数值．(2)瞬时速度是运动物体的位移s(t)对于时间的导数，即v(t)＝s′(t)．(3)瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间的导数，即a(t)＝v′(t)．跟踪训练1某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W＝W(t)＝t3－6t2＋16t.(1)求t从1s变到3s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释实际意义；(2)求W′(1)，W′(2)，并解释它们的实际意义．解(1)当t从1s变到3s时，功W从W(1)＝11J变到W(3)＝21J，此时功W关于时间t的平均变化率为eq\f(W?3?－W?1?,3－1)＝eq\f(21－11,3－1)＝5(J/s)．它表示从t＝1s到t＝3s这段时间，这个人平均每秒做功5J.(2)首先求W′(t)，根据导数公式和求导法则可得W′(t)＝3t2－12t＋16，W′(1)＝7J/s，W′(2)＝4J/s.W′(1)和W′(2)分别表示t＝1s和t＝2s时，这个人每秒做的功为7J和4J.类型二导数在经济生活中的应用例2某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x)＝eq\f(1,4)x2＋60x＋2050.求当日产量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义．解当x从10件提高到20件时，总成本C从C(10)＝2675元变到C(20)＝3350元．此时总成本的平均改变量为eq\f(C?20?－C?10?,20－10)＝67.5(元/件)，其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量．引申探究若本例的条件不变，求当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义．解因为C′(x)＝eq\f(1,2)x＋60，所以C′(75)＝eq\f(1,2)×75＋60＝97.5(元/件)，它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元．反思与感悟实际生活中的一些问题，如在生活和生产及科研中经常遇到的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其改变量时常用导数解决．跟踪训练2东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7000x＋600.(1)求产量为1000台的总利润与平均利润；(2)求产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均改变量；(3)求c′(1000)与c′(1500)，并说明它们的实际意义．解(1)产量为1000台时的总利润为c(1000)＝－2×10002＋7000×1000＋600＝(元)，平均利润为eq\f(c?1000?,1000)＝5000.6(元)．(2)当产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均改变量为eq\f(c?1500?－c?1000?,1500－1000)＝eq\f(－5000600,500)＝2000(元)．(3)∵c′(x)＝(－2x2＋7000x＋600)′＝－4x＋7000，∴c′(1000)＝－4×1000＋7000＝3000(元)．c′(1500)＝－4×1500＋7000＝1000(元)．c′(1000)＝3000表示当产量为1000台时，每多生产一台机械可多获利3000元．c′(1500)＝1000表示当产量为1500台时，每多生产一台机械可多获利1000元．1．一个物体的运动方程为s(t)＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3s末的瞬时速度是()A．7m/s B．6m/sC．5m/s D．8m/s答案C解析∵s′(t)＝2t－1，∴s′(3)＝2×3－1＝5.2．某旅游者爬山的高度h(单位：m)关于时间t(单位：h)的函数关系式是h(t)＝－100t2＋800t，则他在t＝2h这一时刻的高度变化的速度是()A．500m/h B．1000m/hC．400m/h D．1200m/h答案C解析∵h′＝－200t＋800，∴当t＝2时，h′(2)＝400.3．圆的面积S关于半径r的函数关系式是S(r)＝πr2，那么在r＝3时面积的变化率是()A．6B．9C．9πD．6π答案D解析∵S′(r)＝2πr，∴S′(3)＝2π×3＝6π.4．正方形的周长y关于边长x的函数是y＝4x，则y′＝________，其实际意义是_______________________________________．答案4边长每增加一个单位，周长增加4个单位5．某汽车的路程函数是s(t)＝2t3－eq\f(1,2)gt2(g＝10m/s2)，则当t＝2s时，汽车的加速度是________m/s2.答案14解析v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，∴a(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．1．要理解实际问题中导数的意义，首先要掌握导数的定义，然后再依据导数的定义解释它在实际问题中的意义．2．实际问题中导数的意义(1)功关于时间的导数是功率．(2)降雨量关于时间的导数是降雨强度．(3)生产成本关于产量的导数是边际成本．(4)路程关于时间的导数是速度．(5)速度关于时间的导数是加速度．课时作业一、选择题1．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t3－5t2(t表示时间)，则当t＝2时，汽车的加速度是()A．14 B．4C．10 D．6答案A解析∵v(t)＝s′(t)＝6t2－10t，∴v′(t)＝12t－10，∴当t＝2时，v′(2)＝24－10＝14.2．某汽车的紧急刹车在遇到特别情况时需在2s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝－eq\f(1,3)t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为()A．汽车刹车后1s内的位移B．汽车刹车后1s内的平均速度C．汽车刹车后1s时的瞬时速度D．汽车刹车后1s时的位移答案C解析由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度．3．某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设f′(x)>0恒成立，且f′(10)＝10，f′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较()A．公司已经亏损B．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小C．公司在亏损且亏损幅度变小D．公司的盈利在增加，增加的幅度变大答案B解析因为导数的含义是变化率，f′(10)>f′(20)>0.4．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是()答案A解析根据变化率的大小判断．5．细杆AB的长为20cm，M为细杆AB上的一点，AM段的质量与A到M的距离的平方成正比，当AM＝2cm时，AM的质量为8g，那么当AM＝xcm时，M处的细杆线密度ρ(x)为()A．2x B．3xC．4x D．5x答案C解析设m(x)＝kx2，当AM＝2时，m(2)＝k·22＝8，∴k＝2.∴m(x)＝2x2.∴ρ(x)＝m′(x)＝4x.6．如图，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图像大致是()答案D解析用变化率分析，开始和即将结束时，变化率小，中间变化率大，故选D.二、填空题7．一质点沿直线运动，如果由始点起经过ts后的位移为s＝3t2＋t，则速度v＝10时的时刻t＝________.答案eq\f(3,2)解析s′＝6t＋1＝10，∴t＝eq\f(3,2).8．若某段导体通过的电量Q(单位：C)与时间t(单位：s)的函数关系为Q＝f(t)＝eq\f(1,20)t2＋t－80，t∈[0，30]，则f′(15)＝________，它的实际意义是________________________________．答案eq\f(5,2)C/st＝15s时的电流强度为eq\f(5,2)C/s9．酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深8cm，上口宽6cm，水以20cm3/s的流量倒入杯中，当水深为4cm时，水升高的瞬时变化率为________．答案eq\f(80,9π)cm/s10．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，则点P横坐标的取值范围为________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))解析令y＝f(x)＝x2＋2x＋3.∵f′(x)＝2x＋2，∴可设P点横坐标为x0，则曲线C在P点处的切线斜率为2x0＋2.由已知得0≤2x0＋2≤1，∴－1≤x0≤－eq\f(1,2)，∴点P横坐标的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))).三、解答题11．某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝120＋eq\f(x,10)＋eq\f(x2,100)(元)．(1)当x从200变到220时，总成本c关于产量x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？(2)求c′(200)，并解释它代表什么实际意义？解(1)当x从200变到220时，总成本c从c(200)＝540元变到c(220)＝626元．此时总成本c关于产量x的平均变化率为eq\f(c?220?－c?200?,220－200)＝eq\f(86,20)＝4.3(元/件)，它表示产量从x＝200件变化到x＝220件时，平均每件的成本为4.3元．(2)c′(x)＝eq\f(1,10)＋eq\f(x,50)，于是c′(200)＝eq\f(1,10)＋4＝4.1(元/件)．它指的是当产量为200件时，每多生产一件产品，需增加4.1元成本．12．江轮逆水上行300km，水速为6km/h，船相对于水的速度为xkm/h，已知船航行时每小时的耗油量为0.01x2L，即与船相对于水的速度的平方成正比．(1)试写出江轮在此行程中耗油量y关于船相对于水的速度x的函数关系式：y＝f(x)；(2)求f′(36)，并解释它的实际意义(船的实际速度＝船相对水的速度—水速)．解(1)船的实际速度为(x－6)km/h，故全程用时eq\f(300,x－6)h，所以耗油量y关于x的函数关系式为y＝f(x)＝eq\f(300×0.01x2,x－6)＝eq\f(3x2,x－6)(x>6)．(2)f′(x)＝3·eq\f(2x?x－6?－x2,?x－6?2)＝eq\f(3x?x－12?,?x－6?2)，f′(36)＝eq\f(3×36×?36－12?,?36－6?2)＝2.88(eq\f(L,km/h))，f′(36)表示当船相对于水的速度为36km/h时，耗油量增加的速度为2.88eq\f(L,km/h)，也就是说当船相对于水的速度为36km/h时，船的航行速度每增加1km/h，耗油量就要增加2.88L.13．在F1赛车中，赛车位移s与比赛时间t存在函数关系s＝10t＋5t2(s的单位为m，t的单位为s)．求：(1)t＝20，Δt＝0.1时的Δs与eq\f(Δs,Δt)；(2)求t＝20时的瞬时速度解(1)因为Δs＝s(20.1)－s(20)＝(10×20.1＋5×20.12)－(10×20＋5×202)＝21.05(m)，所以eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(21.05,0.1)＝210.5(m/s)．(2)因为s′＝10＋10t，所以当t＝20时，s′＝10＋10×20＝210(m/s)，即当t＝20时的瞬时速