新教材北师大版必修第二册 6.6.1柱锥台的侧面展开与面积 作业

2020-2021学年新教材北师大版必修第二册6.6.1柱、锥、台的侧面展开与面积作业1、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（）A． B．C． D．2、某几何体的三视图如图所示，则它的最长棱长是（）A．2 B． C． D．33、若一个几何体的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这个三棱柱的体积为（）A． B．C． D．4、如图，已知、分别是正方形的边和的中点，分别沿、、将、、折起，使、、三点重合于点，如图所示．设异面直线与所成的角为，二面角、的大小分别为、则下列说法正确的是（）A． B． C． D．5、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知1斛的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，该粮仓的外接球的体积是（）立方丈A． B． C． D．6、如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线，在原正方体中的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．异面 D．相交成7、已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形（如图）．若底面圆的弦所对的圆心角为，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为（）A． B． C． D．8、下列说法中正确的个数是（）①圆锥的轴截面是等腰三角形；②用一个平面去截棱锥，得到一个棱锥和一个棱台；③棱台各侧棱的延长线交于一点；④有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱．A．0 B．1 C．2 D．39、在三棱锥中，，，，，点到底面的距离为2，则三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．10、已知不同直线、与不同平面、，且，，则下列说法中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则11、正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积（）A． B． C． D．12、已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（）A． B．3 C． D．13、有如下命题：①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；②如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；③平行于同一条直线的两条直线平行；④如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．其中作为公理（基本事实）的是_____（填写序号）．14、已知某长方体的所有顶点均在半径为的球面上，且长方体的表面积为22，则此长方体的所有棱长之和为__________.15、已知四面体的所有顶点在球的表面上，平面，，，则球的表面积为_________.16、自半径为的球面上一点，引球的三条两两垂直的弦，，，则________．17、如图，在正方体中，？分别是平面？平面的中心，证明:（1）平面；（2）平面平面.18、如图，已知三棱锥A-BPC中，，M为AB的中点，D为PB的中点，且为正三角形.（1）求证：平面APC；（2）若，，求三棱锥D-BCM的体积.19、如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，AB＝AC＝2，PA＝2，PB＝PD.（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD；（2）若PA⊥AC，M为PC的中点，求三棱锥B﹣CDM的体积.20、如图，已知正三棱柱（底面是正三角形，侧棱与底面垂直），，，分别是，的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.参考答案1、答案A解析由三视图确定几何体的形状特征，进而确定外接球的球心位置，求得半径，进而计算可得.详解：由已知几何体的正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，可得该几何体有一个侧面PAC垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图.则这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，这个几何体的外接球的半径R＝.则这个几何体的外接球的表面积为故选：A.点睛本题考查棱锥的外接球的表面积问题，根据已知条件找到外接球的球心，求得半径是关键.2、答案C解析根据三视图还原几何体，则问题得解.详解：由三视图还原几何体如下所示：容易知：，故最长棱长是.故选：C.点睛本题考查由三视图还原几何体，属基础题.3、答案D解析首先根据题中所给的几何体的三视图，可以判断其为正三棱柱，根据数据求得底面边长和棱柱的高，利用柱体体积公式求得结果.详解：由三视图可知这个几何体为正三棱柱，底面正三角形的高为，则，解得底面正三角形的边长为，正三棱柱的高为4，所以所求几何体的体积为故选：D.点睛该题考查的是有关几何体的问题，涉及到的知识点有几何体的三视图，根据三视图求几何体的体积，属于基础题目.4、答案C解析根据翻折的性质将所求的空间角转化为平面角，比较这三个角的大小即可．详解：由翻折的性质易知，，，故平面，所以，即．由，可知二面角的平面角为，易知为等腰直角三角形，且．取的中点，连接、，如图．易知二直角的平面角为，显然为锐角，故，故选：C．点睛本题主要考查异面直线所成的角、二面角，考查考生的空间想象能力，属于中等题.5、答案D解析由条件先算出长方体的体积，然后可得出长方体的高，然后再算出长方体的外接球半径即可.详解：因为该长方体的粮仓可装粟一万斛，1斛的体积为2.7立方尺所以该长方体的体积为立方尺所以该长方体的高为尺因为长方体的外接球直径为其体对角线所以长方体的外接球半径尺所以体积为立方尺，即为立方丈故选：D点睛1.长方体的体对角线是其外接球的直径.2.解答本题时要注意单位的统一.6、答案D解析将原正方体盒子的展开图还原成直观图，再判断的位置关系.详解：原正方体盒子的直观图如图所示：则与相交，连接，有为等边三角形,故选：D点睛本题考查空间中直线位置关系的判断，考查正方体侧面开展图与原几何体的关系，比较简单，只需画出直观图即可解决问题.7、答案A解析利用较大部分与圆柱的体积比等于面积比列方程可解得答案.详解：设截面将圆柱分成的两部分中较大部分的体积为,圆柱的体积为,将圆柱的底面分成的两部分中,较大部分的面积为,圆柱的底面积为,则,,,所以依题意可得,所以.,故选:A点睛本题考查了利用圆柱的体积公式计算体积,利用较大部分与圆柱的体积比等于面积比列方程是解题关键,属于基础题.8、答案C解析利用空间几何体的概念对每一个命题的正误逐一判断得解.详解对于①，圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，①正确；对于②，只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，②错误；对于③，棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥所得的几何体，所以它的各侧棱延长线交于一点，③正确；对于④，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如：把两个同底面的倾斜方向不同的斜四棱柱拼在一起，这个几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但是这个几何体不是四棱柱，所以④错误；综上所述，正确命题的序号是①③，共2个．故选：C．点睛本题主要考查空间几何体的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9、答案C解析首先根据垂直关系可确定，由此可知为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出的一个表达式，在中，可以计算出的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积．详解：取中点，由，可知：，为三棱锥外接球球心，过作平面，交平面于，连接交于，连接，，，，，，为的中点由球的性质可知：平面，，且．设，，，，在中，，即，解得：，三棱锥的外接球的半径为：，三棱锥外接球的表面积为．故选：.点睛本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.10、答案C解析根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.详解：对于，若，则可能为平行或异面直线，错误；对于，若，则可能为平行、相交或异面直线，错误；对于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正确；对于，若，只有当垂直于的交线时才有，错误.故选：.点睛本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.11、答案A解析详解：如图:正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角△POE．∵OE=2cm，∠OPE=30°，∴斜高h′=PE=，∴S正棱锥侧=故选：A12、答案B解析设底面圆半径为，高为，根据题目条件列出关于和的方程组，解出.详解：设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，则圆锥的侧面积为，故表面积为，得①，又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即，得②，联立①②得：，.故答案为：B.点睛本题考查圆圆锥中的相关计算，难度一般，解答的关键在于得出底面半径与高的关系.13、答案①②③解析根据公理可得出结论.详解：公理如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，命题②为公理；公理过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，命题①为公理；公理如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；公理平行于同一条直线的两条直线平行，命题③为公理.命题④为等角定理.故答案为：①②③.点睛本题考查对平面几个公理的理解，属于基础题.14、答案24解析由长方体的体对角线为外接球的直径可知，长方体的表面积为22可得，联立可得：，即可得棱长之和.详解：设该长方体的长、宽、高分别为，由体对角线为外接球的直径得①，由长方体的表面积为22得:②，①②两式相加得，即，故此长方体的所有棱长之和为.故答案为：24点睛本题主要考查了长方体的外接球的直径即是长方体的体对角线，涉及长方体的表面积公式，属于基础题.15、答案解析将四面体补成直三棱柱，根据题意画出图象，设，的外心分别为，，则点为线段的中点，求出，在根据正弦定理，求出，根据勾股定理和球的表面积公式，即可求得答案.详解：四面体的所有顶点在球的表面上，且平面，将四面体补成直三棱柱，设，的外心分别为，，则点为线段的中点，根据直棱柱特征可得：面根据题意画出图象，如图：可得：，在根据正弦定理：(为三角形外接圆半径)根据为的外心，可得为外接圆半径即，面，面故为直角三角形在中，根据勾股定理可得：，.故答案为：.点睛本题主要考查了求四面体外接球表面积问题，解题关键是掌握将四面体补成直三棱柱求外接球半径的方法和球的表面积公式，数形结合，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.16、答案解析，，可以构成球内接长方体的三条共顶点的边，计算得到答案.详解：根据题意，，可以构成球内接长方体的三条共顶点的边，则.故答案为：.点睛本题考查了球的内接长方体问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.17、答案试题分析：(1)证明即可.(2)根据(1)中的结论再证明即可.详解：（1）由是正方体,可知,,∵平面,平面,∴平面.（2）由是正方体,可知,,∵平面,年平面,∴平面,由（1）知,平面,又,∴平面平面.点睛本题主要考查了线面平行与面面平行的证明,属于基础题.解析18、答案（1）证明见解析；（2）试题分析：（1）因为M为AB的中点，D为PB的中点，由中位线定理可得，再由线面平行的判定定理即可证明；（2）根据题意得到平面BCD的距离为的长，由三棱锥D-BCM的体积即为三棱锥M-BCD的体积，由题设条件求出的长，及三角形BCD的面积，由椎体体积公式代入数据求解即可.详解（1）证明：因为M为AB的中点，D为PB的中点，所以MD是的中位线，.又平面APC，平面APC，所以平面APC.（2）在等边三角形PMB中，D为PB的中点，，，又，平面PBC，，平面PBC，平面PBC，平面PBC，，又，平面PAC，，平面PAC，平面PBC，.平面PBC，即MD是三棱锥M-DBC的高.又因为，M为AB的中点，为正三角形，所以，，由平面APC，可得，在直角三角形PCB中，由，可得.于是,所以.点睛本题主要考查线面平行的判定及椎体的体积，解题的关键时对三棱锥体积的转化.解析19、答案（1）见解析；（2）1试题分析：（1）由菱形性质得，由等腰三角形中线的性质得，再根据面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）利用进行转化，先证出平面，从而确定出棱锥的高，利用椎体体积公式求得结果.详解：（1）证明：设交于点，连接，在菱形中，，又，是的中点，，，平面，平面，平面，又平面，故平面⊥平面；（2）解：连接，为的中点，且为的中点，，由（1）知，，又，则，，又，平面，又，，.三棱锥的体积为1.点睛本题主要考查面面垂直的判定定理以及三棱锥体积的求法.证明面面垂直，可根据判断定理进行证明，即先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直，本质上是证明线面垂直；求三棱锥体积时，如果不能直接求解或者直接求解比较麻烦，可以进行转化，比如本题中，三棱锥的体积