新教材北师大版必修第二册 6.6.3球的表面积和体积作业

2020-2021学年新教材北师大版必修第二册6.6.3球的表面积和体积作业一、选择题1、已知正四棱锥P－ABCD内接于一个半径为R的球，则正四棱锥P－ABCD体积的最大值是（）A． B．C． D．R32、如图，四边形的面积为，且，把绕旋转，使点运动到，此时向量与向量的夹角为90°.则四面体外接球表面积的最小值为（）A． B． C． D．3、《九章算术》是中国古代第一部数学专着，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是()A．50 B．75 C．25.5 D．37.54、在正方体ABCD–A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，关于直线A1O，下列说法正确的是（）A．A1O∥D1C B．A1O⊥BCC．A1O∥平面B1CD1 D．A1O⊥平面AB1D15、已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．8 C．4 D．6、一个几何体的正视图和侧视图都是面积为１的正方形，则这个几何体的俯视图一定不是（）7、阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（）A． B． C． D．8、下列说法中正确的个数是（）①圆锥的轴截面是等腰三角形；②用一个平面去截棱锥，得到一个棱锥和一个棱台；③棱台各侧棱的延长线交于一点；④有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱．A．0 B．1 C．2 D．39、在三棱锥中，，，，，点到底面的距离为2，则三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．10、已知不同直线、与不同平面、，且，，则下列说法中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则11、正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积（）A． B． C． D．12、已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（）A． B．3 C． D．二、填空题13、有如下命题：①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；②如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；③平行于同一条直线的两条直线平行；④如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．其中作为公理（基本事实）的是_____（填写序号）．14、已知某长方体的所有顶点均在半径为的球面上，且长方体的表面积为22，则此长方体的所有棱长之和为__________.15、已知四面体的所有顶点在球的表面上，平面，，，则球的表面积为_________.16、自半径为的球面上一点，引球的三条两两垂直的弦，，，则________．三、解答题17、（本小题满分10分）如图为一简单组合体，其底面为正方形，棱与均垂直于底面，，求证：平面平面.18、（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱（底面是正三角形，侧棱与底面垂直），，，分别是，的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.19、（本小题满分12分）如图，四棱锥中，平面分别为线段的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面20、（本小题满分12分）已知：空间四边形ABCD，E、F分别是AB、AD的中点，求证：EF∥平面BCD参考答案1、答案C解析根据几何体的对称性可以确定外接球的球心在正四棱锥的高线上，记O为正四棱锥P－ABCD外接球的球心，O1为底面ABCD的中心，设OO1＝x，进而求得四棱锥底面边长和高关于的表达式，利用棱锥的体积公式得到正四棱锥P－ABCD的体积:关于的函数表达式，适当整理变形后利用平均值不等式求得最大值.详解：如图，记O为正四棱锥P－ABCD外接球的球心，O1为底面ABCD的中心，则P，O，O1三点共线，连接PO1，OA，O1A.设OO1＝x，则O1A＝，AB＝·，PO1＝R＋x，所以正四棱锥P－ABCD的体积:，当且仅当，即时取等号.所以正四棱锥P－ABCD的体积的最大值为.故选：C.点睛本题考查棱锥的体积、锥与球的切接问题及利用均值不等式求最值的应用，关键是根据几何体的对称性找到球心位置，利用勾股定理求得正四棱锥的底面边长和高关于的函数表达式，难点是利用均值不等式求最值，属中高档题，难度较大.2、答案C解析将四面体补成一个长方体，则该长方体的外接球就是四面体的外接球，设，，，有，，根据基本不等式可求得外接球的半径的最小值，从而求得外接球的表面积的最小值.详解：将四面体补成一个长方体，如下图所示，所以长方体的外接球就是四面体的外接球，设，，，则，所以，故四面体外接球表面积的最小值为.故选：C.点睛本题考查几何体的外接球的相关问题，关键在于确定出外接球的球心和半径，属于中档题.3、答案D解析详解：由题意得，根据给定的三视图可知，原几何体是在直三棱柱的基础上，截去一个四棱锥，所得的几何体，所以截去后剩余的几何体的体积为，故选D.4、答案C解析推导出四边形是平行四边形，可判定C正确，再利用空间线线、线面的位置关系排除其它选项即可.详解∵，故A错误；假设A1O⊥BC，结合A1A⊥BC可得BC⊥平面A1ACC1，则可得BC⊥AC，显然不正确，故假设错误，即B错误；设,则,且，故四边形是平行四边形，所以,故选项C正确；假设A1O⊥平面AB1D1，则,又,∴平面,,故选项D错误,综上知选项C正确.故选：C．点睛本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．5、答案D解析由三视图可知几何体为四棱锥,俯视图为底面,主视图的高为棱锥的高,代入体积公式计算可得选项.详解由三视图可知该几何体是底面为正方形的四棱锥，底面是边长为2的正方形，棱锥的高为2，∴.故选:D.点睛本题考查根据三视图得出原几何体，并且求其体积的问题，关键在于由三视图准确地还原几何体，属于基础题.6、答案B解析由于原几何体的正视图和侧视图都是面积为１的正方形，所以对于选项，原几何体为三棱柱；对于选项，一定不能满足其正视图和侧视图都是面积为１的正方形，所以不正确；对于选项，原几何体为正方体；对于选项，原几何体为正方体被截掉的圆柱所得的空间几何体；故应选.考点：1、三视图；7、答案C解析设球的半径为R，根据组合体的关系，圆柱的表面积为，解得球的半径，再代入球的体积公式求解.详解：设球的半径为R，根据题意圆柱的表面积为，解得，所以该球的体积为.故选：C点睛本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.8、答案C解析利用空间几何体的概念对每一个命题的正误逐一判断得解.详解对于①，圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，①正确；对于②，只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，②错误；对于③，棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥所得的几何体，所以它的各侧棱延长线交于一点，③正确；对于④，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如：把两个同底面的倾斜方向不同的斜四棱柱拼在一起，这个几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但是这个几何体不是四棱柱，所以④错误；综上所述，正确命题的序号是①③，共2个．故选：C．点睛本题主要考查空间几何体的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9、答案C解析首先根据垂直关系可确定，由此可知为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出的一个表达式，在中，可以计算出的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积．详解：取中点，由，可知：，为三棱锥外接球球心，过作平面，交平面于，连接交于，连接，，，，，，为的中点由球的性质可知：平面，，且．设，，，，在中，，即，解得：，三棱锥的外接球的半径为：，三棱锥外接球的表面积为．故选：.点睛本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.10、答案C解析根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.详解：对于，若，则可能为平行或异面直线，错误；对于，若，则可能为平行、相交或异面直线，错误；对于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正确；对于，若，只有当垂直于的交线时才有，错误.故选：.点睛本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.11、答案A解析详解：如图:正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角△POE．∵OE=2cm，∠OPE=30°，∴斜高h′=PE=，∴S正棱锥侧=故选：A12、答案B解析设底面圆半径为，高为，根据题目条件列出关于和的方程组，解出.详解：设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，则圆锥的侧面积为，故表面积为，得①，又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即，得②，联立①②得：，.故答案为：B.点睛本题考查圆圆锥中的相关计算，难度一般，解答的关键在于得出底面半径与高的关系.13、答案①②③解析根据公理可得出结论.详解：公理如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，命题②为公理；公理过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，命题①为公理；公理如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；公理平行于同一条直线的两条直线平行，命题③为公理.命题④为等角定理.故答案为：①②③.点睛本题考查对平面几个公理的理解，属于基础题.14、答案24解析由长方体的体对角线为外接球的直径可知，长方体的表面积为22可得，联立可得：，即可得棱长之和.详解：设该长方体的长、宽、高分别为，由体对角线为外接球的直径得①，由长方体的表面积为22得:②，①②两式相加得，即，故此长方体的所有棱长之和为.故答案为：24点睛本题主要考查了长方体的外接球的直径即是长方体的体对角线，涉及长方体的表面积公式，属于基础题.15、答案解析将四面体补成直三棱柱，根据题意画出图象，设，的外心分别为，，则点为线段的中点，求出，在根据正弦定理，求出，根据勾股定理和球的表面积公式，即可求得答案.详解：四面体的所有顶点在球的表面上，且平面，将四面体补成直三棱柱，设，的外心分别为，，则点为线段的中点，根据直棱柱特征可得：面根据题意画出图象，如图：可得：，在根据正弦定理：(为三角形外接圆半径)根据为的外心，可得为外接圆半径即，面，面故为直角三角形在中，根据勾股定理可得：，.故答案为：.点睛本题主要考查了求四面体外接球表面积问题，解题关键是掌握将四面体补成直三棱柱求外接球半径的方法和球的表面积公式，数形结合，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.16、答案解析，，可以构成球内接长方体的三条共顶点的边，计算得到答案.详解：根据题意，，可以构成球内接长方体的三条共顶点的边，则.故答案为：.点睛本题考查了球的内接长方体问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.详解：由于四边形是正方形，，平面，平面，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，，平面平面.点睛本题考查面面平行的证明，考查推理能力，属于基础题.解析18、答案（1）证明见解析；（2）（2）由为的中点，可得到底面的距离等于，再求出底面的面积，代入棱锥体积公式求解．详解：（1）如图，取的中点，连接，，，，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；，分别为，的中点，，平面，平面，平面，又，平面平面，平面则平面；（2）为的中点，到底面的距离等于．又底面是边长为2的等边三角形，．．点睛本题主要考查直线与平面平行的判定以及锥体的体积，考查空间想象能力与思维能力，考查了计算能力，是中档题．解析19、答案（1）证明见详解（2）证明见详解（2）由线段关系可证，