新教材高中数学第八章立体几何初步.1直线与直线垂直课件2新人教A版必修第二册

8.6空间直线、平面的垂直8.6.1直线与直线垂直【情境探究】1.观察正方体ABCD-A1B1C1D1,棱A1D1所在的直线与棱BB1所在的直线在同一个平面内吗它们是什么关系它们是否垂直提示:不在同一个平面内,它们是异面关系并且垂直.必备知识生成2.如何判断空间两直线垂直提示:通过平移把异面直线转化为相交直线,假设两条相交直线所成的角是90°,那么两直线垂直.【知识生成】两异面直线所成的角及空间两条直线垂直定义已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,我们把直线a′与b′所成的___叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围记异面直线a与b所成的角为θ,则_____________空间两直线垂直当θ=_____时,a与b互相垂直,记作_____角0°<θ≤90°90°a⊥b关键能力探究探究点一求异面直线所成的角【典例1】在空间四边形ABCD中,AB=CD,AB与CD成30°角,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成的角.【思维导引】取BD的中点G,连接EG,FG,因为E,F分别为BC,AD的中点,根据三角形中位线定理可得,∠GFE就是EF与AB所成的角,AB与CD所成角为30°,所以∠EGF=30°或150°,利用等腰三角形的性质可得结果.【解析】取BD的中点G,连接EG,FG,因为E,F分别为BC,AD的中点,所以EG∥CD且EG=CD,GF∥AB且GF=AB.所以EG与GF所成的角即为AB与CD所成的角或它的补角,因为AB=CD,所以△EFG为等腰三角形.又AB与CD所成角为30°,所以∠EGF=30°或150°,因为∠GFE就是EF与AB所成的角,所以EF与AB所成角为75°或15°.【类题通法】求两条异面直线所成的角的一般步骤及口诀(1)一般步骤①构造:根据异面直线的定义,用平移法(常用三角形的中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角.②证明:证明作出的角就是要求的角.③计算:求角度,常利用三角形.④结论:假设求出的角是锐角或直角,那么它就是所求异面直线所成的角;假设求出的角是钝角,那么它的补角就是所求异面直线所成的角.(2)口诀中点、端点定顶点,平移常用中位线;平行四边形中见,指出成角很关键;求角构造三角形,锐角、钝角要明辨;平行线假设在外,补上原体在外边.【定向训练】如下图,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,D,E分别是VB,VC的中点,求异面直线DE与AB所成的角.【解析】因为D,E分别是VB,VC的中点,所以BC∥DE,因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角,又因为AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形,于是∠ABC=45°,故异面直线DE与AB所成的角为45°.探究点二空间两直线垂直【典例2】如图,在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是另外两条对边AD,BC上的点,且EF=.求证:AB⊥CD.【思维导引】转化为利用直线垂直判定定理求解.【证明】如图,过E作EO∥AB,交BD于点O,连接OF,所以所以OF∥CD,所以∠EOF(或其补角)是AB和CD所成的角.在△EOF中,OE=AB=2,OF=CD=1.又EF=,所以EF2=OE2+OF2,所以∠EOF=90°.所以AB⊥CD.【类题通法】证明两异面直线垂直的步骤

(1)作出两异面直线所成的角.(2)求出两异面直线所成角的余弦值或在特殊三角形中说明垂直关系.(3)结论.【定向训练】正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面ABCD的中心,求证OD1⊥A1C1.【证明】连接AC,BD,交点为O,连接AD1,因为A1C1∥AC,所以∠AOD1是异面直线OD1与A1C1所成的角(或所成角的补角),因为OA=AD1=所以cos∠AOD1=所以∠AOD1=90°.所以异面直线OD1与A1C1所成的角为90°.所以OD1⊥A1C1.直线与直线垂直核心知识易错提醒核心素养方法总结直观想象：求作异面直线所成角的问题异面直线所成的角的求法(1)作：利用中位线、长方体、平行四边形等性质平移至一个三角形，并说明为异面直线所成的角或补角.(2)求：利用余弦定理求角〔如果是特殊三角形〕，或利用三角形的性质求角。求异面直线所成的角时注意的范围直线与直线垂直异面直线所成的角求异面直线所成的角课堂素养达标1.假设空间两条直线a和b没有公共点,那么a与b的位置关系是 ()A.共面 B.平行C.异面 D.平行或异面【解析】选D.假设直线a和b共面,那么由题意可知a∥b;假设a和b不共面,那么由题意可知a与b是异面直线.2.如下图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,那么异面直线B1C与EF所成的角的大小为 ()

A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】选C.连接B1D1,D1C,那么B1D1∥EF,故∠D1B1C为所求,又B1D1=B1C=D1C,所以∠D1B1C=60°.3.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,AA1=AB.记异面直线AB1与BD所成的角为θ,那么cosθ的值为________.

【解析】连接B1D1,AD1,因为在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,所以BD∥B1D1,所以∠AB1D1是异面直线AB1与BD所成的角(或所成的角的补角),设AA1=AB=,所以AD1=AB1==2,B1D1=,记异面直线AB1与BD所成的角为θ,那么cosθ=答案:4.在正方体ABCD-A1B1C1D