2020-2021高二数学人教版2-2学案：1.2.2复合函数求导及应用含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2学案：1.2.2复合函数求导及应用含解析1.2.2复合函数求导及应用［目标]1。能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax＋b））的导数。2。能综合利用导数公式及运算法则解决一些简单的问题．[重点］复合函数求导及应用．［难点］复合函数求导的步骤与方法．知识点复合函数求导[填一填]1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x）,如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u）和u＝g(x）的复合函数,记作y＝f（g（x)）．2．复合函数的求导法则复合函数y＝f（g(x）)的导数和函数y＝f（u），u＝g（x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．［答一答］1．如何判断一个函数是不是复合函数?提示:对于复合函数，中间变量应该选择基本初等函数．判断一个函数是基本初等函数的标准是:运用求导公式可直接求导．反之，若一个函数不能直接求导，则可以判断这个函数是复合函数．2．复合函数y＝f(u(x)），求导法则y′x＝f′(u)·u′（x)的含义是什么？提示：复合函数的求导法则可简单表述为：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数．

3.对函数y＝eq\f（1，3x＋14）求导时如何选取中间变量？提示：对于函数y＝eq\f(1,3x＋14),可令u＝3x＋1,y＝u－4；也可令u＝(3x＋1）4，y＝eq\f（1，u).显然前一种形式更有利于计算．1．正确理解复合函数的结构规律要学好本节内容，首先要理解复合函数的意义,并能正确分清复合函数是由哪些简单函数复合而成，其一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要结构，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．2．求复合函数的导数要处理好的环节（1)中间变量的选择应是基本函数结构．(2)关键是正确分析函数的复合层次．(3）一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．(4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5）最后要把中间变量换成自变量的函数．类型一复合函数求导问题【例1】求下列函数的导数：（1）y＝sin3x；(2）y＝eq\f(1，\r(1－2x2）);（3)y＝lg(2x2＋3x＋1）；(4)y＝sin2eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π，3））)。【思路分析】先分析复合函数的复合过程，然后运用复合函数的求导法则求解．【解】(1)设y＝sinu，u＝3x，则y′x＝y′u·u′x＝（sinu)′·(3x）′＝cosu·3＝3cos3x.(2)设y＝u－eq\f（1，2），u＝1－2x2,则y′x＝y′u·u′x＝(u－eq\f（1，2))′·（1－2x2)′＝－eq\f(1,2）u－eq\f（3,2）·(－4x）＝－eq\f（1，2）(1－2x2）－eq\f(3,2）(－4x）＝2x（1－2x2）－eq\f(3，2）。（3)设y＝lgu,u＝2x2＋3x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝(lgu)′·(2x2＋3x＋1)′＝eq\f(1，uln10）·(4x＋3)＝eq\f(4x＋3，2x2＋3x＋1ln10）。（4)设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋eq\f（π，3）.则y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cosv·2＝2sinv·cosv·2＝2sin2v＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f（2π，3）))。解决复合函数关系的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析,把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程。求下列函数的导数．(1）y＝eq\f（1，x）(2＋5x）10；（2）y＝sin3x＋sinx3.解:（1)y′＝［eq\f(1,x）（2＋5x)10］′＝－eq\f（1，x2）（2＋5x）10＋eq\f（1，x）·10(2＋5x）9·5＝－eq\f(2＋5x10，x2）＋eq\f(502＋5x9,x）。(2)y′＝（sin3x＋sinx3)′＝（sin3x)′＋（sinx3）′＝3sin2xcosx＋3x2·cosx3＝3sin2xcosx＋3x2cosx3.类型二复合函数的切线问题【例2】设f(x)＝ln(x＋1)＋eq\r（x＋1)＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f（x)与直线y＝eq\f(3，2)x在(0,0)点相切．求a，b的值．【思路分析】由曲线过(0，0）点可求得b的值;利用导数的几何意义求出切线的斜率，结合已知条件列等式可求得a的值．【解】由曲线y＝f(x)过（0，0）点，可得ln1＋1＋b＝0，故b＝－1.由f（x)＝ln(x＋1)＋eq\r（x＋1)＋ax＋b，得f′（x)＝eq\f（1，x＋1）＋eq\f（1,2\r（x＋1)）＋a，则f′（0)＝1＋eq\f（1,2）＋a＝eq\f（3，2）＋a，此即为曲线y＝f(x)在点(0,0）处的切线的斜率．由题意，得eq\f(3，2）＋a＝eq\f（3,2),故a＝0.

将复合函数的求导法则与导数的几何意义结合起来考查是近几年高考命题的热点，解决这类问题的关键是正确对复合函数求导，并掌握考查导数几何意义的相应题型的解法。(1)设曲线y＝eq\f(x＋1，x－1)在点（3，2）处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝（D)A．2 B．eq\f（1,2）C．－eq\f(1,2) D．－2解析：y＝eq\f（x＋1,x－1）＝1＋eq\f(2,x－1)，y′＝－eq\f（2,x－12），y′｜x＝3＝－eq\f（1,2），因为曲线在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，所以－a＝2，a＝－2.故选D。(2）设曲线y＝eax在点（0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝2。解析:令y＝f（x），则曲线y＝eax在点（0，1）处的切线的斜率为f′(0），又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′（0)＝2。因为f(x）＝eax,所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax）′＝aeax，所以f′(0）＝ae0＝a＝2。类型三导数的实际应用问题【例3】某机械厂生产一种木材旋切机械,已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x）＝－2x2＋7000x＋600.（1）求产量为1000台的总利润与平均利润；(2）求产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均改变量；(3）求c′(1000)与c′(1500），并说明它们的实际意义．【思路分析】(1)平均利润指平均每台所得利润；（2）总利润的平均改变量指c(x)的平均变化率；（3）c′（x0)表示产量为x0台时,每多生产一台多获得的利润．【解】(1）产量为1000台时的总利润为c（1000)＝－2×10002＋7000×1000＋600＝5000600(元），平均利润为eq\f(c1000，1000)＝5000.6(元)．(2)当产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均改变量为eq\f（c1500－c1000，1500－1000）＝eq\f（6000600－5000600,500）＝2000（元)．（3）∵c′（x)＝(－2x2＋7000x＋600)′＝－4x＋7000，∴c′(1000)＝－4×1000＋7000＝3000(元）．c′（1500)＝－4×1500＋7000＝1000（元）．c′（1000)＝3000表示当产量为1000台时，每多生产一台机械可多获利3000元．c′(1500）＝1000表示当产量为1500台时,每多生产一台机械可多获利1000元．实际生活中的一些问题，如在生活和生产及科研中经常遇到的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题,在讨论其改变量时常用导数解决。某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s（t)＝3sin(eq\f(π,12)t＋eq\f（5π,6）)(0≤t≤24),其中s的单位是m，t的单位是h,求函数在t＝18时的导数,并解释它的实际意义．解：函数s(t）＝3sin(eq\f(π，12)t＋eq\f（5π,6）)可以看作函数f(x）＝3sinx和x＝φ（t）＝eq\f(π,12)t＋eq\f(5π,6)的复合函数,其中x是中间变量．由导数公式表可得f′(x）＝3cosx，φ′（t)＝eq\f（π,12)。再由复合函数求导法则得s′（t)＝f′（x)φ′（t）＝3cosx·eq\f(π，12）＝eq\f（π,4)cos(eq\f(π,12)t＋eq\f(5π,6)）．将t＝18代入s′（t)，得s′(18）＝eq\f(π，4）coseq\f（7π，3）＝eq\f（π，8)(m/h）．它表示当t＝18时，潮水的高度上升的速度为eq\f（π,8)m/h。对复合函数求导不完全致误【例4】求函数y＝x·e1－2x的导数．【错解】y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x＝(1＋x）e1－2x.【错因分析】错解中对e1－2x的求导没有按照复合函数的求导法则进行，导数求导不完全．【正解】y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x（1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x×（－2）＝（1－2x)e1－2x.【解后反思】复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导．求函数y＝sinnxcosnx的导数．解：y′＝（sinnx)′cosnx＋sinnx（cosnx）′＝nsinn－1x·（sinx)′·cosnx＋sinnx·(－sinnx）·（nx)′＝nsinn－1x·cosx·cosnx－sinnx·sinnx·n＝nsinn－1x(cosxcosnx－sinxsinnx)＝nsinn－1xcos[(n＋1）x]．1．下列函数不是复合函数的是(A）A．y＝－x3－eq\f(1,x）＋1 B．y＝cos（x＋eq\f(π，4）)C．y＝eq\f(1,lnx） D．y＝（2x＋3)4解析：A中的函数是一个多项式函数,B中的函数可看作函数u＝x＋eq\f(π，4)，y＝cosu的复合函数，C中的函数可看作函数u＝lnx，y＝eq\f（1，u）的复合函数，D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数，故选A.2．函数y＝x2cos2x的导数为（B）A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x解析：y′＝（x2）′cos2x＋x2（cos2x)′＝2xcos2x＋x2（－sin2x)·(2x）′＝2xcos2x－2x2sin2x.3．已知函数f（x)＝(2x＋a）2,且f′（2）＝20，则a＝1。解析：因为f（x）＝（2x＋a)2，所以f′（x）＝4（2x＋a)，所以f′(2)＝4(4＋a)＝20，所以a＝1.4．曲线y＝sin3x在点P(eq\f（π，3),0)处的切线斜率为－3.解析:因为y′＝（sin3x)′＝3cos3x，所以切线斜率5．求下列函数的导数：(1)y＝(5x＋4)3；(2)y＝e－2x＋1；（3）y＝eq\f（\r(2x－1),x);（4）y＝sin2eq\f(x,3）。解：（1)函数y＝（5x＋4）3可以看作函数y＝u3和u＝5x＋4的复合函数，由复合函数的求导法则可得y′x＝y′u·u′x＝(u3）′·(5x＋4)′＝3u2·5＝15u2＝15(5x＋4)2.(2)函数y＝e－2x＋1可以看作函数y＝eu和u＝－2x＋1的复合函数，由复合函数的求导法则可得y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·（－2x＋1）′＝eu·(－2）＝－2eu＝－2e－2x＋1.(4）方法1：因为y＝sin2eq\f（x，3）＝eq\f（1－cos\f(2x，3），2）＝eq\f(1，2）－eq\f（1,2)coseq\f（2x,3),所以y′＝(eq\f(1,2）－eq\f（1，2)coseq\f(2x，3））′＝－eq\f(1，2)(－sineq\f（2x，3）)×(eq\f