新教材高中数学第十章概率.2事件的关系和运算学案新人教A版必修第二册

/08/8/事件的关系和运算在掷骰子试验中，定义如下事件：C1＝{出现1点}；C2＝{出现2点}；C3＝{出现3点}；C4＝{出现4点}；C5＝{出现5点}；C6＝{出现6点}；D1＝{出现的点数不大于1}；D2＝{出现的点数不大于3}；D3＝{出现的点数不大于5}；E＝{出现的点数为偶数}，F＝{出现的点数为奇数}．在上述事件中，【问题1】事件D2与事件C2间有什么关系？【问题2】事件C1与事件C2间有什么关系？【问题3】事件E与事件F间有什么关系？1．事件的关系定义表示法图示包含关系若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等关系若事件B包含事件A，事件A也包含事件B，称事件A与事件B相等A＝B互斥事件如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容)若A∩B＝?，则A与B互斥对立事件如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为eq\x\to(A)若A∩B＝?，且A∪B＝Ω，则A与B对立2．事件的运算定义表示法图示并事件事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)事件的关系和运算的理解1．本质：必然事件对应全集，随机事件对应全集的子集，从而事件具有包含关系和相等关系，具有并和交的运算，当两个事件的并或交满足特殊条件时，就有了事件互斥和对立的概念．2．混淆：对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．3．事件关系或运算的含义：事件关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A?B并事件(和事件)A与B至少一个发生A∪B或A＋B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B＝?互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B＝?，A∪B＝Ω如何从集合的角度理解互斥事件与对立事件？提示：(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．1．任意两个随机事件一定具有包含关系吗？2．两个事件的并发生是指两个事件至少有一个发生吗？3．如果B?A且A?B，那么A＝B吗？4．互斥事件一定是对立事件吗？提示：1.不一定；2.是；3.是；4.不是．观察教材第230页图10.1－6，图中事件A，B是互斥事件吗？为什么？提示：不是，因为A∩B≠?.1．一枚骰子掷一次，记事件A＝{出现点数大于4}，事件B＝{出现的点数为5}，则()A．A?B B．A?BC.A∪B＝Ω D．A∩B＝?【解析】选B.事件A＝{出现点数大于4}，即{出现的点数为5}或{出现的点数为6}，故A?B.2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A.至多有一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶【解析】选D.事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况．由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥．基础类型一事件关系的判断(数学抽象)1．掷一枚质地均匀的骰子，下列事件具有包含关系的是()A.“出现小于2点”与“出现大于2点”B.“出现奇数点”与“出现偶数点”C.“出现2点”与“出现偶数点”D.“出现小于4点”与“出现大于2点”2．同时掷两枚硬币，向上面都是正面的事件为A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有()A.A?BB．A?BC.A＝BD．A<B3．做试验“从1，2，3这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．记A＝“第1次取出的数字是2”，B＝“第2次取出的数字是3或1”，则事件A与B的关系为________．【解析】1.选C.出现偶数点，即出现2点、4点或6点，与出现2点是包含关系．2．选A.事件B包含“有一枚硬币正面向上”与“两枚硬币都是正面向上”，故A?B.3．这个试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)}．则A＝{(2，1)，(2，3)}，B＝{(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)}，所以A?B.答案：A?B包含关系、相等关系的判定(1)事件的包含关系与集合的包含关系相似；(2)两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．基础类型二事件的运算(逻辑推理)【典例】1.抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则A∪B表示()A.向上的点数为奇数B.向上的点数不超过3C.向上的点数为1，3点D.向上的点数为1，2，3，5点D.A】选D.A包含向上点数是1，3，5的情况，B包含向上的点数是1，2，3的情况，所以A∪B包含了向上点数是1，2，3，5的情况．2．(多选题)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系正确的是()A.A∩D≠?B．B∩D＝?C.A∪C＝DD．A∪B＝B∪D【解析】选ABC.“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，故A∩D≠?，B∩D＝?，A∪C＝D，A∪B≠B∪D.事件的运算应注意的2个问题(1)要紧扣运算的定义，在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．(2)要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？(3)设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有1个白球}，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？【解析】(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.(3)由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B?C，E?C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.【加固训练】向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件A表示两次点数之和不小于10，事件B表示两次点数之和能被5整除，则事件AB用样本点表示为______．【解析】由题意，A＝{(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，B＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(4，6)，(5，5)，(6，4)}，所以AB＝{(4，6)，(5，5)，(6，4)}．答案：{(4，6)，(5，5)，(6，4)}综合类型互斥事件与对立事件(逻辑推理)互斥事件与对立事件的概念【典例】对同一事件来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是()A.互斥不对立B．对立不互斥C.互斥且对立D．不互斥、不对立【解析】选C.必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立．对互斥、对立事件的理解互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，事件A的对立事件只有一个，事件A的互斥事件可以有多个．【加固训练】如果事件A，B互斥，记eq\x\to(A)，eq\x\to(B)分别为事件A，B的对立事件，那么()A.A∪B是必然事件B.eq\x\to(A)∪eq\x\to(B)是必然事件C.eq\x\to(A)与eq\x\to(B)一定互斥D.eq\x\to(A)与eq\x\to(B)一定不互斥【解析】选B.用Venn图解决此类问题较为直观．如图所示，eq\x\to(A)∪eq\x\to(B)是必然事件．互斥事件与对立事件的判断【典例】某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.【解析】(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件．(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．(4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．本例中事件C与D是互斥事件吗？为什么？【解析】事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”，事件D为“不订甲报”，即“只订乙报”或者“一种报纸也不订”，故C与D可能同时发生，不是互斥事件．互斥事件、对立事件的判定方法(1)利用基本概念①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生．(2)利用集合的观点来判断设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.①事件A与B互斥，即集合A∩B＝?；②事件A与B对立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝Ω，即A＝ΩB或B＝ΩA.【加固训练】抛掷编号为1，2的两枚骰子，记“1号骰子出现2点”为事件A，“2号骰子出现3点”为事件B，判断下列各题中的两个事件是否为互斥事件，为什么？(1)事件A与事件B；(2)事件A与事件eq\x\to(A)B.【解析】由题意得，事件A＝{(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)}，事件B＝{(1，3)，(2，3)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)}．(1)因为A∩B＝{(2，3)}≠?，所以事件A与事件B不是互斥事件．(2)事件eq\x\to(A)＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，所以eq\x\to(A)B＝{(1，3)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)}，所以A∩eq\x\to(A)B＝?，所以事件A与事件eq\x\to(A)B是互斥事件．1．给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则()A.A?B B．A?BC．A与B互斥 D．A与B互为对立事件【解析】选C.由互斥事件的定义可知，C正确．2．掷一枚骰子，观察结果，A＝{向上的点数为1}，B＝{向上的点数为2}，则A∪B＝()A．{向上的点数为1} B．{向上的点数为2}C．{向上的点数小于2} D．{向上的点数小于3}【解析】选D.{向上的点数小于3}即{向上的点数为1或2}，即A∪B.3．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是()A．互斥但非对立事件 B．对立事件C．非互斥事件 D．以上都不对【解析】选A.由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．4．某人在打靶中，连续射击2次，事件A：“至少