2013年几何证明压轴题精选

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2013年几何证明压轴题精选一．选择题（共8小题）1．（2013•莘县二模）如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上且BE平分∠DBC，O是BD中点，直线BE、DG交于H．BD，AH交于M，连接OH，下列四个结论：①BE⊥GD；②OH=BG；③∠AHD=45°；④GD=，其中正确的结论个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AE∥CD交BC于E，∠BAE=∠EAC，O是AC的中点，AD=DC=2，下面结论：①AC=2AB；②AB=；③S△ADC=2S△ABE；④BO⊥AE，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．43．如图，正方形ABCD中，E，F均为中点，则下列结论中：①AF⊥DE；②AD=BP；③PE+PF=；④PE+PF=PC．其中正确的是（）A．①④B．①②④C．①③D．①②③4．如图，在矩形ABCD中，AD=AB，AE平分∠BAD，DF⊥AE于F，BF交DE、CD于O、H，下列结论：①∠DEA=∠DEC；②BF=FH；③OE=OD；④BC﹣CH=2EF．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．45．如图，如图正方形ABCD内一点E，满足△CDE为正三角形，直线AE交BC于F点，过E点的直线GH⊥AF，交AB于点G，交CD于点H．以下结论：①∠AFC=105°；②GH=2EF；③；④其中正确的有（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②③④6．如图，四边形ABDM中，AB=BD，AB⊥BD，∠AMD=60°，以AB为边作等边△ABC，BE平分∠ABD交CD于E，连ME；下列结论：①∠BEC=60°；②MA+MD=ME；③若BD=，则EC=．其中正确的结论（）A．只有①②B．只有②③C．只有①③D．①②③7．我们知道，正方形的四条边相等，四个角也都等于90°．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=；下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为；④．其中正确结论的序号是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②⑨④8．如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别相交于点M，N．有下列结论①四边形EDCN是菱形②四边形MNCD是等腰梯形③△AEM与△CBN相似④△AEN与△EDM全等其中正确的有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个二．解答题（共14小题）9．（2013•北京）如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．10．（2013•贺州）如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA=MC．（1）求证：CD=AN；（2）若AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1，求四边形ADCN的面积．11．（2013•安顺）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．12．（2012•湘西州）如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD=5cm，OD=3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E．（1）求OC的长；（2）求证：四边形OBEC为矩形；（3）求矩形OBEC的面积．13．（2010•崇左）如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE=BF=CG=DH．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF=2cm，求矩形ABCD的面积．14．如图1，在正方形ABCD中，∠ECF的两边分别交边AB、AD于点E、F，且∠ECF=45°．（1）①求证：BE+DF=EF；②运用①的结论解决下面问题：如图2，在直角梯形ABCF中，AF∥BC（BC＞AF），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠FCE=45°，BE=1.5，EF=2.5，求梯形ABCF的面积；（2）在图1中，对角线AC、BD相交于点O，BD与CF分别交于点N，连接EN得到图3．当∠ECF绕点C旋转时，△ECN是什么特殊的三角形？请说明理由．15．如图，已知正方形ABCD，E为对角线BD延长线上一动点，F为BC延长线上一点，AE⊥EF，BD=nDE，CD的延长线交AE于点K．（1）如图1，若n=2时，求证：BC=CF．（2）如图2，在（1）的条件下，求证：=；（3）若n=_________时，能使∠AFB=30°．16．如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF⊥DE，与BC延长线交于点F．连接EF，与CD边交于点G，与对角线BD交于点H．（1）若BF=BD=，求BE的长；（2）若M、N分别为EF、DB的中点，求证：MN⊥DB．17．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形．DE、AC相交于点F．（1）求证：点F为AC中点；（2）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；（3）若BC=3，AC=4，求四边形ADCE的面积；（4）若想四边形ADCE为正方形，△ABC应添加条件_________．18．（2013•徐州模拟）如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别为AC、BC的中点．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）如果AB=8，求D、F两点间的距离．19．（2012•建宁县质检）如图：△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB与AC、AE分别交于点O、E，连接EC．（1）求证：AD=EC；（2）当∠BAC=90°时，求证：四边形ADCE是菱形；（3）在（2）的条件下，若AB=AO，且OD=a，求菱形ADCE的周长．20．（2012•奉贤区二模）如图，△ABC中，∠ABC=90°，E为AC的中点．操作：过点C作BE的垂线，过点A作BE的平行线，两直线相交于点D，在AD的延长线上截取DF=BE．连接EF、BD．（1）试判断EF与BD之间具有怎样的关系？并证明你所得的结论．（2）如果AF=13，CD=6，求AC的长．21．（2012•房山区二模）如图1，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，若∠AED=2∠EAD，AC=6．求DE的长．22．（2011•仁寿县二模）如图，在△ABC中，AB=BC，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点．①求证：四边形BDEF是菱形．②若AB=10cm，求菱形BDEF的周长．

2013年几何证明压轴题精选参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2013•莘县二模）如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上且BE平分∠DBC，O是BD中点，直线BE、DG交于H．BD，AH交于M，连接OH，下列四个结论：①BE⊥GD；②OH=BG；③∠AHD=45°；④GD=，其中正确的结论个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：四边形综合题．专题：压轴题．分析：①由已知条件可证得△BEC≌△DGC，∠EBC=∠CDG，因为∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°，所以∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°，即BE⊥GD，故①正确；②由①可以证明△BHD≌△BHG，就可以得到DH=GH，得出OH是△BGD的中位线，从而得出结论．③若以BD为直径作圆，那么此圆必经过A、B、C、H、D五点，根据圆周角定理即可得到∠AHD=45°，所以②的结论也是正确的．④此题要通过相似三角形来解；由②的五点共圆，可得∠BAH=∠BDH，而∠ABD=∠DBG=45°，由此可判定△ABM∽△DBG，根据相似三角形的比例线段即可得到AM、DG的比例关系；解答：解：解：①正确，证明如下：∵BC=DC，CE=CG，∠BCE=∠DCG=90°，∴△BEC≌△DGC，∴∠EBC=∠CDG，∵∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°，∴∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°，即BE⊥GD，故①正确；②∵BE平分∠DBC，∴∠DBH=∠GBH．∵BE⊥GD，∴∠BHD=∠BHG=90°．在△BHD和△BHG中，∴△BHD≌△BHG（ASA），∴DH=GH．∵O是BD中点，∴DO=BO．∴OH是△BDG的中位线，∴OH=BG，故②正确；③由于∠BAD、∠BCD、∠BHD都是直角，因此A、B、C、D、H五点都在以BD为直径的圆上；由圆周角定理知：∠DHA=∠ABD=45°，故③正确；④由②知：A、B、C、D、H五点共圆，则∠BAH=∠BDH；又∵∠ABD=∠DBG=45°，∴△ABM∽△DBG，得AM：DG=AB：BD=1：，即DG=AM；故④正确；∴正确的个数有4个．故选D．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用、正方形的性质的运用，角平分线的性质的运用以及圆周角定理等知识的综合应用，能够判断出A、B、C、D、H五点共圆是解题的关键．2．如图，在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AE∥CD交BC于E，∠BAE=∠EAC，O是AC的中点，AD=DC=2，下面结论：①AC=2AB；②AB=；③S△ADC=2S△ABE；④BO⊥AE，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：四边形综合题．分析：根据条件AD∥BC，AE∥CD可以得出四边形AECD是平行四边形，由AD=CD可以得出四边形AECD是菱形，就有AE=EC=CD=AD=2，就有∠2=∠3，有∠1=∠2，∠ABC=90°，可以得出∠1=∠2=∠3=30°，有∠BAC=60°，可以得出AC=2AB，有O是AC的中点，就有BO=AO=CO=AC．就有△ABO为等边三角形，∠1=∠2就有AE⊥BO，由∠1=30°，∠ABE=90°，就有BE=AE=1，由勾股定理就可以求出AB的值，从而得出结论．解答：解：∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形．∵AD=DC，∴四边形AECD是菱形，∴AE=EC=CD=AD=2，∴∠2=∠3．∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠3．∵∠ABC=90°，∴∠1+∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2=∠3=30°，∴BE=AE，AC=2AB．本答案正确；∴BE=1，．在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB==．本答案正确；∵O是AC的中点，∠ABC=90°，∴BO=AO=CO=AC．∵∠1=∠2=∠3=30°，∴∠BAO=60°，∴△ABO为等边三角形．∵∠1=∠2，∴AE⊥BO．本答案正确；∵S△ADC=S△AEC=，S△ABE=，∵CE=2，BE=1，∴CE=2BE，∴S△ACE==2×，∴S△ACE=2S△ABE，∴S△ADC=2S△ABE．本答案正确．∴正确的个数有4个．故选D．点评：本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，等边三角形的性质的运用．解答时证明出四边形AECD是菱形是解答本题的关键3．如图，正方形ABCD中，E，F均为中点，则下列结论中：①AF⊥DE；②AD=BP；③PE+PF=；④PE+PF=PC．其中正确的是（）A．①④B．①②④C．①③D．①②③考点：四边形综合题．分析：根据正方形性质得出AD=DC=BC；∠ADC=∠DCB；EC=DF=DC，证△ADF≌△DCE，推出∠AFD=∠DEC，求出∠DPF=90°即可判断①；过B作BG∥DE交AD于G，交A于M，求出BG是AP的垂直平分线，推出△ABP是等腰三角形，即可判断②；延长DE至N，使得EN=PF，证△CEN≌△CFP，推出CN=CP，∠ECN=∠PCF，求出△NCP是等腰直角三角形，即可判断③④．解答：解：如图1，∵正方形ABCD，E，F均为中点，∴AD=DC=BC，∠ADC=∠DCB，EC=DF=DC，∵在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠AFD=∠DEC∵∠DEC+∠CDE=90°∴∠AFD+∠CDE=90°=∠DPF∴AF⊥DE，∴①正确；如图2，过B作BG∥DE交AD于G，交AP于M，∵AF⊥DE，BG∥DE，E是BC中点，∴BG⊥AP，G是AD的中点，∴BG是AP的垂直平分线，∴△ABP是等腰三角形∴BP=AB=AD，∴②正确；如图3，延长DE至N，使得EN=PF，连接CN，∵∠AFD=∠DEC∴∠CEN=∠CFP又∵E，F分别是BC，DC的中点，∴CE=CF，∵在△CEN和△CFP中，，∴△CEN≌△CFP（SAS），∴CN=CP，∠ECN=∠PCF，∵∠PCF+∠BCP=90°∴∠ECN+∠PCP=∠NCP=90°∴△NCP是等腰直角三角形∴PN=PE+NE=PE+PF=PC，∴③正确，④错误；∴①②③正确．故选D．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质和判定，垂直定义等知识点的综合运用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，综合性比较强，有一定的难度．4．如图，在矩形ABCD中，AD=AB，AE平分∠BAD，DF⊥AE于F，BF交DE、CD于O、H，下列结论：①∠DEA=∠DEC；②BF=FH；③OE=OD；④BC﹣CH=2EF．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：四边形综合题．专题：计算题．分析：由AE为直角的平分线，得到∠BAE=∠DAE=45°，可得出三角形ABE和三角形AFD为等腰直角三角形，利用勾股定理得到AE=AB，由已知AD=AB，得到AD=AE，即三角形ADE为等腰三角形，求出底角∠AED度数为67.5°，由平角的定义及∠AEB与∠AED度数求出∠DEC为67.5°，等量代换得到∠DEA=∠DEC，选项①正确；过F作FG垂直于AD，利用三线合一得到G为AD中点，利用平行线等分线段定理得到F为BH中点，即BF=FH，选项②正确；由AD=AF=AB，得到AF=AB，即三角形ABF为等腰三角形求出底角∠AFB=67.5°，利用对顶角相等得到∠EFH为67.5°，进而求出∠DFO为22.5°，根据一对直角相等，∠DEA=∠DEC=67.5°，确定出∠EDF=∠EDC=22.5°，确定出∠OFD=∠ODF=22.5°，等角对等边得到OD=OF，由∠OFE=∠OEF=67.5°，等角对等边得到OF=OE，等量代换得到OE=OD，选项③正确；同理得到M为BC中点，即FM为三角形BHC的中位线，得到CH=2FM，三角形EFM为等腰直角三角形，利用角平分线定理得到FM=ME，可得出BC﹣CH=2CM﹣2FM=2CM﹣2ME=2EF，选项④正确．解答：解：∵四边形ABCD为矩形，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=∠AEB=45°，∵∠AFD=∠ABE=90°，∴△AFD与△ABE都为等腰直角三角形，即AF=DF，AB=BE，∴AE=AB，又∵AD=AB，∴AD=AE，∴∠AED=∠ADE=67.5°，∴∠DEC=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠DEA=∠DEC，选项①正确；过F作GM⊥AD，与AD交于G点，与BC交于M点，利用三线合一得到G为AD中点，∴F为BH中点，M为BC中点，∴BF=FH，选项②正确；∵AD=AF，AD=AB，∴AF=AB，∴∠AFB=67.5°，∴∠OFE=∠OEF=67.5°，∴OE=OF，∴∠ODF=∠OFD=22.5°，∴OF=OD，∴OD=OE，选项③正确；∴∠DEF=67.5°﹣45°=22.5°，∠EDC=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠DEF=∠DEC，∵EF⊥DF，EC⊥CD，∴EF=EC，∵△EFM为等腰直角三角形，∴FM=ME，∴BC﹣CH=2CM﹣2FM=2CM﹣2ME=2EF，选项④正确，则正确的序号有4个．故选D点评：此题考查了四边形综合题，涉及的知识有：矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，中位线定理，平行线等分线段定理，角平分线定理，利用了等量代换的思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．5．如图，如图正方形ABCD内一点E，满足△CDE为正三角形，直线AE交BC于F点，过E点的直线GH⊥AF，交AB于点G，交CD于点H．以下结论：①∠AFC=105°；②GH=2EF；③；④其中正确的有（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②③④考点：四边形综合题．专题：压轴题．分析：根据等边三角形的性质求出∠CDE，然后求出∠ADE=30°，再根据等腰三角形的性质求出∠DAE=75°，然后求出∠BAF=15°，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AFC=105°，判断出①正确，过点H作HK⊥AB，可得HK=AD，根据等角的余角相等求出∠BAF=∠KHG，再利用“角角边”证明△ABF和△HKG，然后根据全等三角形对应边相等可得AF=GH，再根据等边三角形的性质，点E是AF的中点，从而得到GH=2EF，判断出②正确；再求出∠CEF=∠CEH=45°，过点F作FM⊥CE于M，过点H作HN⊥CE于N，解直角三角形分别用MF、CN表示出CE，可以得到MF=CN，再表示出CE，即可判定③正确；设MF=CN=x，表示出EF、EH，然后求出的值，判断出④错误．解答：解：∵△CDE为正三角形，∴∠CDE=60°，∴∠ADE=90°﹣60°=30°，∵AD=DE=CD，∴∠DAE=∠DEA=（180°﹣30°）=75°，∴∠BAF=90°﹣75°=15°，∴∠AFC=90°+15°=105°，故①正确；过点H作HK⊥AB，则HK=AD，∵GH⊥AF，∴∠BAF+∠AGE=90°，又∵∠AGE+∠KHG=90°，∴∠BAF=∠KHG，在△ABF和△HKG中，，∴△ABF≌△HKG（AAS），∴AF=GH，∵△CDE为正三角形，∴点E在CD的垂直平分线上，根据平行线分线段成比例定理，点E是AF的中点，∴AF=2EF，∴GH=2EF，故②正确；∵GH⊥AF，∠DEA=75°，∴∠DEH=90°﹣75°=15°，∴∠CEH=60°﹣15°=45°，∴∠CEF=90°﹣45°=45°，过点F作FM⊥CE于M，过点H作HN⊥CE于N，则MF=EM，NH=EN，∵△CDE是等边三角形，∴∠DCE=60°，∴∠ECF=90°﹣60°=30°，∴CM=MF，NH=CN，∴CE=MF+MF=CN+CN，∴MF=CN，∴CE=EF+EH，∴CE=EF+EH，故③正确；===，故④错误．综上所述，正确的结论是①②③．故选A．点评：本题考查了四边形综合题型，主要利用了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判断与性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形与等腰直角三角形是解题的关键．6．如图，四边形ABDM中，AB=BD，AB⊥BD，∠AMD=60°，以AB为边作等边△ABC，BE平分∠ABD交CD于E，连ME；下列结论：①∠BEC=60°；②MA+MD=ME；③若BD=，则EC=．其中正确的结论（）A．只有①②B．只有②③C．只有①③D．①②③考点：四边形综合题．分析：先由等边三角形的性质得出AB=BC，∠ABC=60°，则△DBC是顶角为150°的等腰三角形，根据等边对等角的性质及三角形内角和定理求出∠BDC=15°，然后根据三角形外角的性质即可求出∠BEC=∠BDE+∠DBE=60°，判断结论①正确；连接AE，延长MA至F，使FA=DM，连接EF．易证△BDE≌△BAE，得出DE=AE，再利用SAS证明△EDM≌△EAF，得出EM=EF，∠DEM=∠AEF，则∠DEA=∠MEF=120°，在△MEF中，求出∠F=∠EMF=30°．过点E作EG⊥MF于点G，在Rt△GEM中，根据余弦函数的定义得出MF=ME，进而得到MA+MD=ME，判断结论②正确；③连接AD，延长BE，交AD于点H．根据等腰直角三角形的性质得出DH=AH=BH=AD=，再求出∠EDH=30°，解Rt△DEH，得到DE=2，在△DBC中由余弦定理求出CD=3+，则CE=CD﹣DE=+1，判断结论③错误．解答：解：①∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∵AB=BD，∠ABD=90°，∴BC=BD，∠DBC=∠ABD+∠ABC=150°，∴∠BDC=∠BCD==15°，又∵BE平分∠ABD，∴∠DBE=∠ABD=45°，∴∠BEC=∠BDE+∠DBE=15°+45°=60°，故结论正确；②连接AE，延长MA至F，使FA=DM，连接EF．在△BDE与△BAE中，，∴△BDE≌△BAE，∴DE=AE，∠BED=∠BEA=180°﹣∠BEC=120°，∴∠AED=360°﹣∠BED﹣∠BEA=120°．∴∠AED+∠AMD=120°+60°=180°，∴∠EAM+∠EDM=180°，又∠EAM+∠EAF=180°，∴∠EDM=∠EAF．在△EDM与△EAF中，，∴△EDM≌△EAF（SAS），∴EM=EF，∠DEM=∠AEF，∴∠DEM+∠AEM=∠AEF+∠AEM，即∠DEA=∠MEF=120°．在△MEF中，∵∠MEF=120°，EM=EF，∴∠F=∠EMF=30°．过点E作EG⊥MF于点G，则MG=FG=MF．在△GEM中，∵∠EGM=90°，∴cos∠EMG===，∴MF=ME，∵MF=MA+AF，AF=MD，∴MA+MD=ME，故结论正确；③连接AD，延长BE，交AD于点H．∵AB=BD=，BE平分∠ABD，AB⊥BD，∴DH=AH=BH=AD=×BD=，∠BDH=45°，BH⊥AD，由①知∠BDC=15°，∴∠EDH=∠BDH﹣∠BDE=30°．在Rt△DEH中，∵∠EHD=90°，∠EDH=30°，DH=，∴DE==2，∵CD===3+，∴CE=CD﹣DE=3+﹣2=+1，故结论错误．故选A．点评：本题考查了等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，锐角三角函数的定义，余弦定理，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键．7．我们知道，正方形的四条边相等，四个角也都等于90°．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=；下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为；④．其中正确结论的序号是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②⑨④考点：四边形综合题．分析：①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；②利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证；③过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可；解答：解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠EAB=∠PAD，又∵AE=AP，AB=AD，∵在△APD和△AEB中，，∴△APD≌△AEB（SAS）；故此选项成立；②∵△APD≌△AEB，∴∠APD=∠AEB，∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，∴∠BEP=∠PAE=90°，∴EB⊥ED；故此选项成立；③过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，∵AE=AP，∠EAP=90°，∴∠AEP=∠APE=45°，又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，∴∠FEB=∠FBE=45°，又∵BE===，∴BF=EF=，∴点B到直线AE的距离为．故此选项不正确；④如图，连接BD，在Rt△AEP中，∵AE=AP=1，∴EP=，又∵PB=，∴BE=，∵△APD≌△AEB，∴PD=BE=，∴S△ABP+S△ADP=S△ABD﹣S△BDP=S正方形ABCD﹣×DP×BE=×（4+）﹣××=+．故此选项不正确．∴正确的有①②④，故选B．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识．8．如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别相交于点M，N．有下列结论①四边形EDCN是菱形②四边形MNCD是等腰梯形③△AEM与△CBN相似④△AEN与△EDM全等其中正确的有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：四边形综合题．专题：压轴题．分析：首先由正五边形的性质可得AB=BC=CD=DE=AE，BE∥CD，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=BE，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得①正确，根据等腰梯形的判定方法即可证得②正确，△AEM为钝角三角形，△CBN为锐角三角形，可判断③错误，结合①②的结论可判定④正确．解答：解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB=BC=CD=DE=AE，BE∥CD，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=BE，∴四边形EDCN是菱形，故①正确；∵AC=AD，∴∠NCD=∠MDC，∴四边形MNCD是等腰梯形，即②正确；∵△AEM为钝角三角形，△CBN为锐角三角形，则△AEM与△CBN不相似，故③错误；∵△AEB≌△EDA（SSS），∴∠AEN=∠EDM，AE=ED，由①②可得MD=CN=NE，在△AEN和△EDM中，，∴△AEN≌△EDM（SAS），故④正确．故正确的有3个．故选：C．点评：本题考查了正五边形的性质、全等三角形的判定等知识，解答本题注意已经证明的结论，可以直接拿来使用．二．解答题（共14小题）9．（2013•北京）如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．考点：平行四边形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四边形CEDF是平行四边形；（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度．解答：（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，且AD=BC．∵F是AD的中点，∴DF=．又∵CE=BC，∴DF=CE，且DF∥CE，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）解：如图，过点D作DH⊥BE于点H．在▱ABCD中，∵∠B=60°，∴∠DCE=60°．∵AB=4，∴CD=AB=4，∴CH=2，DH=2．在▱CEDF中，CE=DF=AD=3，则EH=1．∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE==．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．10．（2013•贺州）如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA=MC．（1）求证：CD=AN；（2）若AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1，求四边形ADCN的面积．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：（1）利用“平行四边形ADCN的对边相等”的性质可以证得CD=AN；（2）根据“直角△AMN中的30度角所对的直角边是斜边的一半”求得AN=2MN=2，然后由勾股定理得到AM=，则S四边形ADCN=4S△AMN=2．解答：（1）证明：∵CN∥AB，∴∠1=∠2．在△AMD和△CMN中，，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD=CN．又AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD=AN；（2）解：∵AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1，∴AN=2MN=2，∴AM==，∴S△AMN=AM•MN=××1=．∵四边形ADCN是平行四边形，∴S四边形ADCN=4S△AMN=2．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质．解题时，还利用了直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．11．（2013•安顺）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．考点：菱形的判定与性质；三角形中位线定理．分析：从所给的条件可知，DE是△ABC中位线，所以DE∥BC且2DE=BC，所以BC和EF平行且相等，所以四边形BCFE是平行四边形，又因为BE=FE，所以是菱形；∠BCF是120°，所以∠EBC为60°，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求．解答：（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且2DE=BC，又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又∵BE=FE，∴四边形BCFE是菱形；（2）解：∵∠BCF=120°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，高为2，∴菱形的面积为4×2=8．点评：本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点．12．（2012•湘西州）如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD=5cm，OD=3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E．（1）求OC的长；（2）求证：四边形OBEC为矩形；（3）求矩形OBEC的面积．考点：矩形的判定与性质；菱形的性质．分析：（1）在直角△OCD中，利用勾股定理即可求解；（2）利用矩形的定义即可证明；（3）利用矩形的面积公式即可直接求解．解答：解：（1）∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴直角△OCD中，OC===4cm；（2）∵CE∥DB，BE∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形，又∵AC⊥BD，即∠COB=90°，∴平行四边形OBEC为矩形；（3）∵OB=0D，∴S矩形OBEC=OB•OC=4×3=12（cm2）．点评：本题考查了菱形的性质以及矩形的判定，理解菱形的对角线的关系是关键．13．（2010•崇左）如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE=BF=CG=DH．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF=2cm，求矩形ABCD的面积．考点：矩形的判定与性质．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）首先证明四边形EFGH是平行四边形，然后再证明HF=EG；（2）根据题干求出矩形的边长CD和BC，然后根据矩形面积公式求得．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=0B=OC=OD，∵AE=BF=CG=DH，∴AO﹣AE=OB﹣BF=CO﹣CG=DO﹣DH，即：OE=OF=OG=OH，∴四边形EFGH是矩形；（2）解：∵G是OC的中点，∴GO=GC，∵DG⊥AC，∴∠DGO=∠DGC=90°，又∵DG=DG，∴△DGC≌△DGO，∴CD=OD，∵F是BO中点，OF=2cm，∴BO=4cm，∵四边形ABCD是矩形，∴DO=BO=4cm，∴DC=4cm，DB=8cm，∴CB==4，∴矩形ABCD的面积=4×4=16cm2．点评：本题主要考查矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等．14．如图1，在正方形ABCD中，∠ECF的两边分别交边AB、AD于点E、F，且∠ECF=45°．（1）①求证：BE+DF=EF；②运用①的结论解决下面问题：如图2，在直角梯形ABCF中，AF∥BC（BC＞AF），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠FCE=45°，BE=1.5，EF=2.5，求梯形ABCF的面积；（2）在图1中，对角线AC、BD相交于点O，BD与CF分别交于点N，连接EN得到图3．当∠ECF绕点C旋转时，△ECN是什么特殊的三角形？请说明理由．考点：四边形综合题．专题：压轴题．分析：（1）①把△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△CDG，根据旋转的性质可得BE=DG，CE=CG，∠BCE=∠DCG，然后求出∠FCG=45°，从而得到∠ECF=∠FCG，再利用“边角边”证明△ECF和△GCF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，再求出GF=BE+DF即可得证；②设正方形ABCD的边长为x，表示出AE，再根据①的结论表示出AF，然后在Rt△AEF中，利用勾股定理列出方程求解即可得到x的值，再求出AF，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解；（2）根据正方形的对角线平分一组对角可得∠EBN=∠CBD=45°，然后求出B、C、E、N四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CEN=∠CBD=45°，根据三角形内角和定理求出∠CNE=90°，从而得到△ECN是等腰直角三角形．解答：（1）①证明：如图，把△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△CDG，由旋转的性质可得BE=DG，CE=CG，∠BCE=∠DCG，∵∠ECF=45°，∴∠FCG=∠FCD+∠DCG=∠FCD+∠BCE=∠BCD﹣∠ECF=90°﹣45°=45°，∴∠ECF=∠FCG，在△ECF和△GCF中，，∴△ECF≌△GCF（SAS），∴EF=GF，∵GF=DG+DF=BE+DF，∴BE+DF=EF；②解：设正方形ABCD的边长为x，∵BE=1.5，∴AE=x﹣1.5，∵EF=2.5，∴AF=x﹣（EF﹣BE）=x﹣（2.5﹣1.5）=x﹣1，在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，即（x﹣1.5）2+（x﹣1）2=2.52，整理得，2x2﹣5x﹣3=0，解得x1=3，x2=﹣（舍去），所以，AF=3﹣1=2，梯形ABCF的面积=×（2+3）×3=；（2）△ECN是等腰直角三角形．理由如下：在正方形ABCD中，∠EBN=∠CBD=45°，又∵∠ECF=45°，∴∠ECN=∠ECF，∴B、C、E、N四点共圆，∴∠CEN=∠CBD=45°，∴∠CEN=∠ECN=45°，在△CEN中，∠CNE=180°﹣∠CEN﹣∠ECN=180°﹣45°﹣45°=90°，∴△ECN是等腰直角三角形．点评：本题是四边形综合题型，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，（2）利用四点共圆求解更加简便．15．如图，已知正方形ABCD，E为对角线BD延长线上一动点，F为BC延长线上一点，AE⊥EF，BD=nDE，CD的延长线交AE于点K．（1）如图1，若n=2时，求证：BC=CF．（2）如图2，在（1）的条件下，求证：=；（3）若n=+1时，能使∠AFB=30°．考点：四边形综合题．分析：（1）连接AC，交BD于点O，先由正方形的性质得出AC⊥BD，OA=OB=OD，根据正切函数的定义求出tan∠AEO==，再证明A、B、F、E四点共圆，根据圆周角定理得到∠AFB=∠AEB，然后由tan∠AFB=tan∠AEB=即可得出BC=CF；（2）先由KD∥AB，得出△EKD∽△EAB，根据相似三角形对应边成比例得到==，再设KD=a，则AB=BC=CF=3a，CK=4a，在Rt△KCF中，运用勾股定理求出KF=5a，即可证明=；（3）先由（1）知∠AFB=∠AEB=30°，再根据正切函数的定义得出tan∠AEB===，计算即可求出n=+1．解答：（1）解：连接AC，交BD于点O．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA=OB=OD．∵BD=2DE，∴OA=OD=DE，∴tan∠AEO==，∵∠AEF+∠ABC=90°+90°=180°，∴A、B、F、E四点共圆，∴∠AFB=∠AEB，∴tan∠AFB=tan∠AEB=，∴BF=2AB=2BC，∴BC=CF；（2）证明：∵KD∥AB，BD=2DE，∴△EKD∽△EAB，∴==．设KD=a，则AB=3a，CD=BC=CF=3a，CK=4a．在Rt△KCF中，∵∠KCF=90°，∴KF==5a，∴==；（3）解：若n=+1时，能使∠AFB=30°．理由如下：由（1）知∠AFB=∠AEB=30°．∵OA=OD=BD，BD=nDE，∴tan∠AEB===，∴BD=DE，∴n===+1．故答案为+1．点评：本题考查了正方形的性质，锐角三角函数的定义，四点共圆的条件，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次根式的计算，综合性较强，对学生的能力要求较高．准确作出辅助线是解题的关键．16．如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF⊥DE，与BC延长线交于点F．连接EF，与CD边交于点G，与对角线BD交于点H．（1）若BF=BD=，求BE的长；（2）若M、N分别为EF、DB的中点，求证：MN⊥DB．考点：四边形综合题．分析：（1）由四边形ABCD正方形，BF=BD=，由勾股定理即可求得BC的长，又由DF⊥DE，易证得△ADE≌△CDF，即可求得BE的长；（2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BM，DM的关系进而得出答案即可．解答：（1）解：∵四边形ABCD正方形，∴∠BCD=90°，∴Rt△BCD中，BC2+CD2=BD2，即BC2=（）2+（）2，∴BC=AB=1，∵DF⊥DE，∴∠ADE+∠EDC=90°=∠EDC+∠CDF，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF=BF﹣BC=﹣1，∴BE=AB﹣AE=1﹣（﹣1）=2﹣；（2）证明：如图：连接DM，BM，∵DF⊥DE，M为EF中点，∴DM=EF，∵∠EBF=90°，M为EF中点，∴BM=EF，∴BM=DM，又∵N是BD的中点，∴MN⊥BD．点评：此题主要考查了正方形的性质以及直角三角形的性质和全等三角形的判定等知识，根据已知得出BM=DM是解题关键．17．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形．DE、AC相交于点F．（1）求证：点F为AC中点；（2）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；（3）若BC=3，AC=4，求四边形ADCE的面积；（4）若想四边形ADCE为正方形，△ABC应添加条件AC=BC．考点：四边形综合题．专题：压轴题．分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD，再根据两直线平行，同位角相等可得∠AFD=∠ACB=90°，然后根据等腰三角形三线合一证明即可；（2）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DF=BC，然后求出DF=EF，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形判定即可；（3）根据平行四边形的对边相等可得DE=BC，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解；（4）△ABC应添加条件是AC=BC，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD⊥AB，然后求出∠ADC=90°，再根据一个角是直角的菱形是正方形证明即可．解答：（1）证明：∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴AD=CD，∵四边形BCED为平行四边形，∴DE∥BC，∴∠AFD=∠ACB=90°，∴AF=FC，故点F为AC中点；（2）解：四边形ADCE是菱形．理由如下：∵点F是AC的中点，D为AB的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=BC，又∵四边形BCED为平行四边形，∴DE=BC，∴DF=EF，∴AC、DE互相垂直平分，∴四边形ADCE是菱形；（3）解：∵BC=3，∴DE=3，又∵AC=4，∴四边形ADCE的面积=AC•DE=×4×3=6；（4）解：△ABC应添加条件是AC=BC．理由如下：∵AC=BC，D为AB中点，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，由（2）可知四边形ADCE为菱形，∴四边形ADCE是正方形．点评：本题是四边形综合题型，主要利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的中位线定理，菱形的判定与面积等于对角线乘积的一半的求解方法，等腰三角形三线合一的性质，正方形的判定，要熟练掌握菱形与正方形的联系与区别．18．（2013•徐州模拟）如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别为AC、BC的中点．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）如果AB=8，求D、F两点间的距离．考点：菱形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：（1）利用三角形的中位线定理即可得到四边形EFCD的四边相等，即可证得；（2）连接DF，与EC相交于点G，△EFC是等边三角形，则△EFG是直角三角形，利用三角函数即可求得GF的长，根据DF=2GF即可求得．解答：（1）证明：∵△ABC与△CDE都是等边三角形∴AB=AC=BC，ED=DC=EC∵点E、F分别为AC、BC的中点∴EF=AB，EC=AC，FC=BC∴EF=EC=FC∴EF=FC=ED=DC，∴四边形EFCD是菱形．（2）解：连接DF，与EC相交于点G，∵四边形EFCD是菱形∴DF⊥EC，垂足为G∵EF=AB=4，EF∥AB∴∠FEG=∠A=60°在Rt△EFG中，∠EGF=90°∴DF=2FG=2×4sin∠FEC=8sin60°=4．点评：本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，理解三角形的中位线定理是关键．19．（2012•建宁县质检）如图：△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB与AC、AE分别交于点O、E，连接EC．（1）求证：AD=EC；（2）当∠BAC=90°时，求证：四边形ADCE是菱形；（3）在（2）的条件下，若AB=AO，且OD=a，求菱形ADCE的周长．考点：菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质．分析：（1）首先证明四边形ABDE是平行四边形，可得AE=BD，再根据DC=DB可得AE=DC，进而证出四边形ADCE是平行四边形，可得AD=EC；（2）当∠BAC=90°时，可证出AD=DC，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形ADCE是菱形；（3）根据菱形的性质计算出AO=DE=2DO=2a，再根据勾股定理计算出AD的长，进而得到菱形ADCE的周长．解答：证明：（1）∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD，∵D是BC中点，∴DC=DB，∴AE=DC，AE∥DC，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AD=EC；（2）∵当∠BAC=90°时，AD是Rt△ABC斜边上的中线，∴AD=，∴四边形ADCE是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）∵四边形ADCE是菱