新设计数学人教A版必修四讲义第二章平面向量章末复习课2

章末复习课网络构建核心归纳1．五种常见的向量(1)单位向量：模为1的向量．(2)零向量：模为0的向量．(3)平行(共线)向量：方向相同或相反的向量．(4)相等向量：模相等，方向相同的向量．(5)相反向量：模相等，方向相反的向量．2．两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa．(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．3．两个非零向量平行、垂直的等价条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：(1)a∥b?a＝λb(λ≠0)?x1y2－x2y1＝0，(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0．4．平面向量的三个性质(1)若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2)．(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2)．(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))．5．向量的投影向量a在b方向上的投影为|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|).6．向量的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a，a·b＝b·a．(2)结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c，a－b－c＝a－(b＋c)，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb，(a＋b)·c＝a·c＋b·c．(4)重要公式：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2a·b＋b2要点一平面向量的线性运算及应用向量线性运算的基本原则和求解策略(1)基本原则：向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．(2)求解策略：①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧．②字符表示下线性运算的常用技巧：首尾相接用加法的三角形法则，如eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))．③平行向量(共线向量)、相等向量与相反向量、单位向量等，理解向量的有关概念并进行恰当地应用．④注意常见结论的应用．如△ABC中，点D是BC的中点，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))．【例1】(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则2a－b的结果是A．(7，－2) B．(1，－2)C．(1，－3) D．(7,2)解析∵a＝(2,1)，b＝(－3,4)，∴2a－b＝2(2,1)－(－3，4)＝(4,2)－(－3,4)＝(4＋3,2－4)＝(7，－2)，故选答案A(2)设D为△ABC所在平面内一点，则eq\o(BD,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，则()A．eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up6(→))解析∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝3(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴2eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))．答案D【训练1】已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c．(1)求3a＋b－3(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n．解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝((2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，a＝mb＋n所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))要点二平面向量的数量积运算向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．运用两向量的数量积解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．【例2】(1)如图所示，在平面四边形ABCD中，若AC＝3，BD＝2，则(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝________；解析由于eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))．(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2－|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝9－4＝5．答案5(2)在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝eq\r(2)，则eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))的取值范围为________．解析以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)，则C(0,0)，A(2,0)，B(0,2)，所以直线AB的方程为x＋y－2＝0.设M(t,2－t)，因为MN＝eq\r(2)，所以N(t＋1,1－t)(0≤t≤1)，所以eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))＝t(t＋1)＋(2－t)(1－t)＝2t2－2t＋2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2＋eq\f(3,2).因为0≤t≤1.所以eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))．答案[eq\f(3,2)，2]【训练2】已知两个单位向量e1，e2的夹角为eq\f(π,3)，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．解析b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3eeq\o\al(2,1)－2e1·e2－8eeq\o\al(2,2)＝3－2×1×1×eq\f(1,2)－8＝－6．答案－6要点三平面向量的平行与垂直问题1．证明共线问题常用的方法(1)向量a，b(a≠0)共线?存在唯一实数λ，使b＝λa．(2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线?x1y2－x2y1＝0．(3)向量a与b共线?存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝02．证明平面向量垂直问题的常用方法a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．【例3】已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为120°，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2.若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．解析由eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))知eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，即eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(λ－1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－λeq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＝(λ－1)×3×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－λ×9＋4＝0，解得λ＝eq\f(7,12)．答案eq\f(7,12)【训练3】直角坐标系xOy中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，k)，若△ABC是直角三角形，则k的可能值个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，k－1)，若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝6＋k＝0得k＝－6；若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2＋k－1＝0，得k＝－1；若eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝3＋k2－k＝0，此方程无解，故k的可能值为－6或－1．答案B要点四平面向量的模与夹角(1)利用数量积求解长度的方法①|a|2＝a2＝a·a；②|a±b|2＝a2±2a·b＋b2③若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(x2＋y2)．(2)求两个非零向量的夹角时要注意①向量的数量积不满足结合律；②数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角；数量积等于0说明两个向量的夹角为直角；数量积小于0且两个向量不共线时两个向量的夹角就是钝角．【例4】(1)已知a，b为平面向量，若a＋b与a的夹角为eq\f(π,4)，a＋b与b的夹角为eq\f(π,4)，则eq\f(|a|,|b|)＝________；解析设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b(O为坐标原点)，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b，由于a＋b与a的夹角为eq\f(π,4)，a＋b与b的夹角为eq\f(π,4)，所以∠AOC＝eq\f(π,4)，∠ACO＝eq\f(π,4)，在△AOC中，|a|＝|b|，故eq\f(|a|,|b|)＝1．答案1(2)已知△ABC是正三角形，若eq\o(AC,\s\up6(→))－λeq\o