2021年闵行区二模数学试题含答案-理科

第二学期高三

数学试卷（理科）

（满分150分，时间120分钟）

考生注意：

1.答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号,姓名等填写清楚.

2.请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿

纸、试题卷上答题无效.

3.本试卷共有23道试题.

1.用列举法将方程log3X+log3（x+2）=l的解集表示为.

2.若复数z满足z<l+i）=2（其中i为虚数单位），则|z+l|=.

22

3.双曲线X土-y匕=1的两条渐近线的夹角的弧度数为.

412

4

4.若cosa=g,且ae（0,»），则tocg,=.

5.在极坐标系中，若过点（3,0）且与极轴垂直的直线交曲线0=4cos。于A、B两

点，则|A8|=.

6.已知等比数列｛«,｝满足4=2,%=1，则1而（44+。2/+…+44+1）=-

7.设二项式（3x+l）”的展开式的二项式系数的和为p,各项系数的和为q,且

12p+64=q,则〃的值为.

8.m是从集合｛一1,0,1,2,3｝中随机抽取的一个元素，记随机变量J=cos（〃L]）,则占

的数学期望E&=.

9.给出条件:①X[<%2，②国>%2,③X]<卜21④X；<X2-函数/（X）=卜诂乂+|乂，

jrTT

对任意％、x2e-1,y,能使/（芭）</（々）成立的条件的序号是.

10.已知数列｛4｝满足4用=M—2%+2+1（〃eN*）,则使不等式勺015>2015成

立的所有正整数片的集合为.

/T"2

11.斜率为—的直线与焦点在X轴上的椭圆/+与=l（b〉0）交于不同的两点P、Q.

2b~

若点P、。在X轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为.

12.函数/(x)=log“x+a(x+l)2-8在区间(0,1)内无零点，则实数。的范围

是.

13.如图，已知点尸(2,0),且正方形ABC。内

接于口。：/+y2=i,〃、N分别为边A3、

8c的中点.当正方形ABC。绕圆心。旋转时，

PM-ON的取值范围为.

-x2+x+kx<1

14.己知函数/(X)=-1,

---Flog,XX>\

g(x)=aln(x+2)+—(aeR),若对任意的%e{x|xeR,x>-2},均有

x+\

f(xt)<g(x2),则实数人的取值范围是

15.如果a<b<0,那么下列不等式成立的是()

,,1]0a

(A)ci~<cib.(B)—ab<一b.(C)—<—.(D)一>一.

abab

16.从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单，

要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有()

(A)14种.(B)48种.(C)72种.(D)120种.

17.函数y=sinx的定义域为[4目，值域为一1,；,则匕一。的最大值是()

44

(A)7t.(B)---.(C)—.(D)27r.

33

18.如图，已知直线/_L平面a,垂足为0,在△ABC

中，3c=2,AC=2,A5=2a,点P是边AC上的动点.

该三角形在空间按以下条件作自由移动：(1)AG/,

C

⑵Cea.则|丽+而|的最大值为（）

(A)2.(B)272.(C)1+75.(D)V10.

19.（本题满分12分）

如图，已知圆锥的底面半径为r=1（）,点。为半圆弧48的中点，点尸为母线

S4的中点.若直线PQ与SO所成的角为巴TT，求此圆锥的表面积.

4

BA

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第⑴小题满分4分，第⑵小题满分10分.

设三角形ABC的内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c,且8=上

3

若△ABC不是钝角三角形，求：（1）角C的范围：（2）"的取值范围.

c

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第⑴小题满分6分，第⑵小题满分8分.

某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油机

万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的

需求量y（万吨）与x的函数关系为y=J茄（p＞0,lWxW16,xeN*）,并且前4个

月，区域外的需求量为20万吨.

（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；

（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，

且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定〃z的取值范围.

22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第⑴小题满分4分，第⑵小题满分6分，

第（3）小题满分6分.

己知两动圆6：。+百）2+丁=,和鸟：（%—百）2+,2=（4一厅（。＜「＜4）,

把它们的公共点的轨迹记为曲线C,若曲线C与y轴的正半轴的交点为M,且曲线C上

的相异两点A8满足：MAMB=Q.

(1)求曲线。的方程；

(2)证明直线AB恒经过一定点，并求此定点的坐标;

(3)求面积S的最大值.

23.(本题满分18分)本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分7分，

第⑶小题满分7分.

各项均为正数的数列也｝的前〃项和为S,，且对任意正整数〃，都有

2s“超0+1).

(1)求数列｛〃,｝的通项公式；

⑵如果等比数列｛%｝共有皿加22,根eN*)项，其首项与公比均为2,在数列｛%｝

的每相邻两项为与Gm之间插入，个(—l)'2(ieN*)后，得到一个新的数列｛%｝.求数

列｛%｝中所有项的和：

(3)如果存在〃eN*,使不等式“+工4(〃+1)，4瓦成立，求实数丸的范

围.

闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试

数学试卷参考答案与评分标准(文理)

一.填空题I.｛1｝；2.V5；3.-；4.-；5.(理)2百，(文)-40；

1133

6.（理）—,（文）8;7.（理）4,（文）—3；8.（理）—,（文）石；9.④；

310

10.（理）{〃|〃N2015,〃eN*},（文）2015等；II.0；12.（文理）（1,2］；

13.（理）［—&,&］,（文）［Y,4］；14.（文理）1―°°，—1.

二.选择题15.B；16.D：17.B：18.C.

三.解答题

19.［解］取。4的中点M连接PM又点尸为母线SA的中点AS

所以PM〃OS,故NMPQ为PQ与S。所成的角...................2分/

在山中，AMPQ=-,PM=QM,..................................4分/：/|\

4//i\

由点Q为半圆弧AB的中点知OQ1AB,

Q

在放ZXMOQ中，OQ=10,OM=5nMQ=5右

故PM=5非,所以OS=10后，SA=10A/6..........................8分

所以S底=兀户—100万,5侧=zrr-SA=^xlOxl0>/6=100屈兀......................10分

S全=5底+S恻=100%+10076^=100（1+R）兀...................................................12

分

20.［解］（1）因为A+C='，A^—-C.................................................2分

33

由0<CK工,0<A<工得：-<C<-................................................4分

2262

…2a4RsinAsinA八八

（2）——=-----------=..........6分

c27?sinCsinC

2sin（B+C）sinC+V3cosC_6cosc,冗/…，兀、八八

=---------------=----------------------=1-1--------------（—<C<—）............10分

sinCsinCsinC62

当。=工时，网=1+县妊=1

2csinC

当巳时，—=l+^-e（l,4］................................................12分

62ctanC

所以即1+焉［

14分

C

21.［解］(1)由条件得20=找万7=2〃=100,所以y=l()&(lWx416,xeN")2

分

M-tnx-x-10y/x+10,(1<x<16,xeN,).........................6

分

(2)因为0<M<30,

10+mx-x-10Vx>0

所以《(l<x<16,xeN)恒成立8

IO+ZWC-X-IOA/X<30

分

、1010i

m>----F—j=+1

xVx

<x<16,XEN)恒成立10

/2010i

m<---F—j=+1

分

1

设则:-</<l

\［x4

m>-10r2+10r+l<l.

<—<f<1恒成立,

m<20/2+10r+114

由机2-10『+10r+l=—10«—wr41）恒成立得

7

m＞-（x=4时取等号）..................12

2

分

机420产+恒成立得加4日（x=16时取等号）

-719

所以一＜相＜一...................14

24

分

22.［解］⑴（文理）设两动圆的公共点为Q,则有：|Q6|+|。笈|=4（＞］耳河|）.由椭

圆的定义可知。的轨迹为椭圆，a=2,c=y/3.所以曲线C的方程是：—+/=1.-

4

4分

（2）（理）证法一：由题意可知：M（O,1）,设A（X1,y）,B（x2,y2）,

当AB的斜率不存在时，易知满足条件双晨丽=0的直线AB为：x=（）过定点

3

W,--）..................6

分

当A3的斜率存在时，设直线A3：y=联立方程组：

Y2

~4+y=1①，把②代入①有：（1+4/）》2+8的优+4疗_4=0

8分

y=kx+m②

-8km/4m2-4

%/=-----7③，M•%=-----r④,

1-1+4F1-1+4公

因为MA-MB=0,所以有％W+（履1+加一1）（佚+-1）=0，

（1+左2）%,入2+%（机一1）（尢|+尤2）+（机—1）2=°，把③④代入整理:

（1+公）网=+女（加一1）二〃—1）2=（）,（有公因式〃?一1）继续化简得:

1+4H1+4/

（加一1）（5加-3）=0,m=——或加=1（舍）,

综合斜率不存在的情况，直线恒过定点N（0,一,3）...................10分

证法二；（先猜后证）由题意可知：M（0,l）,设A（%,y）,B（x2,y2）,

如果直线A3恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y轴上，设为N（0,m）;

取特殊直线MA:y=x+\,则直线MB的方程为y=-x+l,

解方程组<彳+步=1得点4—|,—|),同理得点仇|,—令，

y=x+l

3

此时直线A3恒经过y轴上的点N(0,-])(只要猜出定点的坐标给2分)……2分

下边证明点NO-1)满足条件MAMB=O

当A3的斜率不存在时，直线A3方程为：x=0,

点A、B的坐标为(0,±1),满足条件瓦•丽=0；................................8分

当AB的斜率存在时，设直线45：y=kx_g,联立方程组：

"2]①

<4,把②代入①得：（1+4公）f一丝（无一些=0

,3^525

y=kx~—②

24k--64〃

x,+x0=-------—③，x,-x.=---------—④，

-5（1+4女2）1225（1+4二）

8)

所以MA・MB=3・/+（y-1）（＞2-1）=玉・w+（村一

2

—（1+A：）X|X2——（X|+工2）+石

-648k24k64八

=（1+%2）•cCH-----=010分

25（1+4攵2）55（1+4公）25

(文)由条件而•磁=0,知道々MA左“5=-l,VM(0,l),A(-2,0)%«=；，

分

kMB=-2，得直线MB:y=—2x+1,6

-2

X2iixI

解方程组J彳+"=可得3（2,-一）,8分

C.1717

y=-2x+l

333

k=---，直线AB：y=----x—,

AB10105

3

所以交点N（0,—g）.....................10分

（3）（理）△ABM面积

S=S△MNA+S^MNB=51-12卜mQ（X]+%2）一—4X1•1

25A4

由第（2）小题的③④代入，整理得：5=—-'-t.....................12

25l+4k2

分

因N在椭圆内部，所以ZeR,可设］=525炉+4可2,

32/32

5=--z=Q（^2）....................14分

4厂+94f+2

t

92564

•••4/+匕2」，（攵=0时取到最大值）.

t225

所以面积S的最大值为一..................................16分

25

（注：文科第（3）小题的评分标准参照理科第（2）小题）

23.［解］（1）（文理）当〃=1时，由2sl=仇（4+1）得仇=1.......1分

当〃22时，由2S“=2（2+1）,2s,i=岫+1）得

S"+如地〃-%）=〃+%

因数列也，的各项均为正数，所以=1......................3分

所以数列｛2｝是首相与公差均为1等差数列

所以数列也,｝的通项公式为0“=〃.......................4分

⑵（理）数列｛4｝的通项公式为%=2”..............5分

当机=2Z—1（左22,左wN*）时，数列｛%｝共有

（2Z—1）+1+2+…+（2左一2）=々（2左一1）项，其所有项的和为

S&（2i）=Q+22+…+221）+[-1+22-32+42----（2左一3）2+（2左一2月

=2(2?i_1)+[3+7+…+(4(_5)]=22*_2+(2(_])(后_1)

=1/n(m-l)+2m+1-2.............................................8分

当加=2%(%wN*)时,数列｛%｝共有

2左+1+2+…+(2左一1)=攵(2左+1)项，其所有项的和为

&(2"+1)=53)+221(21)2

=22*-2+(22_1)(J)+22k~(2k-l)2=22*+1-k(2k-1)-2

=-^m（m-l）+2n,+'-2.........................................11分

（文）数列｛4,｝的通项公式为a,,=2".....................................5分

数列｛%｝中一共有

2015+1+2+3+.••+2014=1008x2015项，其所有项的和为

52201522222

IOO8X2OI5=(2+2+.••+2)+[-1+2-3+4-------2013+2014]••・•••8分

=2Q2OI5—1+(3+7+11+…+4027)=2236—2+3+：27.I。。？

=22016+2015x1007-2=22016+2029103.........................................11分

(3)(理)由勿+」-W(〃+1)2<2+]+」一得

b”%

〃+一1.

—^-<2<1+-------7,“=1,2,3,….........................................13分

〃+1(〃+1)~

1

n+~1

记4=-+=1,2,3,-

〃+1(〃+1)

2-〃

由A〃-41

+〃5+1)(〃+2)