高中数学幂函数B

幂函数（1）【教课目的】1．使学生理解幂函数的观点，能够经过图象研究幂函数的性质．2．在作幂函数的图象及研究幂函数的性质过程中，培育学生的察看能力，归纳总结的能力．3．经过对幂函数的研究，培育学生剖析问题的能力．【学习指导】本节的要点有两个：一是幂函数的定义；二是幂函数的图象与性质．研究幂函数的图象与性质可经过对典型的幂函数，如yx2、yx3及y1xn(nx2的图象研究归纳y0)的图象特点和yx2、yx3及y1函数性质，经过对幂函数x2的图象研究归纳xn(n0)的图象特点和函数性质．难点也有两个：一是幂函数与指数函数定义是有区其余，学生简单混杂．二是幂函数的定义域与图象是复杂多变的，要依据指数的详细状况而定．学习时应当注意：⑴研究幂函数的性质时，往常将分数指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分数形式再去进行议论；⑵对于幂函数yxn(n0)，我们第一应当剖析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确立图象的地点，即所在象限，其次确立曲线的种类，即n＜0，0＜n＜1和n＞1三种状况下曲线的基本形状，还要注意n＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大概状况能够用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即n＞0（n≠1）时图象是抛物线型；n＜0时图象是双曲线型；n＞1时图象是竖直抛物线型；0＜n＜1时图象是横卧抛物线型．运用幂函数的性质比较函数值的大小，若底数不一样，指数同样，则用幂函数的性质即可作出判断，若底数同样，指数不一样，则用指数函数的性质来作出判断．解题的时候要特别注意灵巧的使用幂函数的图象和性质．【例题精析】例1．写出以下函数的定义域，指出它们的奇偶性．并画出它们的图象，察看这些图象，看看有什么共同点？11；⑶2；⑷5．⑴y＝x2；⑵＝x3y＝x3＝x3yy【剖析】分数指数幂能够与根式互相转变．把各函数分析式先化成根式形式即可．【解法】⑴yx；⑵y3x；⑶y=3x2；⑷y3x5．函数的定义域就是使这些根式存心义的实数x的会合；奇偶性直接利用定义进行判断．⑴的定义域为[0,)，⑵⑶⑷的定义域都是R；此中⑴既不是奇函数也不是偶函数，⑵⑷是奇函数，⑶是偶函数．它们的图象都经过点(0,0)和(1,1)，且在第一象限内函数图象自左而右奉上涨趋向，即函数在x[0,)单一递加．例2．模仿例1研究以下函数的定义域和奇偶性，察看它们的图象，看看有什么共同点？⑴y＝x－1；⑵y＝x－－1－1．y【剖析】先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式．【解法】⑴y1；⑵y12；⑶y1；⑷y1．函数xxx3x的定义域就是使这些分式和根式存心义的实数x的会合；⑴⑵⑷的定义域都是{x|x0}，⑶的定义域是(0,)；依据函数奇偶性的定义可得⑴⑷是奇函数，⑵是偶函数，⑶既不是奇函数也不是偶函数．它们的图象都经过点(1,1)，且在第一象限内函数图象自左向右呈降落趋向，而且以两坐标轴为渐近线．反响出这些函数在x(0,)上单一递减．【评注】经过例1和例2的解决过程，表现数学学习的过程是一个成立在经验基础上的主动建构的过程，让学生在合作中获得知识．【知识提炼】1．幂函数图象a＝qp、qpa＜00＜a＜1a＞1互质p，q都是奇数是奇数是偶数是偶数

yyyOOOyyyOOOyyyOOO是奇数．幂函数图象性质都过点(1，1)；②a＞0时，在第一象限内函数的图象随x的增大而上涨，函数在区间0,上是单一增函数．当a＜0时，在第一象限内函数的图象随x的增大而降落，函数在区间0,上是单一减函数．③除原点外，任何幂函数图象与坐标轴都不订交，任何幂函数图象都可是第四象限；④任何两个幂函数图象最多有三个公共点．除(1，1)，(0，0)，(－1，1)，(－1，－1)外，其余任何一点都不是两个幂函数的公共点．a＞0时幂函数图象总过原点，a≤0时，幂函数图象可是原点．例3．议论以下函数的定义域、值域，奇偶性与单一性：4⑴yx5yx3【剖析】依据幂函数的性质议论定义域、奇偶性，单一性．【解法】⑴y＝x5的定义域是(－∞，＋∞)，值域也是(－∞，＋∞)，是奇函数，∵5＞1，∴y＝x5在(－∞，＋∞)上是增函数．4⑵∵y＝x3＝1，x4∴定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域是(0，＋∞)，是偶函数，4∵－4＜0，∴y＝x3在(－∞，0)是增函数，在(0，＋∞)，是减函3数．【评注】由例3让学生对幂函数性质的认识有一个提高．例4．比较以下各题中两个值的大小．2222⑴(－1.5)5与(－1.7)5⑵3.143与π311⑶(－5)3与(－6)3⑷314与221【剖析】比较两数的大小可结构一个函数，考虑这个函数的单一区间．22＞0【解法】⑴观察函数y＝x5，∵25∴y＝x5在(－∞，0)上是减函数．22又∵－1.5＞－1.7，∴(－1.5)5＜(－1.7)522＜0∴y＝x2⑵观察函数y＝x3，∵－3在(0，＋∞)上是减函数．322又∵3.14＜π，∴3.143＞π31111⑶(－5)3＝－53，(－6)3＝－63111111又53＞63∴－53＜－63，∴(－5)3＜(－6)3．⑷∵314＝97，221＝87，又97＞87∴314＞221．【评注】学生学习了幂函数此后,要点还在于对其性质要会灵巧运用,例4是做一个基本的铺垫．【本课练习】以下命题中正确的选项是( )当n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线；幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点；C.若幂函数＝n的图象对于原点对称，则y＝xn在定义域内yyx随x的增大而增大；D.幂函数的图象不行能在第四象限．2.以下函数中，定义域为(0，＋∞)的函数为()．233A.y＝x3；B.y＝x2；C.y＝x2；D.y＝x3．3.以下函数中不是幂函数的是()＝x；＝x3；C.y＝2x；D.y＝x－1．A.yB.y2214.T1＝(1)3，T2＝(1)3，T3＝(1)3，则以下关系式正确的选项是( )．2522＜T3＜T1D.T2＜T11＜T2＜T3B.T3＜T1＜T2C.TA.T＜T3已知函数当a＝当a＝当a＝当a＝

2f(x)＝(a－1)·xaa1时，f(x)为正比率函数；时，f(x)为反比率函数；时，f(x)为二次函数；时，f(x)为幂函数．函数y＝xa(a∈Q)的图象，当0＜x＜1时，在直线y＝x的上方；当x＞1时，在直线y＝x的下方，则a的取值范围是．117．若(a＋1)3＜(3－2a)3，试求a的取值范围．38．m为如何的值时，函数f(x)＝(mx2＋4x＋m＋2)4＋(x2－mx＋1)0的定义域是R？9．⑴求函数＝＋－2的定义域、值域．议论当x增大时，函数y(x2)值如何变化？并画出图象；⑵问上述函数的图象与函数y＝x－2的图象有何关系？附答案：1．4.D5.－2，0或－1；113，22(提示：当f(x)为正比率函数时，a2a11，即a＝－2；当f(x)a10为反比率函数时，a2a1－1，即a＝0或a＝－1；a10当f(x)为二次函数时，a2a12，即a＝113；a102当f(x)为幂函数时，a－1＝1，即a＝2)[－2，3)(提示：x＋20即2≤x＜3)－＞03xa＋1＞0＋＜07．幂函数的性质，有三种可能状况：3－2a＞0或a1或－＞a＋1＞3－2a32a0a＋103－2a0a＋1＞3－2a解得：a∈(－∞，－1)∪(2，3)．32mx24xm2＞0①8.0x2－