考研高数习题集(下)

下册目录

第五讲：多元微分与二重积分..............2

单元一：概念.....................................................................2

单元二：偏导与全微分计算.........................................................3

单元三：隐函数求导（方程或方程组）................................................5

单元四：二元极值.................................................................7

单元五：交换二次积分次序.........................................................9

单元六：二重积分计算............................................................10

单元七：二重积分应用............................................................14

第六讲：无穷级数.......................15

单元一：收敛定义................................................................15

单元二：数项级数审敛............................................................16

单元三：塞级数..................................................................18

单元四：傅里叶级数..............................................................22

第七讲：向量代数,解析几何与偏导应用...........24

单元•：向量代数...............................................................24

单元二：解析几何...............................................................25

单元三：偏导数的几何应用.......................................................26

单元四：方向导数与梯度.........................................................28

第八讲：三重积分与线面积分...............29

单元一：三重积分计算...........................................................29

单元二：三重积分应用...........................................................31

单元三：第一类线面积分计算.....................................................33

单元四：第一类线面积分应用.....................................................36

单元五：第二类曲线积分与Grenn公式.............................................38

单元六：积分与路径无关性.......................................................41

单元七：第二类曲面积分与Gauss公式............................................43

单元八：第二类线面积分应用.....................................................46

单元九：环流量与Stokes公式....................................................47

第五讲：多元微分与二重积分

单元一：概念

1.函数Z=Jx2+y2在(0,0)点LAJ

A:连续不可导；B:可导不连续；

C:可导连续不可微；。：全微分存在

—7^—7，Y+y2H0

2.函数2=+在(0,0)点[8]

0x2+y2=0

4:连续不可导；B:可导不连续；

C：可导连续不可微；O:全微分存在

3.函数(l)z=JW；(2)z=^/x3+/在(0,0)点[CJ

A:连续不可导；B:可导不连续；

C:可导连续不可微；全微分存在

4.f=(x2+y2)F(x,y),其中产在含点(0,0)的邻域内有界，则/在点(0,0)处：

A:连续不可导；B:可导不连续；

C：可导连续不可微；O:全微分存在

5.设夕(x,y)连续,F[x,y)=|x->'|°(x,y),研究F(x,y)在原点的连续，可导，可微性.[略]

(x2+y2)sin———,x2+y2/0

6.证明：z={x2+y2在点(0,0)可微，但偏导不连续.

22

0x+y=0

2

加一(皆心+.旬')(&+△；2)sinA^A7

K1序

2

⑪(0.0)JAJ2+Ay2小盘+Ay2

OX(0,0)

2•1fx

xsin—2xsin---—cos—-,xw0

(2)Z(X,O)=<Xzv(x,O)=<xxx不连续]

0x=00x=0

单元二：偏导与全微分计算

x-y求・匹

1.z=arctan----

l+xy

(0,0)

2x

[z(x,0)=arctanx=>--0J

(0.0)(")2

dx"x=0

u=xnf(—,—),/(〃#)的一阶偏导存在，证明：+y"几〃•

2.

xyoxdyoz

—…，"号小《后

y1&+1&

3.z,/3）可导，且mo,证明:

/U2-/)xdxydyy2,

2//+2y2/1.

,zr21

与a

4.证明：方程y—4-X—=0有形如：〃=/（一一y2）的解.其中/为任一可微函数.

dxdy

,

[ux=2xf\uy=-2yf]

Qz

5.e-x-f(x-2y),且当y=0时，z=x0?,求：4

dx

[f(x)=e~x-x2,Z,=3-f'(x-2y)=-e-x+e~(x-2y)+2(x-2y)]

z=J(f(x-y,xy2),x=rcQS0,y=rsin^,/(〃#)的一阶偏导存在，求:包，包.

6.

drSO

dx=cosOdr-rsin0dO

[dz=f-dx+x[fy(dx-dy)+f(y2dx+2xydy)],<]

2dy=sinOdr+rcosOdd

设4/=“。,），）满足），包=8包，证明：在极坐标下”只与极径有关.

7.

oxoy

x=rcos0du.

,——=u(-rsin6)+〃(rcosO')=-yu+xu=0j

y=rsin0d6

、n>Swdudu,、

8.设J=x,〃=y-x,p=z-x,变换方程：一+—+—=0.

dxdyoz

[du=ijdJ+u〃dju+updp=u^dx+(dy-dx)+up(dz—dx)

/、，,,dududu…

二(2—u-u)dx+udy+udz=^—+—+—=w^=0]

oxdydz

9.证明：若y旦一工二=0,作变换：〃=x,u=/+,2,则：生=。

dxdydu

[dz=zudu+zvdv=zudx+zv(2xdx+2ydy)=(z〃+2xzv)dx+2yzvdy=>zw=0]

10./(〃)可导,z=[f(ii)du，求:“.

Jx-ydxdy

lzx=yf(xy)-f(x-y\.=f(xy)+xyf\xy)+f\x-y)]

11./,g具有二阶连续偏导数，求：—,其中：

dxdy

⑴z=/(2x-y)+g(x,“)

[^-lf"+xg\2+g2+xyg22]

(2)Z=-f(xy)+y(p(x+y)

X

[=»"+"W]

⑶z=/(必上)+g())

yx

[略]

(4)Z=f(ax+j3y,Ax-/jy)

[=a(P/；-〃/)+4(一£；一〃/)]

d27

12.z=/(x+sin(2x+y),y),求：—y[略]

Sy

单元三：隐函数求导（方程或方程组）

,八、、八,IX十及&

1.(1)设y+z=ln-,求:丁,丁.[dy+dz=~~—,dz=—^―(-dx-dy)]

zdxdyxz1+zx

xyvz犷24&

(2)ey+eyz-e"二小，求:一[dz=e2(dx+2dy),—=e2]

&(2,1,0)

OX(2,1,0)

a/a?

2.尸（工一［,＞一2）=0确定1=2：*,＞）,其中/;'€。仍，求二+9.

oxdy

>、,»j,xn,F；dx+F；dydz,8z

[F^(dx—dz)+居(dy—dz)—0,dz—------；-----；—n-------1------1]

F、+F?dxdy

3.x—〃z=/（y-儿），其中/可微，。一"’工0,证明：azx^bzy=1.

[dx-adz^f(dy-bdz),dz=―(dx-f'dy)]

a-bf

4.设z=z（x,y）由方程尸（x+工y+与=0确定,F偏导存在，求x竺+yg

yxoxdy

[耳(dx\dy+—dz)+F2(一~\dx-\-dy+—dz)=0=>x—+y—=z-xy]

yyxxdxdy

求:①

5.

dxdy

(l)x-eyz=0.

iz+1,Z+lJ,/、z+i】

(2)In-----=y+z[rdz=-------(—dx+dy)=>ze=-------]

xzXxz

6.Z=(-)S^：*|(1].

y

[zlnz=lnx-lnyn(1+lnz)dz=-1口=dx-dy]

7.u=xy2z3,且z=z(x,y)由/+丁+^=3(z〉o)确定，求：一

A(")=(1,1)

du=y2zdx+2xyzdy+3xy2z2dz=dx+2dy+3dz,」,

[z=l,<=>du=-2ax-ay]n

2xdx+2ydx+2zdz=0=dx+dy+dz=0

8.(l)z=w2+v2,x=w+v,y=wv,求：z*,Zy

[dz=2udu+2vdv,dx=du+dv,dy=vdu+udv=>dz=2xdx-2dy]

(2)z=xsinx-y2,cosy=ysinz,求：—

dy

[dz=(sinx+xcosx)dx-2ydy,-sinydy=sinzdy+ycoszdz

dx_2y2cosz-siny-sinz

dyycosz(sinx+xcosx)

x+y=〃+ududu,(xcosv+sinv)dx+(xcosv-sinu)dy

9.〈..，求：一,一[rdu=--------------------------------3]

xsinv=ysinudxdyxcosv+ycosw

/(a)a3

10.设Ix，其中。=a(x,y),/可微，且有竺=竺，求:a(x,y).

dzxa-a_.,,,adz、_

[r豕=-7-Ca+4/=一了可=丁一z("吗)'ay=r"

=>«(x,y)=-

y

x2+y2+z2=6,,,个

11.u=/(x,y,z\feC(l),且<3八；一二。‘当1时'>=±7

若£(L—L—2)=1JV(L—1,—2)=1J(LT—2)=2,求〃在x=l处的全导数

xdx+ydy+zdz=0dy-2dx.du

I=>2d7.八'力心7处+/的+工废=2★区=2]

3xdx+ydy-zdz-0乙az——axaxA=1

单元四：二元极值

1.求函数/(x,y)=4(x—y)—x2-y2的极值点.

力=4-2X=0

{/,。,、=(2,-2);4=-2,8=0,。=一2,4=-4=>(2,-2)极大值点]

/y=-4-2y=0

2.求，(%,、)=(6工一炉)(4丁一丁2)的极植.

/=(6-2x)(4y-y2)

[[«，、/:；、n(3,2),(0,0),(6,0),(0,4),(6,4)n/(3,2)=36为极大值]

4=(6x-x-)(4-2y)

3.z=z(x,y)由尤2+)，2+72-2》一2》一42-10=0确定,求极值

3=(8-1)当+()-1)4=(1,1,_2),(1,1,6)n…n(1,1,—2)极小；(1,1,6)极大]

2-z

4.z=(l+e')cosx->'ev有无穷个极大值而无极小值

[z,=-(l+e?v)sinx=0.、

LJ\,、八=>M(2叫0),"((2〃+1)%,-2

[q-e(cosx-l-y)=0

=>A=-(l+e')cosx,=-2(极大)；A%=e-2(l+"2)(非极值)]

5.在2/+>2+[2=]上，求距平面2x+y-z=6的最近点与最远点和最近最远距离.

,2(2x+y—z-6)~三2221,(2x+y—z—6)一.22八

[d----=----—,2x+y+z^l=>L=-----=----—+A(2x2+y+z-1)

x=y=-z,111.4,111.81

6.求/=%x：+…+a”x；满足+々+…+x“=c的条件极值

2

[L=OjX1+•••+a“x；+2(%)++•■•+x,-c)nqX|=a2x2=■■■=anxn

Cc2

=>/=---1---1-------，(女=1,2,4=-------------]

Clj.(--1---F•••d---)--1----F•••d---

a}a2ana}a2an

7.经过点(1,1,2)的平面与三个坐标面在第一卦限内可围成四面体，求体积最小值

xyz[11121,112

[r乃：一+—+—=1=>V=—abc,—+—+—=1=L7=—abc+A(—+—-\---1)

abc6ahc6abc

-=7=-=7a=b=3,c=6,V；(3,3,6)=9]

abc35nin

2

8.求：z=2x+y在Z):一+{~K1上的最值.

q=2y2

[(1乂।无驻点；(2)b=2%+丁+4。2+2_一1)

15V=1・4

2+2x4—01-

二<九八,>=2%=(±唱±0)』*=2血,2而“=-2&]

1H—Z=0L

I2

9.求/=/+12盯+2），2在区域4尤2+｝；2<25上的最值

/=2x+12y=0

[⑴《,=>(0,0),f(0,0)=0;(2)L^x2+12xy+2y2+2(4x2+/-25)

fx=12x+4y=0

331

n(±2,+3),(土去±4)n/min(±2,+3)=-50,/max(±|,±4)=106-]

10.抛物面z=f+/被平面x+），+z=1截成椭圆，求原点到该椭圆的最长，最短距离

[L=x2+y2+z2+2(x2+y2-z)+〃(x+y+z-l)=x=y=〔,z=2+V3

n%56;dmm=59+5百]

11.设4〉0,4。一82〉0,求在条件：x2+y2=1T,函数z=Ax2+2Bxy+Cy2的极

大值与极小值之和

(A8)

[解(1)正定，之和=4+4=A+C；(44,4)

(BC)

A+489?

解(2)/=/+几9=>=0,Ax^+2Bxoyo+Cy^+A=0]

BC+A

12.求椭圆：Ax2+2Bxy+Cy2^\(C>0,AC-B2>0)的面积.

1兀7B、

[法(1)S=](A44)

VAC-52、B

2x+〃2Ax+25y)=0

法(2)L-x~+y?+A(^Ax~+Q.Bxy+Cy"-1),

2y+A(2Bx+2Cy)=0

1+九4ABI------Ji

=>x2+y2=-2,=0,S=.=)=1

AB1+疣7一阮下

单元五：交换二次积分次序.

1.设函数/（x,y）连续，交换积分次序:

(1)Cdxff(x,y)dy[fdyf.f(x,y)dx]

J—KinxJL)-arcsiny

2

⑵/=L(f(%)'"+二"x『f。,y)dyf(x,y)dx]

(3)/=fdyR/(x,y)dx+fdyR/(x,y)dxIfdx『'/(x,y)dy」

44

⑷fdy落"X,y)dx+[dy仁f(x,y)dx[£dx『f(x,y)dy]

⑸1%区J(x，y)dy-

2.计算：

⑴I,?，xfr^s—iny,

(2)^x2dx^e~ydy

[/=卜”「法=孙'%哈勺

⑶

xsinxdx=sin1-cosl]

（4）J>j>n^），+

2

Fry.71X,2fi7iy,4小、

[/T=dysin—dx=——Iycos——ay=—(2+^)]

JJv2y7i27T

⑸[dyf与dx+「d)J坐dx

JO』e，Je』ny

[/=jJx£dy=jInxdx=2In2-1]

[/=exdy=^x(e-ex)dx=ge-；五]

3.证明：[/（工世.[/（产23-4）2

[/=ff端仆=:必需倦s/产=Z]

4.fdx^f(x)f(y)dy=g[ff(x)dx]2.

[左式=fdyf于(x)f(y)dx=fJxf/(>')/(x)Jy=7fff(x)f(y)dxdy=右式]

JaJaJ(iJayJaJa

5.证明：[ff(x)dx]2<(b-a)「f2(x)dx

JaJa

[左式=ff/(x)/(y)dxd)，<；JJ"2(刈+/2(历"必=右式]

[aj?]x[a,b]

[另解：04JJ[fM-f(y)]2dxdy=f|[f2(x)+f\y)-2f(x)f(y)]dxdy]

[a,b]x.[aj)\[a,h]x[a,b]

单元六：二重积分计算

1.利用对称性计算：

5kk

(1)jj(x+y)5da[I=JJ^C^x~ydxdy=0]

x2+y2<\x2+y2<]k=。

(2)JJS^nA-dxdy,D:x=y2,x=l+^l-y2

[“y”奇函数=>Z=0]

DX

(x+y)2db.[/=8j|x2dxdy=8x2clx'dy=—]

⑶J.x+y<l(x,y^0)3

kl+>勺

(4)]](x+y)sgn(x-y)dxdy[/=jj(x+y)sgn(y-x)dxdy=0]

05x<l,0<y<l0£x<l,0<y^l

2.单变量积分

⑴^ey2dxdy,D:以(0,0),(1,1),(0,1)为顶点的三角形.

D

(e厂dyj：dx=(ye'dy=g(e-1)]

[1=

(2)计算\\e^d(y,。为丁=；»：与＞=/所围成的有界闭区域.

D

।/=ff(y-J.%=±]

(3)-/3>0),其中。由圆心在点(。,幻,半径为a,且与坐标轴相切的圆的较

7；V2a-x

短一段弧和坐标轴所围的区域.

产1p-V2av-x2=1巴卷空二仆(20」由

[=1—f=dxdy-■

"sjla-x小72a—x3

(4)JJemmlx2y]dxdy

[O,IJx[O,l]

I=2fdxjexdy=2^xexdx=e-l]

I

(5)^yfxdxdy,O={(x,y)|x2+y2<x}

D

[/=j"yfxdxdy=2jy/x\lx-x2dx=-—B;或r~Rdefc]o$6\/-j-r-c--o--s-0--rdr=—8]

5以小15

。是以点0(0,0),A(l,2)和8(2,1)为顶点的三角形区域

【/=fxdxRy+fxdx£'^=-]

22N

(7)jj(x|+|y)JxJy

卜卜>Kl

_riri-x4,

[/=8[xdx[dy=­]

JoJo3

3.jj(x+yfdxdy,O由x+y二=l,x+y=2,y=0,y=2围成.

D

[I=£dy£'(x+y)3Jx=^-f(16-1)dx=y]

4.求JJjxdy由孙=l,x=y及y=2围成.

Dy

口=中中,1『19]

卜=彳](y--w?)力=”]

2』y16

5.计算([sin^dxdy,其中D是以直线y=x,y=2和曲线y二=也为边界的曲边三角形.

Dy

.23JJ

[/=jdyfsin〜x=।(ycosl-ycosy2)dy=—cosl-—sin4+—sinl]

y

6.ex+ydxdy.

W+y<i

[I=£dx^\ex+ydy+px『：e"0=e--]

7.“分块”积分

(l)/(x,y)=,*计算/=y)da,。由x?-丁=i,y=o,y=2所围.

2

%y1——X’求。/（苍〉）加力淇中。=｛区＞）*+，222灯

(2)/(x,y)=<

o

[D为无界域,/=fx2dxydy=j(x4-x3)Jx=^]

⑶JI\l\y-x2\dxdy

,同、04y42

[I=f/xj：ylx2-ydy+]：dx[：]y-£dy=^(^x3dx+^(2-x2)2Jx)=|+1^]

(4)j||sin(x+y)\dxdy

[0,开冈0,“]

俨俨一x严俨

[I=]dx^sin(x+y)dy-]dxjsin(x+y)dy=21]

8.设/(〃)在[0,1]上连续，。由x+y=l与x轴，y轴所围，证明:

j]7(x+y)db=^xf(x)dx

D

[左式=(dxff(x+y)dy-^dx^f(u)du=dx=右式]

9.极坐标计算

(1)jj(x2+y)dcy

(jr-l)2+y2<l

/cos=8fcos6Odd=亍]

2

⑵2JLJ,23

"=H)』(J+y2Mb=1%]

⑶JJ(/+y2W。,。：y=42x_x2,y=J4-X2,%=0所围.

D

J曾二、汽

[/=pdeh/公=4F(1-cos40)d0=—]

(4)jjyjx2+y2dxdy,Z):2x<x2+y2<4.

D

2

.j椁」八「2jf?f2»\c/41641632

[/=2(}jd2r+d0])厂")=2(—-—+-^)=—zr-—]

(5)|T：+\/6»X2+);2<l,x+y>1.

”+y

,r，C，“cosO+sin。)，居/八.八1、，八c)、

[/=]〜d0\1------J-----p(cos6+sin。-l)d。=2——]

cos6+sin9r2

(6)JjJ冗2+y1dxdy,。由y=x与y=/所围

D

冗1sin6>i元

[/=严产=f-^^-^=-(272-1)]

cos"9

(7)JJxy公dy,P:x2+y2<2x,x2+y2>1,y>0.

D

•2cos^3.9

rsin9cosOdr=—]

/1<x2+y2<4

10/(x,),)=,一甘:一，D,0<x<2,0<y<2,求JJ7(x,y)db

[1其他D

n

[/=j2errafr+4--(22-l2)=--g-3^-+

44

11.[fcos(———)dxdy,D:x>0,y>0,x+y<l.

ox+y

11=Rdep^cos(c°s"sine」[f

cos("e丛e)(一i一)2,

上』)cosO+sin。2上cos3+sin3cos6+sin6

14/COsO-sin。、"COsS-sin。、1.

=———cost----------)d(-----------)=—sinl11

4小cos6+sin6cos6+sin62

12./连续，且/(x,y)=xy+，，/(x,y)ddQ：0<x<2,0<y<1,求夕cr

DD

[af(x,y)d(j,a=+d)dxdy=1+=>«=-1]

DD

13.J连续，且/(x,y)=--^2-y2--Jj/(w,v)dudvf(x,y)

nD

[a^f(u,v)dudv,a=JjJl-x?rfxt/y--—=『de]4l-r2rdr-a

DD)8

na=转(1一菠"。与J,/(x,y)=71-x2-y2-1(±-l)j

单元七：二重积分应用

1.求F=2盯被平面x+y=l,x=0,y=0所截得的曲面面积.

㈠=2皿1+^^^=亚"丫01

丁]

2.球面+丁+/=a1含在柱面x2+y2=b2{0<b<a)内部分的面积恰为全球面积的

一半，求〃

[S=2ff,a==dxdy-4/ra(a-yla2-b2)=2兀a2=b=—y/3a]

222

x+y<b,a?-x?_y?2

3.求由ZK6-x2—y2,zNjx2+y2及+、2Kl所确定的立体的体积.

[V=JJ(6-x2-y2-J/+J)dxdy-jd0^(6-r2-r)rdr=

D6

4.记口为Z=f+y2在点(_1,0,1)处的切平面，立体Q由z=—(l+/+y2)及平面]^所

围，求。的体积.

[n：2x+z+l=0,V=jj(2x-x2-y2)dxdy=(2rcos0-r2)rdr=—]

，2一—彳2

x~+y£^2x2

第六讲：无穷级数

单元一：收敛定义

1.若lim%=0,且£(W,“T+”,“)收敛，证明：级数>>“也收敛.

[s2nTa,52n+I=52„+u2n+lfa+o=ans”fa]

2.设：=d(常数)，lima“=+oo,证明级数：V---------收敛.

…，U…%

an+m—ananan+\t---an+m-\,an+\,an+2、n+m

3…%an+ian+2-an+m

J+8

2

3.an=[x(1-x)"dx,证明:X。"收敛，并求和.

n=\

---------------.5,,=—---------1------->-]

5+1)(〃+2)(n+3)"2x3(n+2)(n+3)---6

+8M2/，H1—Y1

[另解：工期=J)x^(l-x)jx=1犬----Jx=—]

n=\n=\%6

+8+R

4.{na“}收敛，又Z〃(%-q-i)收敛,证明:收敛.

n=\n=0

[S：=―(40+%+..•%T)=nan-

5.设抛物线),=/上的点。「。2,…是这样得到的：过。作抛物线切线交X轴于

鸟,过鸟作y轴平行线交抛物线于口,再过必作抛物线的切线得巴…，这样无限作下去,

又片为(1,0)点,求之获.

n=l

7=

[。〃区,>〃),玉=j]=1,xn-,QnPn-y„=x：=/7=不了,1。〃匕~1

单元二：数项级数审敛

若lim%=l,且收敛，问:£>“是否收敛？［否!反例:4=耳上,丫“=斗二匕

1.

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2.设：a“=£tan"xdx,⑴求£，4+4+2)的值；出证明：任意丸