圆锥曲线综合题

第二章综合素质检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知双曲线方程为eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1，那么它的半焦距是()A．5 B．\f(\r(15),2) \r(15)[答案]A[解析]∵a2＝20，b2＝5，∴c2＝25，∴c＝5.2．设P是椭圆eq\f(x2,169)＋eq\f(y2,25)＝1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若|PF1|等于4，则|PF2|等于()A．22 B．21C．20 D．13[答案]A[解析]由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝26，因为|PF1|＝4，所以|PF2|＝22.3．(2010·四川文，3)抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是()A．1 B．2C．4 D．8[答案]C[解析]∵2p＝8，∴p＝4，故选C.4．(2012·湖南文，6)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1 \f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1\f(x2,80)－eq\f(y2,20)＝1 \f(x2,20)－eq\f(y2,80)＝1[答案]A[解析]本题考查双曲线方程及相关概念．因为双曲线焦距为10，所以52＝a2＋b2，双曲线渐近线方程y＝±eq\f(b,a)x，点P(1,2)在直线y＝eq\f(b,a)x上，则eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，所以a2＝20，b2＝5，选A.5．以eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1 \f(x2,12)＋eq\f(y2,16)＝1\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1 \f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1[答案]D[解析]将eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝－1化为eq\f(y2,12)－eq\f(x2,4)＝1，易知双曲线的焦点在y轴上，焦点为(0，±4)，顶点为(0，±2eq\r(3))，所以椭圆的a＝4，c＝2eq\r(3)，因此b2＝16－12＝4，所以椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1.6．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1与椭圆eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形一定是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形[答案]B[解析]双曲线的离心率e1＝eq\f(\r(a2＋b2),a)，椭圆的离心率e2＝eq\f(\r(m2－b2),m)，由eq\f(\r(a2＋b2),a)·eq\f(\r(m2－b2),m)＝1得a2＋b2＝m2，故为直角三角形．7．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点()A．(4,0) B．(2,0)C．(0,2) D．(0，－2)[答案]B[解析]∵直线x＋2＝0恰好为抛物线y2＝8x的准线，由抛物线定义知，动圆必过抛物线焦点(2,0)．8．(2010·辽宁文)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()\r(2) \r(3)\f(\r(3)＋1,2) \f(\r(5)＋1,2)[答案]D[分析]考查双曲线的渐近线方程及如何用a，b，c三者关系转化出离心率[解析]设F(－c,0)，B(0，b)，则kFB＝eq\f(b,c)，与直线FB垂直的渐近线方程为y＝－eq\f(b,a)x，∴eq\f(b,c)＝eq\f(a,b)，即b2＝ac，又b2＝c2－a2，∴有c2－a2＝ac，两边同除以a2得e2－e－1＝0，∴e＝eq\f(1±\r(5),2)，∵e＞1，∴e＝eq\f(1＋\r(5),2)，选D.9．(2011·新课标全国文)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为()A．18 B．24C．36 D．48[答案]C[解析]设抛物线为y2＝2px，则焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，准线x＝－eq\f(p,2)，由|AB|＝2p＝12，知p＝6，所以F到准线距离为6，所以三角形面积为S＝eq\f(1,2)×12×6＝36.10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(eq\r(7)，0)，直线y＝x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为－eq\f(2,3)，则此双曲线的方程是()\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1 \f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1\f(x2,5)－eq\f(y2,2)＝1 \f(x2,2)－eq\f(y2,5)＝1[答案]D[解析]由题知c＝eq\r(7)，设双曲线方程为eq\f(x2,t)－eq\f(y2,7－t)＝1(t>0)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,t)－\f(y2,7－t)＝1,y＝x－1))消去y得，(7－2t)x2＋2tx－8t＋t2＝0.由题意知eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(2,3)，∴x1＋x2＝eq\f(2t,2t－7)＝－eq\f(4,3)，∴t＝2，∴双曲线方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,5)＝1.11．F是抛物线y2＝2x的焦点，P是抛物线上任一点，A(3,1)是定点，则|PF|＋|PA|的最小值是()A．2 \f(7,2)C．3 \f(1,2)[答案]B[解析]如图，|PF|＋|PA|＝|PB|＋|PA|，

显然当A、B、P共线时，|PF|＋|PA|取到最小值3－(－eq\f(1,2))＝eq\f(7,2).12．已知椭圆eq\f(x2,k)＋eq\f(y2,k＋2)＝1的短轴端点在以椭圆两焦点连线段为直径的圆内，则k的取值范围为()A．0<k<2 B．k>2C．0<k<4 D．k>0[答案]A[解析]∵eq\f(x2,k)＋eq\f(y2,k＋2)＝1表示椭圆，∴k>0，∴a2＝k＋2，b2＝k，c2＝a2－b2＝2.∵短轴端点在以两焦点连线段为直径的圆内，∴c>b，∴2>k，∴0<k<2.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为________．[答案]eq\f(1,2)[解析]∵AB＝2c＝4，∴c＝2.又AC＋CB＝5＋3＝8＝2a，∴a＝4.∴椭圆离心率为eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).14．设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是________．[答案]eq\f(x2,2)＋y2＝1[解析]∵双曲线2x2－2y2＝1的离心率为eq\r(2)，∴所求椭圆的离心率为eq\f(\r(2),2)，又焦点为(±1,0)，∴所求椭圆的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.15．(2011～2012·山东苍山县期末)设椭圆eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为eq\f(1,2)，则此椭圆的方程为________．[答案]eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1[解析]抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，由条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－n2＝4,\f(2,m)＝\f(1,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＝16,n2＝12))，∴所求椭圆的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.16．与双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3,3eq\r(2))的双曲线方程为__________．[答案]eq\f(y2,2)－eq\f(8x2,9)＝1[解析]设双曲线方程为：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝λ(λ≠0)又点(－3,3eq\r(2))在双曲线上，∴λ＝－eq\f(1,8).故双曲线方程为eq\f(y2,2)－eq\f(8x2,9)＝1.三、解答题(共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)求下列双曲线的标准方程．(1)与双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1有公共焦点，且过点(3eq\r(2)，2)的双曲线．(2)以椭圆3x2＋13y2＝39的焦点为焦点，以直线y＝±eq\f(x,2)为渐近线的双曲线[解析](1)∵双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1的焦点为(±2eq\r(5)，0)，∴设所求双曲线方程为：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,20－a2)＝1，又点(3eq\r(2)，2)在双曲线上，∴eq\f(18,a2)－eq\f(4,20－a2)＝1，解得a2＝12或30(舍去)，∴所求双曲线方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.(2)椭圆3x2＋13y2＝39可化为eq\f(x2,13)＋eq\f(y2,3)＝1，其焦点坐标为(±eq\r(10)，0)，∴所求双曲线的焦点为(±eq\r(10)，0)，设双曲线方程为：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)∵双曲线的渐近线为y＝±eq\f(1,2)x，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(a2－c2,a2)＝eq\f(a2－10,a2)＝eq\f(1,4)，∴a2＝eq\f(40,3)，b2＝eq\f(10,3)，即所求的双曲线方程为：eq\f(3x2,40)＋eq\f(3y2,10)＝1.18．(本题满分12分)方程x2sinα－y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，求α的取值范围．[分析]根据焦点在y轴上的椭圆的标准方程的特点，先将方程化为标准式，得到关于α的关系式，再求α的取值范围．[解析]∵x2sinα－y2cosα＝1，∴eq\f(x2,\f(1,sinα))＋eq\f(y2,－\f(1,cosα))＝1.又∵此方程表示焦点在y轴上的椭圆，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,sinα)>0,－\f(1,cosα)>0,\f(1,sinα)<－\f(1,cosα)))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα>0,0<－cosα<sinα))，∴2kπ＋eq\f(π,2)<α<2kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)．故所求α的范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,4)))(k∈Z)．19．(本题满分12分)已知直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，且AB的中点的横坐标为2，求弦AB的长．[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2,y2＝8x))得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0 ①∵k≠0，∴x1＋x2＝eq\f(4k＋8,k2)，又∵x1＋x2＝4，∴eq\f(4k＋8,k2)＝4，解得k＝－1或k＝2，当k＝－1时，①中Δ＝0，直线与抛物线相切．当k＝2时，x1＋x2＝4，x1x2＝1，|AB|＝eq\r(1＋4)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(5)·eq\r(16－4)＝2eq\r(15)，∴弦AB的长为2eq\r(15).20．(本题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其准线过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点；又抛物线与双曲线的一个交点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\r(6)))，求抛物线和双曲线的方程．[解析]∵抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个交点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\r(6)))，∴设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，将点M坐标代入得p＝2，∴y2＝4x，其准线为x＝－1，∵抛物线的准线过双曲线的一个焦点，∴双曲线的焦点为(±1,0)，∵点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\r(6)))在双曲线上，∴a2＝eq\f(1,4)，b2＝eq\f(3,4)，双曲线的方程为4x2－eq\f(4y2,3)＝1.21．(本题满分12分)已知动圆M与⊙O1：x2＋(y－1)2＝1和⊙O2：x2＋(y＋1)2＝4都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．[解析]设动圆圆心M的坐标为(x，y)，半径为r，由题意得|MO1|＝1＋r，|MO2|＝2＋r，∴|MO2|－|MO1|＝2＋r－1－r＝1<|O1O2|＝2，由双曲线定义知，动圆圆心M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为1的双曲线的上支(位于两圆外部的部分)，故M的轨迹方程为：4y2－eq\f(4,3)x2＝1.(y>eq\f(3,4))22．(本题满分14分)设双曲线C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B，求双曲线C的离心率的取值范围．[解析]由C与l相交于两个不同点，故知方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－y2＝1，,x＋y＝1))有两组不同的实根，消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0. ①所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2≠0，,4a4＋8a21－a2>0，))解得0<a<eq\r(2)，且a≠1.双曲线的离心率e＝eq\f(\r(1＋a2),a)＝eq\r(\f(1,a2)＋1)，因为0<a<eq\r(2)且a≠1.所以e>eq\f(\r(6),2)，且e≠eq\r(2).即离心率e的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(2)))∪(eq\r(2)，＋∞)．

1．若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的交点个数为()A．至多一个 B．2C．1 D．0[答案]B[解析]∵直线与圆无交点，∴eq\f(4,\r(m2＋n2))>2，∴m2＋n2<4，∴点P在⊙O内部，又⊙O在椭圆内部，∴点P在椭圆内部，∴过点P的直线与椭圆有两个交点．2．(2011·辽宁文，7)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()\f(3,4) B．1\f(5,4) \f(7,4)[答案]C[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＋|BF|＝3得，x1＋x2＋eq\f(1,2)＝3，∴x1＋x2＝eq\f(5,2)，∴线段AB的中点到y轴的距离为eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(5,4).3．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的的斜率为eq\f(\r(2),2)，则eq\f(m,n)的值是()\f(\r(2),2) \f(2\r(3),3)\f(9\r(2),2) \f(2\r(3),27)[答案]A4．若方程eq\f(x2,a)－eq\f(y2,b)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则下列关系成立的是()\r(－b)>eq\r(a) \r(－b)<eq\r(a)\r(b)>eq\r(－a) \r(b)<eq\r(－a)[答案]A[解析]方程eq\f(x2,a)－eq\f(y2,b)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴b<0，∴eq\r(－b)>eq\r(a).5．椭圆a2x2－eq\f(a,2)y2＝1的一个焦点是(－2,0)，则a等于()\f(1－\r(3),4) \f(1－\r(5),4)\f(－1±\r(3),4) \f(－1±\r(5),4)[答案]B[解析]椭圆a2x2－eq\f(a,2)y2＝1可化为eq\f(x2,\f(1,a2))＋eq\f(y2,－\f(2,a))＝1，∴a<0，排除C、D.当a＝eq\f(1－\r(5),4)时，eq\f(1,a2)＝6＋2eq\r(5)，－eq\f(2,a)＝2(eq\r(5)＋1)，∴6＋2eq\r(5)－2eq\r(5)－2＝4，∴一个焦点是(－2,0)．6．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()A．－eq\f(1,4) B．－4C．4 \f(1,4)[答案]A[解析]双曲线mx2＋y2＝1的方程可化为：y2－eq\f(x2,－\f(1,m))＝1，∴a2＝1，b2＝－eq\f(1,m)，∵2b＝4a，∴2eq\r(－\f(1,m))＝4，∴m＝－eq\f(1,4).7．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是()A．[6,10] B．[6,8]C．[8,10] D．[16,20][答案]C[解析]由题意知a＝10，b＝8，设椭圆上的点M(x0，y0)，由椭圆的范围知，|x0|≤a＝10，|y0|≤b＝8，点M到椭圆中心的距离d＝eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0))，又因为eq\f(x\o\al(2,0),100)＋eq\f(y\o\al(2,0),64)＝1，所以yeq\o\al(2,0)＝64eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),100)))＝64－eq\f(16,25)xeq\o\al(2,0)，则d＝eq\r(x\o\al(2,0)＋64－\f(16,25)x\o\al(2,0))＝eq\r(\f(9,25)x\o\al(2,0)＋64)，因为0≤xeq\o\al(2,0)≤100，所以64≤eq\f(9,25)xeq\o\al(2,0)＋64≤100，所以8≤d≤10.故选C.8．双曲线与椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,64)＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝－x，则双曲线方程为()A．x2－y2＝96 B．y2－x2＝160C．x2－y2＝80 D．y2－x2＝24[答案]D[解析]∵椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,64)＝1的焦点(0，±4eq\r(3))为双曲线焦点，又它的一条渐近线为y＝－x，∴双曲线方程为y2－x2＝24.9．过点C(4,0)的直线与双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是()A．|k|≥1 B．|k|>eq\r(3)C．|k|≤eq\r(3) D．|k|<1[答案]B[解析]如图所示，l1平行于y＝eq\r(3)x，l2平行于y＝－eq\r(3)x，由图可看出，当过C由l1位置逆时针方向转到l2位置之间的直线与双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的右支都有两个交点，此时k>eq\r(3)或k<－eq\r(3).

10．(2010·山东文)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－2[答案]B[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点(eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(y1＋y2,2))，∴eq\f(y1＋y2,2)＝2，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝2px1①,y\o\al(2,2)＝2px2②))①－②得yeq\o\al(2,1)－y