2019版高考数学一轮复习第三章导数其应用课时达标检测(十六)导数与函数综合问题文

课时达标检测（十六）导数与函数的综合问题[一般难度题——全员必做]1．(2017·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x2)ex.议论f(x)的单一性；当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝(1－2x－x2)ex.令f′( )＝0，得x＝－1－2或x＝－1＋2.x当x∈(－∞，－1－2)时，f′(x)＜0；当x∈(－1－2，－1＋2)时，′( )＞0；fx当x∈(－1＋2，＋∞)时，f′(x)＜0.所以f(x)在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)上单一递减，在(－1－2，－1＋2)上单一递加．(2)f(x)＝(1＋x)(1－x)ex.①当≥1时，设函数()＝(1－)ex，则′( )＝－ex＜0(x＞0)．ahxxhxx所以h(x)在[0，＋∞)上单一递减，又h(0)＝1，故h(x)≤1，所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.x②当0＜a＜1时，设函数g(x)＝e－x－1，x则g′(x)＝e－1＞0(x＞0)，所以g(x)在[0，＋∞)上单一递加，而g(0)＝0，故ex≥x＋1.当0＜x＜1时，f(x)＞(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，5－4－1取x0＝，2则x0∈(0,1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，故f(x0)＞ax0＋1.当a≤0时，取x0＝5－1，2则x0∈(0,1)，f(x0)＞(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1.综上，a的取值范围是[1，＋∞)．2．(2018·沈阳监测)已知函数f(x)＝alnx(a>0)，e为自然对数的底数．(1)若过点A(2，f(2))的切线斜率为2，务实数a的值；11(2)当x>0时，求证f(x)≥a1－x；x1(3)若在区间(1，e)上ea－eax<0恒建立，务实数a的取值范围．a解：(1)由题意得f′(x)＝x，af′(2)＝＝2，∴a＝4.21(2)证明：令g(x)＝alnx－1＋x(x>0)，1则g′(x)＝ax－x2.1令g′(x)>0，即ax－x2>0，解得x>1，令g′(x)<0，解得0<x<1；∴g(x)在(0,1)上单一递减，在(1，＋∞)上单一递加．∴g(x)的最小值为g(1)＝0，∴f(x)≥a11－x.x1x－1(3)由题意可知ea<eax，化简得x，a<lnx－1又x∈(1，e)，∴a>lnx.1x－1lnx－1＋x令h(x)＝lnx，则h′(x)＝x2，1由(2)知，当x∈(1，e)时，lnx－1＋x>0，h′(x)>0，即h(x)在(1，e)上单一递加，h(x)<h(e)＝e－1.∴a≥e－1.故实数a的取值范围为[e－1，＋∞)．13．(2018·海南校级联考)已知函数f(x)＝x＋klnx，k≠0.当k＝2时，求函数f(x)的图象的切线斜率中的最大值；(2)若对于x的方程f(x)＝k有解，务实数k的取值范围．1解：(1)函数f(x)＝x＋klnx的定义域为(0，＋∞)，k′(x)＝－x2＋x(x>0)．21212当k＝2时，f′(x)＝－x2＋x＝－x－1＋1≤1，当且仅当x＝1时，等号建立．所以函数f(x)的图象的切线斜率中的最大值为1.1(2)因为对于x的方程f(x)＝k有解，令g(x)＝f(x)－k＝x＋klnx－k，则问题等价于kkx－1函数g(x)存在零点．g′(x)＝－x2＋x＝x2.当k<0时，g′(x)<0在(0，＋∞)上恒建立，111所以函数g(x)在(0，＋∞)上单一递减．因为g(1)＝1－k>0，g(e1－k)＝1＋k1－k－e1－k111k＝1－1<e－1<0，所以函数g(x)存在零点．当k>0时，令g′(x)＝0，得x＝k.g′(x)，e1－kg(x)随x的变化状况以下表：x1110，kkk，＋∞′( )－0＋gxg(x)极小值111所以gk＝k－k＋klnk＝－klnk为函数g(x)的最小值，当gk>0，即0<k<1时，函11数g(x)没有零点，当gk≤0，即k≥1时，注意到g(e)＝e＋k－k>0，所以函数g(x)存在零点．综上，当k<0或k≥1时，对于x的方程f(x)＝k有解．[中档难度题——学优生做]1．设函数f(x)＝alnx＋1－ax2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜2率为0.(1)求b；a若存在x0≥1，使得f(x0)<a－1，求a的取值范围．a解：(1)f′(x)＝x＋(1－a)x－b.由题设知f′(1)＝0，解得b＝1.1－a2(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f(x)＝alnx＋2x－x，3a1－aaf′(x)＝x＋(1－a)x－1＝x(x－1－a)(x－1)．1a①若a≤2，则1－a≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)单一递加．aa1－aa所以，存在x0≥1，使得f(x0)<a－1的充要条件为f(1)<a－1，即2－1<a－1，解得2－1<a<2－1.②若1<a<1，则a>1，故当x∈1，a时，f′(x)<0；当x∈a时，21－a1－a，＋∞1－af′(x)>0.f(x)在1，aa1－a单一递减，在1－a，＋∞单一递加．所以，存在0≥1，使得(0)<a的充要条件为aaxfxf1－a<.a－1a－1aaa2aa而f1－a＝aln1－a＋－a＋a－1>a－1，所以不合题意．③若>1，则f1－a－a－1a(1)＝－1＝<.a22a－1综上，a的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．2．(2017·广西陆川二模)已知函数f(x)＝lnx－mx＋m.求函数f(x)的单一区间；(2)若f(x)≤0在(0，＋∞)上恒建立，务实数m的取值范围；(3)在(2)的条件下，对随意的fb－fa<1.0<a<b，求证：－＋baaa1－mx解：(1)f′(x)＝x－m＝x，x∈(0，＋∞)，当m≤0时，f′(x)>0恒建立，则函数f(x)在(0，＋∞)上单一递加，无单一递减区间；1－mx1当m>0时，由f′(x)＝x>0，得x∈0，m，由f′(x)＝1－mx1x，＋∞，<0，得x∈m此时f(x)的单一递加区间为0，11.m，单一递减区间为，＋∞m综上，当m≤0时，函数f(x)的单一递加区间是(0，＋∞)，无单一递减区间；当>0时，函数f(x)的单一递加区间是0，1，单一递减区间是1，＋∞.mmm(2)由(1)知：当m≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单一递加，f(1)＝0，明显不切合题意；4当m>0时，f(x)max＝f1＝ln1m－1，m－1＋m＝m－lnm只要m－lnm－1≤0即可．x－1令g(x)＝x－lnx－1，则g′(x)＝1－x＝x，x∈(0，＋∞)，g(x)在(0,1)上单一递减，在(1，＋∞)上单一递加．g(x)min＝g(1)＝0.g(x)≥0对x∈(0，＋∞)恒建立，也就是m－lnm－1≥0对m∈(0，＋∞)恒建立，由m－lnm－1＝0，解得m＝1.∴若f(x)≤0在(0，＋∞)上恒建立，则m＝1.－－＋－－lnbfbfaalnblna1lnblnaba(3)证明：b－a＝b－a＝b－a－1＝b·a－1.a－1由(2)得f(x)≤0在(0，＋∞)上恒建立，即lnx≤x－1，当且仅当x＝1时取等号．lnb又由0<<bbba得>1，∴0<ln<－1，即<1.abaaaba－1blna11则b·a－1<a－1＝a－1

1－a1－a2<a1.a＝a＋a＋a[较高难度题——学霸做]1．(2017·天津高考)设a，b∈R，|a|≤1.已知函数f(x)＝x3－6x2－3a(a－4)x＋b，g(x)exf(x)．求f(x)的单一区间；已知函数y＝g(x)和y＝ex的图象在公共点(x0，y0)处有同样的切线，①求证：f(x)在x＝x0处的导数等于0；x－1，x0＋1]上恒建立，求b的取值范围．②若对于x的不等式g(x)≤e在区间[x0解：(1)由f(x)＝x3－6x2－3a(a－4)x＋b，可得f′(x)＝3x2－12x－3a(a－4)＝3(x－a)[x－(4－a)]．令f′(x)＝0，解得x＝a，或x＝4－a.由|a|≤1，得a＜4－a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状况以下表：x(－∞，a)(a,4－a)(4－a，＋∞)5f′(x)＋－＋(x)所以f(x)的单一递加区间为(－∞，a)，(4－a，＋∞)，单一递减区间为(a,4－a)．x①证明：因为g′(x)＝e[f(x)＋f′(x)]，gx0＝ex0，由题意知gx0＝ex0，fx0x0＝ex0，所以ex[fx0＋fx0＝ex，00fx0＝1，解得x0＝0.所以f(x)在x＝x0处的导数等于0.x②因为g(x)≤e，x∈[x0－1，x0＋1]，由ex＞0，可得f(x)≤1.又因为f(x0)＝1，f′(x0)＝0，所以x0为f(x)的极大值点，联合(1)知x0＝a.另一方面，因为|a|≤1，故a＋1＜4－a，由(1)知f(x)在(a－1，a)内单一递加，在(a，a＋1)内单一递减，故当x0＝a时，f(x)≤f(a)＝1在[a－1，a＋1]上恒建立，进而xg(x)≤e在[x0－1，x01]上恒建立．由f(a)＝a3－6a2－3a(a－4)a＋b＝1，得b＝2a3－6a2＋1，－1≤a≤1.令t(x)＝2x3－6x2＋1，x∈[－1,1]，所以t′(x)＝6x2－12x，令t′(x)＝0，解得x＝2(舍去)或x＝0.因为t(－1)＝－7，t(1)＝－3，t(0)＝1，所以t(x)的值域为[－7,1]．所以b的取值范围是[－7,1]．2．(2016·四川高考)设函数()＝2－－ln，(1e∈R，e＝2.718fxaxx)＝－x，此中axgxea为自然对数的底数．议论f(x)的单一性；证明：当x＞1时，g(x)＞0；(3)确立a的全部可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间(1，＋∞)内恒建立．612ax2－1解：(1)由题意得f′(x)＝2ax－x＝x(x＞0)．当a≤0时，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)内单一递减．1当a＞0时，由f′(x)＝0得，x＝，2a当x∈当x∈

10，2a时，f′(x)＜0，f(x)单一递减；1，＋∞时，f′(x)＞0，f(x)单一递加．2a(2)证明：令sx－1x－1(x)＝e－x，则s′(x)＝e－1.当x＞1时，s′(x)＞0，所以ex－1＞x，11进而g(x)＝x－ex－1＞0.(3)由(2)知，当x＞1时，g(x)＞0.当a≤0，x＞1时，f(x)＝a(x2－1)－lnx＜0.故当f(x)＞()在区间(1，＋∞)内恒建即刻，必有a＞0.g