2019数学新设计北师大选修21精练第三章圆锥曲线与方程习题课3含答案

习题课——直线与圆锥曲线的综合问题课后训练案稳固提高组1.直线y=+b交抛物线y=2于A,B两点,O为抛物线极点,OA⊥OB,则b的值为( )A.-1B.0C.1D.2分析;设A(1,y1),B(2,y2),将y=+b代入y=2,化简可得2-2-2b=0,故1+2=2,12=-2b,所以y1y2=12+b(1+2)+b2=b2.又OA⊥OB,所以12+y1y2=0,即-2b+b2=0,则b=2或b=0,经查验b=0时,不知足OA⊥OB,故b=2.答案;D2.(2016·全国丙高考)已知O为坐标原点,F是椭圆C;=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右极点,P为C上一点,且PF⊥轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )A.B.C.D.分析;由题意,不如设直线l的方程为y=(+a),>0,分别令=-c与=0,得|FM|=(a-c),|OE|=a.设OE的中点为G,由△OBG∽△FBM,得,即,整理,得,故椭圆的离心率e=,应选A.答案;A-1-3.已知双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线均和圆C;2+y2-6+8=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为( )A.=1B.=1C.-y2=1D.2-=1分析;圆C;2+y2-6+8=0可化为(-3)2+y2=1,∴圆心为(3,0),半径为1.双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±.∵双曲线的渐近线与圆C相切,∴=1.又双曲线的右焦点为圆C的圆心,∴c=3.联合c2=a2+b2解得b=1,a=2.∴双曲线的方程为-y2=1.应选C.答案;C4已知双曲线=1(0,0)与直线y=2有交点,则双曲线的离心率的取值范围是( ).a>b>A.(1,)B.(1,)∪(,+∞)C.(,+∞)D.[,+∞)分析;直线y=2必过原点,要使直线与双曲线有交点,则双曲线渐近线的斜率||>2,即>2,则有>4,所以e2=>5,所以e>.应选C.答案;C5.若过椭圆=1内一点(2,1)的弦被该点均分,则该弦所在直线的方程是.-2-分析;设弦两头点分别为A(1,y1),B(2,y2),则=1,=1,两式相减并把1+2=4,y1+y2=2代入得,=-.∴所求直线的方程为y-1=-(-2),即+2y-4=0.答案;+2y-4=06.过原点的直线l与双曲线C;=1(a>0,b>0)的左、右两支分别订交于A,B两点,F(-,0)是双曲线C的左焦点,若|FA|+|FB|=4,=0,则双曲线C的方程为.分析;∵,∴FA⊥FB,∴△AFB为直角三角形.∵过原点的直线l与双曲线C;=1(a>0,b>0)的左、右两支分别订交于A,B两点,F(-,0)是双曲线C的左焦点,∴|AB|=2.设|FB|=,则|FA|=4-,2+(4-)2=12,∴2-4+2=0,∴=2±,∴|FB|=2+,|FA|=2-,∴2a=|FB|-|FA|=2,∴a=,∴b=1,∴双曲线C的方程为-y2=1.答案;-y2=17.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4的焦点,A为抛物线上一点,且=-4,则点A的坐标为.分析;设A,则,∵F(1,0),∴.∴=-=-4.-3-整理得,+12-64=0,∴=4,即y0=±2.∴点A坐标为(1,±2).答案;(1,±2)8.焦点分别为(0,5)和(0,-5)的椭圆截直线y=3-2所得弦的中点的横坐标为,求此椭圆的方程.解设椭圆的方程为=1(a>b>0),且a2-b2=(5)2=50,①由消去y,得(a2+9b2)2-12b2+4b2-a2b2=0.设弦两头点的横坐标分别为1,2,则1+2=.∵,∴,即a2=3b2,②此时>0.由①②得a2=75,b2=25,∴椭圆的方程为=1.9.抛物线y2=上存在P,Q两点对于直线y-1=(-1)对称,求的取值范围.解设P(1,y1),Q(2,y2),∴-②,得(y1-y2)(y1+y2)=1-2,∴∴y1+y2=-.-1=[(y1+y2)2-2y1y2-2].--2=[2-2y1(--y1)-2],∴2+22y1+3-+2=0,-4-=44-8(3-+2)>0,(-3+2-4)>0,∴(3-2+4)<0,(+2)(2-2+2)<0,∴∈(-2,0).10.导学号90074086如图,已知抛物线C的极点为O(0,0),焦点为F(0,1).(1)求抛物线C的方程;(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点.若直线AO,BO分别交直线l;y=-2于M,N两点,求|MN|的最小值.解(1)由题意可设抛物线C的方程为22(0),则=1,所以抛物线C的方程为24=pyp>=y.(2)设A(1,y1),B(2,y2),直线AB的方程为y=+1.由消去y,整理得2-4-4=0,所以1+2=4,12=-4.进而|1-2|=4.由解得点M的横坐标M=.同理,点N的横坐标N=.所以|MN|=|M-N|==8.令4-3=t,t≠0,则=.当t>0时,|MN|=2>2.当t<0时,2.|MN|=综上所述,当t=-,即=-时,|MN|的最小值是.-5-B组1.等腰直角三角形ABO内接于抛物线y2=2p(p>0),O为抛物线的极点,OA⊥OB,点A在轴上方,则△ABO的面积是()A.8p2B.4p2C.2p2D.p2分析;由抛物线的对称性及OA⊥OB知直线OA的方程为y=,由得A(2p,2p),则B(2p,-2p),所以|AB|=4p,所以S△ABO=×4p×2p=4p2.应选B.答案;B2.抛物线y=22上两点A(1,y1),B(2,y2)对于直线y=+m对称,且1·2=-,则m等于( )A.B.2C.D.3分析;依题意知AB==-1,而y2-y1=2( ),∴2+1=-,且在直线y=+m上,即+m,y2+y1=2+1+2m,∴2( )=2+1+2m,2[(2+1)2-221]=2+1+2m,∴2m=3,m=.答案;A3.已知两直线=±1分别过椭圆=1的两个焦点,则直线y=+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是.分析;由题意知椭圆的焦点坐标为(±,0),∵两直线=±1分别经过椭圆的两个焦点,∴4-b2=1,23椭圆方程为1直线y=+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是将直线方程与椭∴b=.∴=.-6-圆方程联立后,所得一元二次方程的鉴别式Δ≤0,即方程(42+3)2+16+4=0的鉴别式1622-16(42+3)≤0,即2≤,∴-≤≤.答案;-≤≤4.设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,若P是该椭圆上的一个动点,则的最大值和最小值分别为.分析;易知a=2,b=1,c=,所以F1(-,0),F2(,0),设P(,y),则=(--,-y)·(-,-y)=2+y2-3=2+1--3=(32-8),因为∈[-2,2],故当=0,即点P为椭圆的短轴端点时,有最小值-2.当=±2,即点P为椭圆的长轴端点时,有最大值1.答案;1,-25已知是双曲线;2-=1的右焦点,是C的左支上一点,(0,6)当△APF周长最小时,该三角.FCPA.形的面积为.分析;设双曲线的左焦点为F1,如图.由双曲线的定义知|PF|=2a+|PF1|,∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+(2a+|PF1|)+|AF|=|PA|+|PF1|+(2a+|AF|).因为2a+|AF|是定值,要使△APF的周长最小,则应使|PA|+|PF1|最小,即P,A,F1三点共线.∵A(0,6),F1(-3,0),∴直线AF1的方程为=1,即=-3.将其代入2-=1得26960,y+y-=解得y=2或y=-8(舍去),-7-所以点P的纵坐标为2.∴S△APF==·|F1F|·yA-·|F1F|·yP=×6×6×6×2=12.答案;126.已知椭圆+y2=1,求斜率为2的弦的中点轨迹方程.解设直线与椭圆订交所得弦为AB,A(1,y1),B(2,y2),弦的中点为M(,y),则两式相减,得(1-2)(1+2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0.所以=-=-=2,所以+4y=0,由题意知点M(,y)落在椭圆内部,则有+y2<1,即<1,解得-<<,所以所求的轨迹方程为+4y=0.7.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P知足条件|PM|-|PN|=2.记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)若,是W上的不一样两点,是坐标原点,求的最小值.ABO解(1)依题意,知点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,所以所求方程为=1(>0).(2)当直线AB的斜率不存在时,-8-设直线AB的方程为=0,此时A(0,),B(0,-),=2.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=+b,代入双曲线方程=1中,得(1-2)2-2b-b2-2=0,①依题意可知方程①有两个不相等的正数根,设A(1,y1),B(2,y2),则得||>1,12+y1y2=12+(1+b)(2+b)(1+2)12+b(1+2)+b2==2+>2.综上可知的最小值为2.8.导学号90074087已知点A(1,y1),B(2,y2)(12≠0)是抛物线y2=2p(p>0)上的两个动点,O是坐标原点,向量知足||=||.设圆C的方程为2+y2-(1+2)-(y1+y2)y=0.(1)求证线段AB是圆C的直径;(2)当圆C的圆心到直线-2y=0的距离的最小值为时,求p的值.(1)证明因为||=||,所以()2=()2,即+2-2,整理,得=0,所以0①12+y1y2=.设M(,y)是以线段AB为直径的圆上的随意一点,则=0,即(-1)(-2)+(y-y1)(y-y2)=0.-9-睁开上式并将①式代入,得2+y2-(1+2)-(y1+y2)y=0.进而可知线段A