第二时间序列分析的基本概念演示文稿

第二时间序列分析的基本概念演示文稿当前1页，总共76页。优选第二时间序列分析的基本概念当前2页，总共76页。1.引：事物的变化过程可分为两类：对于每一个固定的时刻t，变化的结果，一类是确定的，这个结果可用t的某个确定性函数来描述；另一类结果是随机的，即以某种可能性出现多个（有限多个或无限多个）结果之一。一、随机过程下一页返回本节首页上一页当前3页，总共76页。2.定义：设E是随机试验，S是它的样本空间，如果对于每一个e，我们总可以依某种规则确定一时间t的函数与之对应（T是时间t的变化范围），于是，对于所有的的e来说，就得到这族时间t的函数为随机过程，而族中每一个函数为这个随机过程的样本函数（或一次实现）。《随机过程导论》周萌清当前4页，总共76页。该定义蕴涵的四种情况：

1、当e和t都是变量时，x(t)是一族时间的函数，它表示一个随机过程；2、当e给定，t为变量时，x(t)是一个时间t的函数，称它为样本函数，有时也称为一次实现。3、当t给定，e为变量时，x(t)是一个随机变量。4、当e、t均给定时，x(t)是一个标量或者矢量。X(t)t当前5页，总共76页。《经济时间序列》王耀东当前6页，总共76页。我们所要讨论的时间序列分析，只是对平稳序序列及其有关的随机序列进行统计分析，而不是对所有的随机序列进行统计分析。此类随机过程又称随机序列（randomsequence)或时间序列（timeseries)。对于一个连续时间的随机过程，通过等间隔采样，也是一个随机序列。当前7页，总共76页。区别：1、随机变量是定义在样本空间上的一个单值实函数，随机过程是一族时间t的函数。2、对应于一定随机试验和样本空间的随机变量与时间t无关，而随机过程与时间密切相关。3、随机变量描述事物在某一特定时点上的静态，随机过程描述事物发展变化的动态。二、随机过程与随机变量之间的关系下一页返回本节首页上一页当前8页，总共76页。联系：1、随机过程具有随机变量的特性，同时还具有普通函数的特性。2、随机变量是随机过程的特例。一元随机变量可视为参数集为单元素集的随机过程。3、当随机过程固定某一个时刻时，就得到一个随机变量。4、随机过程是N维随机向量、随机变量列的一般化，它是随机变量X(t)的集当前9页，总共76页。第二节平稳时间序列一、两种不同的平稳性定义二、时间序列的分布、均值和协方差函数三、平稳序列的自协方差和自相关函数四、白噪声序列和独立同分布序列五、独立增量随机过程、二阶矩过程六、线性平稳序列七、偏自相关函数下一页返回本节首页上一页当前10页，总共76页。一、两种不同的平稳性定义1.严平稳过程：若对于时间t的任意n个值t1<t2<…<tn，此序列中的随机变量Xt1+s,Xt2+s,…,Xtn+s联合分布与整数s无关，即有：Ft1,t2,…tn(Xt1,Xt2…,Xtn)=Ft1+s,t2+s…+tn+s(Xt1+s,Xt2+s,…,Xtn+s)则称{Xt}为严平稳过程。有些参考书也称为狭义平稳或强平稳过程。下一页返回本节首页上一页当前11页，总共76页。此定义表明，严平稳的概率分布与时间的平移无关。一般来说，若所研究的随机过程，前后的环境和主要条件都不随时间变化，就可以认为它是平稳随机过程。平稳随机过程的一维概率密度函数与时间无关。二维概率密度函数只与时间间隔S有关，而与时间的起点和终点无关。当前12页，总共76页。2.宽平稳过程：若时间序列有有穷的二阶矩，且Xt满足如下两个条件：则称该时间序列为宽平稳过程。此定义表明，宽平稳过程各随机变量的均值为常数，且任意两个变量的协方差仅与时间间隔(t-s)有关。（宽平稳过程只涉及一阶和二阶矩）当前13页，总共76页。3.严平稳过程和宽平稳过程的联系和区别区别：（1）严平稳的概率分布随时间的平移而不变，宽平稳序列的均值和自协方差随时间的平移而不变。（2）一个严平稳序列，不一定是宽平稳序列；一个宽平稳序列也不一定是严平稳序列。当前14页，总共76页。联系：（1）若一个序列为严平稳序列，且有有穷的二阶矩，那么该序列也必为宽平稳序列。（2）若时间序列为正态序列（即它的任何有限维分布都是正态分布），那么该序列为严平稳序列和宽平稳序列是相互等价的。当前15页，总共76页。注：由于在实际中严平稳序列的条件非常难以满足，我们研究的通常是宽平稳序列，在以后讨论中，若不作特别说明，平稳序列即指宽平稳序列。当前16页，总共76页。例1、设随机过程X（t）=At，A为均匀分布于[0，1]上的随机变量。试问X（t）是否平稳？例2、设随机过程Z（t）=Xcost+Ysint,

其中X，Y为相互独立的随机变量，且分别以概率2/3、1/3取值-1和2。试讨论随机过程Z（t）的平稳性。当前17页，总共76页。二、时间序列的分布、均值和协方差函数1.时间序列的概率分布随机过程是一族随机变量，类似于随机变量，可以定义随机过程的概率分布函数和概率密度函数。它们都是两个变量t,x的函数。下一页返回本节首页上一页当前18页，总共76页。如：时间序列的所有一维分布是：若给定时刻ti，随机过程就是一维随机变量X（ti)。事件x(ti)<=x的概率为F-1(X-1)，F-2(X-2)，F0(X0)，F1(X1)，F2(X2)……其中Fi(Xi)表示Xi的分布函数。对其关于x求偏导，即X（t）的一维概率密度函数f(x,ti).时间序列的所有二维分布是：Fij(Xi,Xj)，i,j=0,±1,±2,±3……其中Fij(Xi,Xj)是二元随机变量(Xi,Xj)的联合概率分布。……

……当前19页，总共76页。如果我们能确定出时间序列的概率分布，我们就可以对时间序列构造模型，并描述时间序列的全部随机特征，但由于确定时间序列的分布函数一般不可能，人们更加注意使用时间序列的各种特征量的描述，如均值函数、协方差函数、自相关函数、偏自相关函数等，这些特征量往往能代表随机变量的主要特征。当前20页，总共76页。2.均值函数一个时间序列{Xt，t=0,±1,±2……}的均值函数指：即为{Xt}的均值函数。它实质上是一个实数列，被{Xt}的一维分布族所决定。均值u(t)表示随机过程在各个时刻的摆动中心。当前21页，总共76页。3.时间序列的自协方差函数由此可见，时间序列的自协方差函数是随机变量间协方差推广差时间序列自协方差函数具有对称性：当前22页，总共76页。4.时间序列的自相关函数自相关函数描述了时间序列的{Xt}自身的相关结构。时间序列的自相关函数具有对称性，且有当前23页，总共76页。三、平稳序列的自协方差和自相关函数1.平稳序列的自协方差函数和自相关函数若{Xt}为平稳序列，假定EXt=0，由于令s=t-k，于是我们就可以用以下记号表示平稳序列的自协方差函数，即：下一页返回本节首页上一页当前24页，总共76页。相应的，严平稳序列的自相关函数记为：当前25页，总共76页。2.平稳序列的自协方差序列和自相关函数列的性质当前26页，总共76页。四、白噪声序列和独立同分布序列1.白噪声（Whitenoise）序列定义：若时间序列{Xt}满足下列性质：则称此序列为白噪声序列。下一页返回本节首页上一页当前27页，总共76页。白噪声序列是一种特殊的宽平稳序列，也是一种最简单的平稳序列，它在时间序列分析中占有非常重要的地位。当前28页，总共76页。2.独立同分布（iid）序列定义：如果时间序列{Xt}中的随机变量Xt，t=0,±1,±2……是相互独立的随机变量，且Xt具有相同的分布（当Xt有一阶矩时，往往还假定EXt=0）,则称{Xt}为独立同分布序列。可见独立同分布序列{Xt}是一个严平稳序列。当前29页，总共76页。一般来说，白噪声序列与独立同分布序列是不同的两种序列，但是当白噪声序列为正态序列时，它也是独立同分布序列，此时我们称其为正态白噪声序列（NID）。当前30页，总共76页。-4-2024808284868890929496正态白噪声序列当前31页，总共76页。五、独立增量随机过程、二阶矩过程独立增量随机过程独立增量过程是物理上重要的马氏过程。随机过程X（t），t〉=0，用X（t1,t2)表示随机变量X(t2)-X(t1),并称为X（t）在（t1,t2)上的增量，如果对一切t1<t2<……<tn，增量是相互独立的，则称[X（t），t〉=0]是一个独立增量过程。马氏过程：从对过去记忆性角度来考虑的，简单的说，一阶马氏过程表示：将来时刻tn的状态xn的统计特性仅取决于现在时刻tn-1时刻的值xn-1。下一页返回本节首页上一页当前32页，总共76页。二阶矩过程定义：若一个随机过程X(t)，，如果对于一切,总有则称此过程为二阶矩过程。广义平稳过程是二阶矩过程中的一类。高斯过程也是二阶矩过程。高斯分布是指随机过程的各有限维分布都是高斯分布，高斯分布的各阶矩都存在，故也属于二阶矩过程。当前33页，总共76页。六、线性平稳序列1.时间序列的线性运算设{Xt}与{Yt}为两个时间序列，a，b为两个实数，那么，zt=axt+bytt=0,±1,±2……为序列{Xt}与{Yt}的一种线性运算。2.时间序列的迟运算设{Xt}为一时间序列，d为一正整数，那么，yt=xt-dt=0,±1,±2……为Xt的d步延迟运算。下一页返回本节首页上一页当前34页，总共76页。3.时间序列的线性与延迟联合运算yt=a0xt+a1xt-1+…+apXt-pt=0,1,2…为时间序列线性与延迟联合运算。当ai=1/p，i=0,1,2,…时，{Yt}即为对序列{Xt}的移动平均序列。4.时间序列的非线性运算非线性运算的形式是多种多样的：如yt=xt2+axt，yt=xt-1/(1+xt-2)2等。当前35页，总共76页。5.平稳线性序列设{at}为正态白噪声序列，则称序列：注：可以证明，{Xt}为一宽平稳序列。为线性平稳序列。当前36页，总共76页。七、偏自相关函数偏自相关函数：指扣除Xt和Xt+k之间的随机变量Xt+1,Xt+2,

…Xt+k-1等影响之后的Xt和Xt+k之间的相关性。偏自相关函数一般用表示。偏自相关其实就是如下的条件相关：cov(Xt,Xt+k|Xt+1,Xt+2…Xt+k-1)下一页返回本节首页上一页当前37页，总共76页。第三节随机过程的特征描述一、样本均值二、样本自协方差函数三、样本自相关函数（SACF）四、样本偏自相关函数下一页返回本节首页上一页当前38页，总共76页。一、样本均值对时间序列的一次样本实现，需要用样本均值代替总体均值可以证明，是的无偏、一致估计。下一页返回本节首页上一页当前39页，总共76页。对于时间序列的一次样本现，我们也需要通过样本自协方差函数估计总体自协方差函数。这里有两种形式：书P73二、样本自协方差函数下一页返回本节首页上一页当前40页，总共76页。通过证明有如下结论：上述样本自协方差函数都是总体自协方差函数的渐近无偏估计，且比的偏要大。但是，比的方差小，且在大样本情况下（n很大），二者差别不大，因此我们通常用作为样本自协方差函数。当前41页，总共76页。由于当k相对于n而言较大时，的偏比更大，因此，在时间序列分析时，一般滞后期k最多取至n/4当前42页，总共76页。三、样本自相关函数（SACF）1.对给定的序列x1,x2,…xn，样本自相关函数定义为：下一页返回本节首页上一页当前43页，总共76页。四、样本偏自相关函数（SPACF）P771.样本偏自相关函数有如下递推公式：下一页返回本节首页上一页当前44页，总共76页。例如，根据上述递推公式，我们有：当前45页，总共76页。在过程是一个白噪声序列的假设下，所以，能作为检验白噪声过程假设的准则区限。当前46页，总共76页。Tzt

zt+1Zt+2Zt+3……Zt-1Zt-211381528154133154481344412158541211415612117447117141248714121112914127111012147计算样本自相关函数（SACF）当前47页，总共76页。1.时间序列的平稳性检验对k的图称为样本自相关图，我们可以通过样本自相关函数判断时间序列是否为平稳序列。检验原理：如果一个时间序列为白噪声序列，那么近似地服从N(0,1/n)。于是根据正态分布的性质，对任一的95%的置信区间为：当前48页，总共76页。检验一：检验序列是否为平稳序列若在k>3时都落入置信区间，并逐渐趋于零，则该时间序列具有平稳性；若有更多的落在置信区间以外，则该时间序列不具有平稳性。Eviews3.1显示的自相关图（correlogram)中的两条虚线即为的95%置信区间。见图示当前49页，总共76页。检验二：检验序列是否为白噪声序列原假设：全部同时为0（k>1）检验统计量：Q统计量（Qstatistic）其中，n为样本容量，m为滞后长度。Q近似地服从。当前50页，总共76页。检验：对于给定的显著性水平，若则拒绝原假设，此时，序列不是白噪声序列；若，则不能拒绝原假设，此时不能拒绝序列为白噪声序列。当前51页，总共76页。在Eviews3.1显示的自相关图中，同时给出了Q统计量值和它的相伴概率（P值），若,则接受原假设，即可认为序列为白噪声序列；否则拒绝原假设。当前52页，总共76页。0100200300400500600700808284868890929496美国S&P500指数非平稳序列当前53页，总共76页。非平稳序列自相关图当前54页，总共76页。-4-2024808284868890929496平稳序列正态白噪声生成序列当前55页，总共76页。平稳序列自相关图当前56页，总共76页。第四节线性差分方程引：线性差分方程在我们讨论的时间序列分析中占有重要作用，事实上，我们后面将要建立的时间序列模型就是线性差分方程，这些模型的性质往往取决于差分方程根的性质。下一页返回本节首页上一页当前57页，总共76页。第四节线性差分方程一、线性差分方程二、关于线性差分方程基本定理三、n阶常系数线性差分方程的解下一页返回本节首页上一页当前58页，总共76页。一、线性差分方程1.n阶非齐次线性差分方程2.n阶齐次线性差分方程（1），（2）式中，ai(t)、f(t)为t的已知函数，且an(t)、f(t)不同时为零，若

ai(t)为常数，则上述两式即为常系数差分方程。下一页返回本节首页上一页当前59页，总共76页。二、关于线性差分方程基本定理定理1.若y1(t)，y2(t)，…ym(t)是n阶齐次线性差分方程（2）的m个特解，则如下的线性组合也是该差分方程的的特解：y(t)=c1y1(t)+c2y2(t)+…+cmym(t)式中c1、c2…cm为任意常数。下一页返回本节首页上一页当前60页，总共76页。定理2.n阶齐线性齐次差分方程一定存在n个线性无关的特解，若y1(t)，y2(t)，…yn(t)为式（2）的n个线性无关的特解，则（2）式的通解为：yc(t)=c1y1(t)+c2y2(t)+…+cnyn(t)