《线性代数》第二章 矩阵

线性代数矩阵第二章矩阵是一个重要的数学工具，不仅仅可以解线性方程组，其理论与方法还贯穿于线性代数的各个方面，且在数学的许多分支都有重要应用．本章将介绍矩阵的概念及其运算、逆矩阵、分块矩阵、矩阵的初等变换及相应的初等矩阵等有关理论．第二章２.1矩阵的概念一、引例引例某物流公司向三个超市配送四种商品，设

表示某物流公司向第

，个超市配送第

种商品的数量，发货方案见表2-1．第二章２.1矩阵的概念二、矩阵的概念定义１由

个数

排成的

行

列的矩形数表，称为

矩阵．矩阵通常用大写黑体英文字母表示，记作（１）也简记为

．其中

称为矩阵的第

行第

列的元素，简称为矩阵

的

元．为标明矩阵的行数

和列数

，矩阵

也记作或．如果矩阵

的元素是实数，则称

是实矩阵；如果矩阵

的元素是复数，则称

是复矩阵．第二章２.1矩阵的概念二、矩阵的概念元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作

或

．如果矩阵

只有一行，即

，则称为行矩阵，或称行向量．同样，如果矩阵只有一列，即，则称为列矩阵，或称列向量．第二章２.1矩阵的概念二、矩阵的概念若矩阵A、B，对应的行数相等，列数也相等，则称它们为同型矩阵。定义２若矩阵和矩阵为同型矩阵，且对应的元素相等，即，则称矩阵A与矩阵B相等，记作．注意矩阵和行列式是不同的两个概念，不要混淆了它们的实质及表现形式．第二章２.2矩阵的运算一、矩阵的加法和数与矩阵的乘积（简称数乘）１．矩阵的加（减）法定义１设矩阵，，则由它们的对应元素相加，所得到的矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和，记作，即注意只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算．第二章２.2矩阵的运算一、矩阵的加法和数与矩阵的乘积（简称数乘）１．矩阵的加（减）法定义２设矩阵，则定义矩阵犃的负矩阵为，即只需把矩阵犃的每个元素改变符号即可．于是矩阵的减法也可以看作矩阵加法的逆运算．，即矩阵减矩阵可以看作矩阵加上矩阵的负矩阵．第二章２.2矩阵的运算一、矩阵的加法和数与矩阵的乘积（简称数乘）１．矩阵的加（减）法矩阵的加法运算满足下列运算规律：设

，

，

都是同型矩阵，则有（１）交换律

；（２）结合律

；（３）

（其中

与

为同型矩阵）；（４）

．第二章２.2矩阵的运算一、矩阵的加法和数与矩阵的乘积（简称数乘）２．数与矩阵相乘定义３设

矩阵，以数乘矩阵的每一个元素所得到的矩阵，称为数乘矩阵，记作，即第二章２.2矩阵的运算二、矩阵的乘法定义４设矩阵，矩阵，定义与的乘积是一个矩阵，且的第行第列元素

．为了使读者看得更加清楚，我们进一步写出乘积矩阵的表达式：第二章２.2矩阵的运算二、矩阵的乘法这里强调三点：（１）只有当（左矩阵）的列数等于（右矩阵）的行数时，与才能相乘．（２）乘积矩阵的第行第列元素等于将左矩阵的第行元素与右矩阵第列元素对应相乘以后再求和．即（３）乘积矩阵是矩阵，行数等于左矩阵的行数，的列数等于右矩阵的列数．第二章２.2矩阵的运算三、矩阵的转置定义５设是矩阵，将的行与列依次互换，得到矩阵，则称此矩阵为的转置矩阵，记作或，即设第二章２.2矩阵的运算四、对称矩阵与反对称矩阵定义６若阶方阵与它的转置矩阵相等，即，则称为对称矩阵．由定义可知，对于对称矩阵有．反之亦然．若阶方阵与它的转置矩阵互为负矩阵，即，则称为反对称矩阵．由定义可知，对于反对称矩阵有．反之亦然．第二章２.2矩阵的运算五、方阵的行列式定义７由阶方阵的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵的行列式，记作或．注意方阵与方阵的行列式是两个不同的概念，前者是个数按一定次序排列的一张数表，而后者是个数按一定运算法则确定的一个数值．设，为阶方阵，为数，方阵的行列式满足下列规律：（１）；（２）；（３）．第二章２.3逆矩阵一、逆矩阵的概念定义１设为阶方阵，如果存在阶方阵，使得，则称方阵是可逆矩阵，称是的逆矩阵，也简称是的逆．如果矩阵是可逆的，那么的逆矩阵是唯一的．事实上，如若、都是的逆矩阵，则有．于是．由此说明的逆矩阵是唯一的．将可逆矩阵的逆矩阵记为．由定义可知，矩阵与其逆矩阵的地位是平等的，因此也可以称为可逆矩阵，称为的逆矩阵，即．第二章２.3逆矩阵二、用伴随矩阵求逆矩阵第二章２.3逆矩阵三、可逆矩阵的运算规律从逆矩阵的定义，可以得出可逆矩阵具有下列运算规律：（１）若矩阵可逆，则也可逆，且；（２）若矩阵可逆，数，则也可逆，且；（３）若阶矩阵与都可逆，则可逆，且，一般地，若都可逆，则可逆，且；（４）若矩阵可逆，则也可逆，且；（５）若矩阵可逆，则．第二章２.4分块矩阵一、分块矩阵的概念对于行数和列数较大的矩阵，为了简化矩阵的运算，运算时常对矩阵作适当的分块，使阶数较高矩阵的运算化为阶数较低矩阵的运算．所谓矩阵的分块，即是用若干条纵线和横线将矩阵分成许多小矩阵，每一小矩阵称为矩阵的子块，以子块作为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵．将矩阵化为分块矩阵往往会使矩阵的结构更加清晰，便于讨论及运算．第二章２.4分块矩阵二、分块矩阵的运算第二章２.4分块矩阵二、分块矩阵的运算第二章２.4分块矩阵二、分块矩阵的运算第二章２.4分块矩阵二、分块矩阵的运算第二章２.4分块矩阵二、分块矩阵的运算５．分块对角矩阵设方阵的分块矩阵其中主对角线上子块都是方阵，其余子块都是零矩阵，则称为分块对角矩阵．分块对角矩阵的行列式具有以下性质：．第二章２.4分块矩阵三、分块矩阵与线性方程组已知线性方程组记其中称为线性方程组的系数矩阵，称为未知数矩阵（或向量），称为常数项矩阵（或向量），称为增广矩阵．增广矩阵按分块矩阵的记法，可以写为

第二章２.4分块矩阵三、分块矩阵与线性方程组利用矩阵的乘法，此方程组可记为．（２）系数矩阵是矩阵，若按行分为块，每一行称为矩阵的行向量．若第行记作

，则矩阵可记为

则线性方程组可记为第二章２.4分块矩阵三、分块矩阵与线性方程组克拉默法则设含有个未知量的个线性方程的方程组如果线性方程组（５）的系数行列式那么方程组（５）存在唯一解第二章２.4分块矩阵三、分块矩阵与线性方程组其中是把系数行列式中第列元素用方程组右端的常数项列代替后所得到的阶行列式，即第二章２.5矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换定义１设，则称下面三种变换为矩阵的初等行变换：（i）对调变换：即对换两行（对换，两行，记作）；（ii）数乘变换：即以数（）乘某一行的所有元素（第行乘数，记作）；（iii）倍加变换：即把某一行所有元素的倍加到另一行对应元素上（第行的倍加到第行上，记作）．第二章２.5矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换定义２如果矩阵经过有限次初等行变换变成矩阵，就称矩阵与行等价；如果矩阵经过有限次初等列变换变成矩阵，就称矩阵与列等价；如果矩阵经过有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价，记作．矩阵之间的等价关系具有以下性质：（i）反身性；（ii）对称性若，则；（iii）传递性若，则．用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵与行最简形矩阵．第二章２.5矩阵的初等变换二、初等矩阵１．三种初等矩阵定义１对单位矩阵施以一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵．三种初等变换对应有三种初等矩阵．（１）第一种初等矩阵（对调两行或对调两列）（２）第二种初等矩阵（以数乘某行或某列）（３）第三种初等矩阵（以数乘某行（或列）加到另一行（或列）上去）第二章２.5矩阵的初等变换二、初等矩阵２．初等矩阵有关定理及应用定理１设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘相应的阶初等矩阵．定理２方阵可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵，使．推论１方阵可逆的充分必要条件是．推论２矩阵与等价的充分必要条件是存在犿阶可逆矩阵及阶可逆矩阵，使第二章２.6矩阵的秩一、矩阵秩的概念及有关定理定义１设是一个矩阵，在中任取行列，将位于这些行列交叉处的个元素，按照原来相