教学案例 初中数学典型化案例分析

第1学时横向数学化之方案设计示例一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进A型手机x部，B型手机y部．三款手机的进价和预售价如下表：手机型号A型B型C型进价（单位：元/部）90012001100预售价（单位：元/部）120016001300（1）用含x，y的式子表示购进C型手机的部数；（2）求出y与x之间的函数关系式；（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．①求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；（注：预估利润P＝预售总额-购机款-各种费用）②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．思路点拨题目中的‘问题串’为顺利解题提供了思路，‘借助表格’用含x，y的式子表示购进C型手机的部数是写y与x之间的函数关系式的基础。在问题（3）中需要同时关注三个不等关系。才能够把利润最大的方案设计出来。题目解答解：（1）60-x-y； （2）由题意，得900x+1200y+1100（60-x-y）=

61000，整理得y=2x-50．（3）①由题意，得P=1200x+1600y+1300（60-x-y）-

61000-1500，整理得P=500x+500． ②购进C型手机部数为：60-x-y

=110-3x．根据题意列不等式组，得解得29≤x≤34．∴

x ∵P是x的一次函数，k=500＞0，∴P随x的增大而增大．∴当x取最大值34时，P有最大值，最大值为17500元． 此时购进A型手机34部，B型手机18部，C型手机8部．小结方案设计来自于自变量的取值范围，而自变量的取值范围往往通过解不等式组获得。所以此类题是函数、方程、不等式（组）的综合题，综合性较强，难度较大，其中的问题1、2、3······所形成的‘问题串’往往是暗藏在题目中的解题思路，所以，要结合题目本身的‘问题串’，搞清楚问题的梯度与联系。在解决此类问题时，不仅要关注函数模型的建立，方程思想的应用，同时还要特别关注自变量的取值范围及函数的增减性。第2学时横向数学化之市场营销示例利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.

5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．思路点拨此题为顺利解题设计了‘问题串’，每个小问题就是一个台阶。问题（1）是具体的计算，计算当每吨售价是240元时的月销售量。问题（2）首先要用代数式表示每吨的利润：每吨的售价减去每吨支付厂家及其它费用100元，即；其次，要用代数式表示每月销售量：每月销售出去的吨数：，然后，利用数量关系：经销店的月利润＝每吨的利润每月销售出去的吨数，就能求出y与x的函数关系式。题目解答解：（1）=60（吨）．（2），化简得：．（3）．利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．（4）我认为，小静说的不对．理由：当月利润最大时，x为210元，而对于月销售额来说，当x为160元时，月销售额W最大．∴当x为210元时，月销售额W不是最大．∴小静说的不对．小结从市场营销的实际问题中提取出数学模型是解决问题的关键。如本题，当建立起函数关系式：和，问题（3）（4）就迎刃而解了，此题有鲜明的市场营销的特点，首先是揭示原销售价和原销售量之间关系的第一个‘每’；其次是揭示了‘销售量随销售价变化而变化’的内部规律的第二个‘每’。所以，应重点关注这两个‘每’字。另外，命题人为了降低难度而又不变题型，往往把问题做细，形成一个‘问题串’，给学生一个解决问题的阶梯，所以说，我们应该认识到‘问题多’仅仅是表面变得复杂，恰恰是‘问题多’才可以形成‘问题串’给我们解题思路。第3学时横向数学化之数学建模（1） 示例对于气温，有的地方用摄氏温度表示，有的地方用华氏温度表示，摄氏温度与华氏温度之间存在着某种函数关系，从温度计的刻度上可以看出，摄氏（℃）温度x与华氏（℉）温度y有如下的对应关系：············8668503214······y(℉)······3020100-10······x(℃）（1）通过：1）描点连线；2）猜测y与x之间的函数关系；3）求解；4）验证，试确定y与x之间的函数关系式。（2）某天，中国南昌的最高气温是8℃，澳大利亚的悉尼最高气温是91℉，问这一天悉尼的最高气温比南昌的最高气温高多少摄氏度（结果保留整数）？思路点拨此题实验操作领先，根据提供的数表作图象，从观察作出的图象进行猜想，之后是求解，验证，最后确定y与x之间的函数关系式。问题（1）实际是一个探索的过程，在探索的过程中完成对数学模型的建立。··············1432506886-10010302040y(°F)x(℃)····解：（1）1）见右图2）通过观察可猜测：y是x的一次函数；3）设y=kx+b（k≠0），现将两对数值分别代入y=kx+b，得解之，得，解之，得，所以有y=1.8x+3244)验证：将其余三个对数值分别代入y=1.8x+32，得，结果等式均成立y=1.8x+32能反映y与x的变化趋势∴y与x的函数关系式是y=1.8x+32（2）当y=91时，有91=1.8x+32解得x≈32.832.8-8=24.8≈25答：这一天悉尼的最高气温比南昌的最高气温约高25℃小结数表、图象、解析式是函数的三种表达方式，各种方式有着自己独特的优势。每种方式都是函数模型的重要表现形式，当题目只给出了表示对应关系的数表时，可根据数表中的对应值描出其草图，利用图象提供的直观感觉进行初步的猜想和判断，并建立函数模型，之后再利用其他的数据对自己的函数模型进行验证，在得到验证之后方可利用该模型的相关知识进行后续解答。第4学时横向数学化之数学建模（2）示例（第27题）ABFCGDHQPNM红黄（第27题）ABFCGDHQPNM红黄紫E品种红色花草黄色花草紫色花草价格（元/米2）6080120设的长为米，正方形的面积为平方米，买花草所需的费用为元，解答下列问题：（1）与之间的函数关系式为；（2）求与之间的函数关系式，并求所需的最低费用是多少元；（3）当买花草所需的费用最低时，求的长．思路点拨：了解到x与S的实际意义之后，就会发现，斜边EH的平方就是S的值，进一步由勾股定理就可以知道，,进而与x建立联系为，即可填出第一问的空，并完成首次二次函数模型的建立；第二问应结合表格中提供的价格，再次利用二次函数模型，建立W与x之间的关系；第三问就是利用刚刚建立的二次函数模型的相关知识解决问题。问题解答：．解：（1）（2）=60=80配方，得当时，元．（3）设米，则.在Rt中，解得的长为米． （10分）（第8题）小结：本题是典型的数学建模问题，两次利用‘二次函数’模型分别建立S与x、W与x之间的关系式，并利用该模型的相关知识解决相应的问题。充分的体现了现实问题与数学模型之间的密切联系，也是新课标中数学的发展方向之一。（第8题）第5学时纵向数学化之图像信息问题示例62Ox(时)y(米)3062Ox(时)y(米)3060乙甲50图11（1）乙队开挖到30米时，用了_____小时．开挖6小时时，甲队比乙队多挖了______米；（2）请你求出：

①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；③开挖几小时后，甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队？（3）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务．问甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为多少米？思路点拨从图中解读信息入手。如：从图中找到开挖到30米时，所用的时数，以及开挖6小时那一时刻甲乙各挖了多少米；再比如：要建立问题（2）中的各函数关系式，首先要从图中找到各时段内线段上两个点的坐标，之后才能运用待定系数法确定解析式。题目解答（1）2；10；

（2）①设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=k1x，由图可知，函数图象过点（6，60），∴6k1=60，解得k1=10，∴y=10x.②设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=k2x+b，由图可知，函数图象过点（2，30）、（6，50），∴解得∴y=5x＋20．③由题意，得10x＞5x＋20，解得x＞4.所以，4小时后，甲队挖掘河渠的长度开始超过乙队.（说明：通过观察图象并用方程来解决问题，正确的也给分）（3）由图可知，甲队速度是：60÷6=10（米/时）．设解得=110．答：甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为110米．小结能从图中解读出必要的信息是解此类题的关键；数形结合的思想可以指引我们发现图像中点与坐标的对应、线段与关系式的对应，进一步把图像问题用代数的方法加以解决。第6学时纵向数学化之动态问题示例1如图，等腰Rt△ABC的直角边AB=2，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相同速度作直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D。（1）设AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式；（2）当AP的长为何值时，S△PCQ=S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论。QQABDPCEABCDEFPQQABDPCEF思路点拨（1）表示三角形面积所选取的底和高，应是已知中的条件或者是能用含x的代数式来表示。注意点P沿射线AB运动这个条件。（2）构造x的方程，求x的值。注意x的范围。（3）充分利用等腰直角三角形中450，来表示图形中一些线段的长度，并利用450这个条件构造全等三角形。另外也可以利用相似来作。题目解答解：（1）①当点P在线段AB上时（如图），S△PCQ=。∵AP=CQ=x，PB=2－x，∴S△PCQ=，即S=；②当点P在AB延长线上时（如图），S△PCQ=∵AP=CQ=x，PB=2－x，∴S△PCQ=，即S=。（2）S△ABC==2。令，即，此方程无解；令，即。解得。舍去负值，∴故当AP的长为时，S△PCQ=S△ABC。（3）作PF∥BC交AC或延长线于F，则AP=PF=CQ，∴△PFD≌△QCD，∴FD=CD=。∵AP=x，∴AE=EF=。∵AB=2，∴AC=①当点P在线段AB上时，∵CF=AC－AF=，FD=∴DE=EF+FD=+=②当点P在AB延长线上时，∵CF=AF－AC=，FD=∴DE=EF－FD=－=故当P、Q运动时，线段DE的长度保持不变，始终等于。小结动态型问题是指以几何知识和图形为背景,渗入运动变化观点的一类问题。解决这类问题的总体思路是化动为静，关键在于从相对静止的瞬间，清晰的发现量与量之间的关系，从而找到解决问题的途径。在几何图形中求函数关系问题，要对函数解析式中自变量的取值范围认真考虑,注意条件的限制。ACBPACBPQED图4AC)BPQD图3E)FACBPQED图16（09年河北）如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t=2时，AP=，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C

时，请直接写出t的值．思路点拨：此题是典型的动态问题，由P、Q两点的运动导致线段的运动又导致面积的变化，可以说既有点动，又有线动，还有面动。第一问比较简单，它是一种静止状态，容易想到利用相似三角形的有关内容进行解答；第二问求△APQ的面积S与t的函数关系式，应该利用AP做底、QF做高，如何把高QF用t的代数式表示又可以从第一问的相似得到启示；第三问应该考虑运动过程中的几种静止状态，在静止状态时利用相关的数学知识进行解决；第四问应该注意返回时的第二种情况，不要丢掉一种情况。问题解答：解：（1）1，；（2）如图3，∴．由ACBPQEACBPQED图5AC(E))BPQD图6GAC(E))BPQD图7G∴，即．（3）能．①当DE∥QB时，如图4．∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．此时∠AQP=90°．由△APQ

∽△ABC，得，即．解得