教学设计 《离散型随机变量的均值与方差》教案

《离散型随机变量的均值与方差》教案考情分析考点新知离散型随机变量的分布列、期望、方差和概率的计算问题结合在一起进行考查，这是当前高考命题的热点，因为概率问题不仅具有很强的综合性，而且与实际生产、生活问题密切联系，能很好地考查分析、解决问题的能力．①了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义．②会求离散型随机变量的均值、方差和标准差，并能解决有关实际问题.1.(选修23P67习题4改编)某单位有一台电话交换机，其中有8个分机．设每个分机在1h内平均占线10min，并且各个分机是否占线是相互独立的，则任一时刻占线的分机数目X的数学期望为________．答案：eq\f(4,3)解析：每个分机占线的概率为eq\f(1,6)，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,6)))，即X服从二项分布，所以期望E(X)＝8×eq\f(1,6)＝eq\f(4,3).2.(选修23P66例2改编)有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X，则E(X)＝________，V(X)＝________.答案：21.98解析：X～B(200,0.01)，所以期望E(X)＝200×0.01＝2，V(X)＝200×0.01×(1－0.01)＝1.98.3.(选修23P71习题4改编)某人进行射击，每次中靶的概率均为0.8，现规定：若中靶就停止射击，若没中靶，则继续射击，如果只有3发子弹，则射击数X的均值为________．(填数字)答案：1.24解析：射击次数X的分布列为X123P0.80.160.04∴E(X)＝0.8×1＋0.16×2＋0.04×3＝1.24.1.均值(1)若离散型随机变量ξ的分布列为：ξx1x2…xnPp1p2…pn则称E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为ξ的均值或数学期望，简称期望．(2)离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平．(3)数学期望的性质．E(c)＝c，E(aξ＋b)＝aEξ＋b(a、b、c为常数)．2.方差(1)若离散型随机变量ξ所有可能的取值是x1，x2，…，xn且这些值的概率分别是p1，p2，…，pn，则称：V(ξ)＝(x1－E(ξ))2p1＋(x2－E(ξ))2p2＋…＋(xn－E(ξ))2pn为ξ的方差．(2)σ＝eq\r(Vξ)，叫标准差．(3)随机变量ξ的方差反映了ξ取值的稳定性．(4)方差的性质a、b为常数，则V(aξ＋b)＝a2Vξ.3.若ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np，V(ξ)＝np(1－p)．4.期望与方差的关系均值(期望)反映了随机变量取值的平均水平，而方差则表现了随机变量所取的值对于它的均值(期望)的集中与离散的程度，因此二者的关系是十分密切的，且有关系式V(ξ)＝E(ξ2)＋(E(ξ))2.题型1离散型随机变量的期望例1已知离散型随机变量ξ1的概率分布为ξ11234567Peq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)离散型随机变量ξ2的概率分布为ξ23.73.83.944.14.24.3Peq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)求这两个随机变量数学期望、方差与标准差．解：E(ξ1)＝1×eq\f(1,7)＋2×eq\f(1,7)＋…＋7×eq\f(1,7)＝4；V(ξ1)＝(1－4)2×eq\f(1,7)＋(2－4)2×eq\f(1,7)＋…＋(7－4)2×eq\f(1,7)＝4，σ1＝eq\r(V（ξ1）)＝2.E(ξ2)＝3.7×eq\f(1,7)＋3.8×eq\f(1,7)＋…＋4.3×eq\f(1,7)＝4；V(ξ2)＝0.04，σ2＝eq\r(V（ξ2))＝0.2.eq\a\vs4\al(变式训练)甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2，0.6，0.2；射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4，0.2，0.4.用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平．解：Eξ1＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9，V(ξ1)＝(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.6＋(10－9)2×0.2＝0.4；同理有E(ξ2)＝9，V(ξ2)＝0.8.由上可知，E(ξ1)＝E(ξ2)，V(ξ1)<V(ξ2)．所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环的次数多些．题型2离散型随机变量的方差与标准差例2某工艺厂开发一种新工艺品，头两天试制中，该厂要求每位师傅每天制作10件，该厂质检部每天从每位师傅制作的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天该师傅的产品不能通过．已知李师傅第一天、第二天制作的工艺品中分别有2件、1件次品．(1)求两天中李师傅的产品全部通过检查的概率；(2)若厂内对师傅们制作的工艺品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别得1分、2分，求李师傅在这两天内得分的数学期望．解：(1)设李师傅产品第一天通过检查为事件A；第二天产品通过检查为事件B.则有P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(3,5)，由事件A、B独立，∴P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(3,10).答：李师傅这两天产品全部通过检查的概率为eq\f(3,10).(2)记得分为ξ，则ξ的可能值为0，1，2.∵P(ξ＝0)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)；P(ξ＝1)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(8,15)；P(ξ＝2)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,5).∴E(ξ)＝0×eq\f(4,15)＋1×eq\f(8,15)＋2×eq\f(1,5)＝eq\f(14,15).答：李师傅在这两天内得分的数学期望为eq\f(14,15).数学期望中的注意问题：(1)数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)E(X)是一个常数，由随机变量X的概率分布唯一确定，即随机变量X是可变的，而E(