独立性检验练习题-高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

独立性检验练习题持不满意态度的居民的结构比例图例1某小区采取一系列措施,宣传垃圾分类的知识与意义,并采购分类垃圾箱.为了解垃圾分类的效果,该小区物业随机抽取了200名居民进行问卷调查,每名居民对小区采取的措施给出“满意”或“不满意”的评价.根据调查结果统计并作出年龄分布条形图和持不满意态度的居民的结构比例图,如图所示.持不满意态度的居民的结构比例图年龄分布条形图年龄分布条形图在这200份问卷中,持满意态度的频率是0.65.完成下面的2×2列联表,并依据小概率值α=0.05的独立性检验,分析“51岁及以上”和“50岁及以下”的居民对该小区采取的措施的评价是否有差异;居民评价合计满意不满意51岁及以上的居民50岁及以下的居民合计200附表及参考公式α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828χ2=n(ad-解：根据题目所给数据,计算得到2×2列联表为：居民评价合计满意不满意51岁及以上的居民45358050岁及以下的居民8535120合计13070200零假设为H0:“51岁及以上”和“50岁及以下”的居民对该小区采取措施的评价没有差异.根据列联表中的数据,计算得到χ2=200×(45×35-85×35)280根据小概率值α=0.05的独立性检验,推断H0不成立,即认为“51岁及以上”和“50岁及以下”的居民对该小区采取措施的评价有差异,此推断犯错误的概率不大于0.05.例2：海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）,其频率分布直方图如下：（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并依据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。α0.050.010.001xα3.8416.63510.828附:χ2=n(解：（1）旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.04)×5=0.62因此，事件的概率估计值为0.62（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法6238新养殖法3466零假设为H0:箱产量与养殖方法无关.根据列联表的数据,计算得到χ2=200×(62×66−34×38)2100×100×96×104≈15.705>6.根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断H0不成立,即推断箱产量与养殖方法有关有关,此推断犯错误的概率不大于0.01.（3）箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50kg到55kg之间，旧养殖法的箱产量平均值（或中位数）在45kg到50kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.例3、甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)依据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?α0.050.010.001xα3.8416.63510.828附:χ2=n(解(1)由表格数据得甲机床生产的产品中一级品的频率为150200乙机床生产的产品中一级品的频率为120(2)零假设为H0:甲机床的产品质量与乙机床的产品质量无差异.根据2×2列联表中的数据,计算得到χ2=400×(150×80-50×120)2200根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断H0不成立,即认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异,此推断犯错误的概率不大于0.01.例3.为了解某班学生喜欢打篮球是否与性别有关,对本班50人进行了问卷调查,得到如下2×2列联表:性别打篮球合计喜欢打篮球不喜欢打篮球男20525女101525合计302050依据小概率值α=0.005的独立性检验,推断喜欢打篮球与性别__________(填“有关”或“无关”)

解：零假设为H0:喜欢打篮球与性别无关.根据列联表的数据,计算得到χ2=50×(20×15-5×10)225根据小概率值α=0.005的独立性检验,推断H0不成立,即推断喜欢打篮球与性别有关,此推断犯错误的概率不大于0.005.例4、某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知之间三组的人数可构成等差数列.（1）求m,n的值；（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额y与年龄x进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程y=−5x+b.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.附：x2解：（1）由频率分布直方图可知，m+n=0.01−0.0015×2−0.001=0.006，由中间三组的人数成等差数列可知m+0.0015=2n，可解得m=0.0035,n=0.0025（2）周平均消费不低于300元的频率为(0.0035+0.0015+0.001)×100=0.6，男性女性合计消费金额≥300204060消费金额＜300251540合计4555100因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为100×0.6=60人.所以2×2列联表为K所以有99%的把握认为消费金额与性别有关.(3)调查对象的周平均消费为:0.15×150+0.25×250+0.35×350+0.15×450+0.10×550=330由题意知：330=-5×38+b所以b=520，y=-5×25+520=395例5、.某校为调查高中生在校参加体育活动的时间,随机抽取了100名高中学生进行调查,其中男生、女生各占一半,下面是根据调查结果绘制的学生日均体育锻炼时间的频率分布直方图:将日均体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“良好”,已知“良好”评价中有18名女生.学生性别是否良好合计非良好良好男女合计(1)请将列联表补充完整;(2)试依据小概率值α=0.01的独立性检验,分析高中生的性别是否与喜欢体育锻炼有关.参考公式:χ2=n(ad−bc)χ2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值:α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解:(1)设学生日均体育锻炼时间为x分钟,根据频率分布直方图可知x≥40的频率为(0.025+0.020+0.005)×10=0.5.抽取总人数为100,故评价为“良好”的学生人数为50.列联表如下:学生性别是否良好合计非良好良好男183250女321850合计5050100(2)零假设为H0:高中生的性别与喜欢体育锻炼无关.根据2×2列联表中的数据,计算得到χ2=100×(18×18-32×32)250×根据小概率值α=0.01的独立性检验,有充分证据推断H0不成立,即高中生的性别与喜欢体育锻炼有关,此推断犯错误的概率不超过0.01.例6.某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层随机抽样的方法从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计,得到的频率分布直方图如图所示.25周岁以上(含25周岁)组25周岁以下组(1)从样本中日平均生产件数不足60的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率;(2)规定日平均生产件数不少于80者为“生产能手”,请你根据已知条件作出2×2列联表,依据小概率值α=0.1的独立性检验,能否推断生产能手与工人所在的年龄组有关?解:(1)由已知得,样本中有25周岁以上(含25周岁)组工人60名,25周岁以下组工人40名.故样本中日平均生产件数不足60件的工人中,25周岁以上(含25周岁)组工人有60×0.05=3(人),记为A1,A2,A3;25周岁以下组工人有40×0.05=2(人),记为B1,B2.从中随机抽取2名工人,所有可能的结果共有10种,该试验的样本空间Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)}.设事件A=“至少有1名‘25周岁以下组’工人”,则A={(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)}.故所求的概率P(A)=0.7(2)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“25周岁以上(含25周岁)组”中的生产能手有60×0.25=15(人),“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15(人),据此可得2×2列联表如下:组别是不是生产能手合计生产能手非生产能手25周岁以上(含25周岁)组15456025周岁以下组152540合计3070100零假设为H0:生产能手与工人所在的年龄组无关.χ2=100×(15×25−15×45)根据小概率值α=0.1的独立性检验,没有证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为生产能手与工人所在的年龄组无关.练习巩固：1.为了调查学生对网络课程的喜爱程度,研究人员随机调查了相同人数的男、女学生,发现有80%的男生喜欢网络课程,有40%的女生不喜欢网络课程.若依据小概率值α=0.01的独立性检验,可以推断喜欢网络课程与性别有关;依据小概率值α=0.001的独立性检验,可以推断喜欢网络课程与性别无关,则被调查的男、女学生的总人数可能为()附:χ2=n(ad-α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828A.130 B.190 C.240 D.250答案:B解析:设调查的男、女学生的人数均为5x,根据题意,得到2×2列联表为性别网络课程合计喜欢不喜欢男4xx5x女3x2x5x合计7x3x10x则χ2=10x·(8x2-3x即139.335≤10x<227.388.只有选项B符合题意.2.对196名接受心脏搭桥手术的病人和196名接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究,调查他们是否又发作过心脏病,得到2×2列联表如表所示.手术心脏病合计又发作过心脏病未发作过心脏病心脏搭桥手术39157196血管清障手术29167196合计68324392依据小概率值α=0.1的独立性检验,推断这两种手术对病人又发作心脏病的影响.(填“有差别”或“没有差别”)

答案:没有差别解析:零假设为H0:这两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别.根据2×2列联表中的数据,计算得到χ2=392×(39×167−29×157)根据小概率值α=0.1的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此认为H0成立,即这两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别.3某校团委对“学生性别和喜欢微电影是否有关”作了一次调查,其中女生人数是男生人数的,男生喜欢微电影的人数占男生人数的,女生喜欢微电影的人数占女生人数的若依据小概率值α=0.05的独立性检验,推断学生性别和喜欢微电影有关,则男生至少有人.

附:α0.050.010.001xα3.8416.63510.828答案:18解析:设男生人数为x,则由题意可得2×2列联表为性别微电影合计喜欢不喜欢男x5xx女2xxx合计7x17x4x零假设为H0:学生性别和喜欢微电影无关.根据2×2列联表中的数据,计算得到χ2=4